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其中p是动量。这个方程可以变形成：
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pΔx＜h
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图4.5：一小群随时间扩大的钟，对应一个初始时在局域而随时间前行离域的粒子。
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而这个式子真的十分重要，值得进一步讨论，因为它看起来非常像海森伯的不确定性原理。
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数学部分暂告一段落，如果你没有用心跟上，应该能从这里重新跟上讨论。
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如果一个粒子从一个局域在大小为Δx的斑点内出发，则根据刚刚发现的结果，在一段时间后，粒子可以在大小为x的更大斑点内的任何位置被找到。图4.5描述的正是这种情形。精确地说，这意味着如果我们在刚开始时寻找粒子，则我们在内侧斑点内部找到的机会较大。如果没有测量，而是等一会儿，则稍后能在较大斑点内部某处找到它的机会较大。这就是说，粒子可以从初始的小斑点内的某处移动到较大斑点内的某处。它不一定非得移动不可，仍然有一定概率继续留在尺寸为Δx的较小区域中。但是测量很有可能显示，粒子已经移动到了较大斑点的边缘[109]。如果测量证实了这种极限情形，则我们会得出结论，粒子的动量由我们刚刚导出的式子给出（如果你没有跟上数学推导，只要相信这个结果就好），即p=h/Δx。
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现在，我们可以再次从头开始，将一切恢复如初，则粒子再次位于大小为Δx的较小初始斑点中。如果测量粒子，可能发现它位于较大的斑点内部某处，而不是在极限的边缘。我们会得出结论，粒子的动量比极限值小。
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想象我们多次重复这个实验，对于开始时位于大小为Δx的小钟群内部的粒子测量其动量，则我们通常会测得动量p的值在零到极限值h/Δx之间。也就是说“如果你重复多次做这项实验，那么我预测，你测得的动量会在零到h/Δx之间”就意味着“粒子动量的不确定度是h/Δx ”。和位置的不确定度类似，物理学者用符号Δp表示这种不确定度，写作ΔpΔx~h。“~”符号表明，位置和速度的不确定度之积大致等于普朗克常数；有可能大一点或者小一点。更细致的数学推导可以得到严格正确的式子。结果会依赖于初始钟群的细节，但没必要为此额外花时间，因为我们所做的已经足够抓住关键思想。
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粒子位置的不确定性乘以其动量的不确定性，（近似）等于普朗克常数，这句陈述也许是海森伯不确定性原理的最为人所熟悉的形式。它告诉我们，如果我们知道粒子在某个初始时刻位于某个区域，而在稍后时刻对粒子位置进行测量，就会发现粒子此时的动量值不能比“介于零与h/Δx之间的某个值”更准确地被预测。换句话说，如果我们一开始时，把粒子限制在愈来愈小的区域内，那么它就会有一种趋势，要愈来愈远地跃离这个区域。这一点非常重要，值得再三重申：愈是精确地知道粒子在某个瞬间的位置，就会愈不清楚它的运动快慢，因此也就愈不清楚稍后时刻它会在哪里。
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这正是海森伯对不确定原理的陈述。它位于量子理论的核心；但应该要清楚，它本身并不是一条模糊的陈述。它是一条关于我们无法精确追踪粒子的陈述；量子魔法的这种威力并不比牛顿魔法的更大。在前面几页中我们所做的是，从量子物理学的基本规则中推导海森伯不确定性原理；这些规则体现在钟的旋转、收缩和相加里。的确，原理的起源就在于我们的提议认为粒子在测量其位置后，可以位于宇宙中的任何地方。我们最初提出的这条狂野的提议——认为粒子可以处于宇宙中的任何和所有的地方，已经被“量子干涉的狂欢”所驯服；而不确定性原理，在某种意义上，就是起初的无序状态的全部遗存。
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在转到下个话题之前，关于如何诠释不确定性原理，笔者还有一些非常重要的事情要说。我们不能犯这种错误，认为粒子实际上位于某个特定的单一位置，而初始钟的传播，其实是反映了我们理解上的某种局限性。如果这样想，就无法正确地利用不确定性原理做计算；因为如果这样想，我们就不会承认，必须要在初始钟群的每一个可能的位置上取一块钟，依次把它们移到一个遥远的位置X，再把它们全部加起来。正是因为执行下面这种做法才给出了我们的结果，即我们必须假设，粒子通过许多可能路线的叠加，才到达了X。我们将在以后的一些实际例子中，用到海森伯的原理。而现在，我们只用到了一些简单的虚钟操作，就推导出了量子理论的关键结论之一，这着实不错。
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我们来向式子中插入几个数，更好地感受一下。要等多久，沙粒才能有合理的概率跃出火柴盒？我们假设火柴盒边长为3厘米，而沙粒重1毫克。回忆一下，沙粒有合理的概率跃过给定距离的条件是：
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其中Δx是火柴盒的大小。我们来计算，如果想让沙粒跳过x=4厘米，一个超过火柴盒大小的距离，t应该是多少。
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透过简单的代数运算可以得到：
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代入数据可以得到，t必须大于约1021秒。这是约6×1013年，是宇宙当前年龄的1000多倍。所以这种事情很可能不会发生。量子力学很奇怪，但还没奇怪到可以允许一粒沙子能独立跃出火柴盒的地步。
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为了总结本章，以及为进入下一章作准备，我们做最后一次观察。我们对不确定性原理的推导，是基于图4.4中的一组钟的特定构型（configuration）。具体来说，我们安排了初始钟群，使钟指针的大小和指向都相同。这种特殊的安排，对应粒子起初时静止于空间中的特定区域；例如，沙粒静止于火柴盒中。尽管我们发现，粒子很可能不是静止的，我们也发现，对于大物体——沙粒在量子意义上已经是非常大的——这种运动完全检测不到。所以在我们的理论中确实会有某种运动，但是对于足够大的物体，这种运动无法感知。显然我们忽略了一些重要的东西，因为大物体实际上确实在四处移动，并且前面说过量子理论与所有东西都有关，无论大小。我们现在必须解决这个问题：如何解释运动？
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[75]或审美趣味，看你的观点。（原书注）
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[76]出自海森伯《部分与整体》（Der Teil und das Ganze，英译本标题：Physics and Beyond）一书第17篇《实证主义、形而上学和宗教》（1952）。
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[77]这里原著有误，译者没有在《费曼物理学讲义》中找到那句话。从别处找到的出处是《物理世界的本性》（The Character of Physical Law）。
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[78]古希腊文εὕρηκα，拉丁文heúrēka，通过神秘灵感获得重大发现的时刻叫作“尤里卡时刻”。