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像以前一样，注意到mx/t是粒子的动量p，就能简化这个式子。稍为整理就能得到：
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这个结果足够重要，值得命名。它由法国物理学家路易·德布罗意[111]（Louis de Broglie）于1923年9月首次提出，所以命名为德布罗意关系（de Broglie equation）。说它重要，是因为它将波长与已知动量的粒子关联起来。换句话说，它表达了通常分别归于粒子和波的两种性质——动量和波长之间的密切联系。如此，量子力学的波粒二象性（wave-particle duality）就从我们对钟的处理中浮现出来。
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德布罗意关系是观念上的一大飞跃。在原始论文中他写道：一切粒子，包括电子，都应具有“虚构的关联波”；通过单缝的电子流“应该有衍射现象”[112]。在1923年，他的论文还只是理论推测，因为直到1927年，戴维孙和革末才用电子束观察到干涉图案。在大约同一时间，爱因斯坦使用不同的推理方式做出了类似德布罗意的提案。这两项理论结果是薛定谔发展其波动力学的催化剂。在薛定谔提出同名方程的前一篇论文中，他写道：“这意味着除了严肃对待德布罗意-爱因斯坦关于运动粒子的波动理论，别无他法。”
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通过观察减小波长，我们可以对德布罗意关系得到更多的认识。这相当于增加相邻钟之间的旋转量。也就是说，我们将减小读数相同的钟之间的距离。这意味着，必须增加距离x，以补偿λ的减小。换句话说，位置X需要更远，才能“撤销”额外的旋转。那就对应移动更快的粒子：更小的波长对应更大的动量，而这正是德布罗意关系所说的。我们从一列静止的钟开始，“推导”出了普通的运动（因为钟群随时间平滑运动）。这真是一个可爱的结果。
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量子宇宙 [:1700921905]
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量子宇宙 波包
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现在我们要回到本章早先跳过的一个重要问题。我们说过，初始钟群整体运动到X点附近，但只是大致保持其原始构型。作者这个相当不精确的说法，到底是什么意思？这个问题的答案会给出与海森伯不确定性原理的关联，以及进一步见解。
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我们一直在用描述一块钟群的变化，来代表一个会在空间中一个小区域内某处被找到的粒子。在图5.1中，这就是五块钟所跨越的区域。像这样的钟群被称为波包（wave packet）。但我们已经看到，将粒子禁闭在空间中的某区域内会产生的后果。我们不能避免一个局域粒子得到海森伯之踢（也就是其动量不确定，因为它是局域的）；随着时间流逝，这会导致粒子“渗漏”出其起初所在的区域。这个效应在所有钟的示数都相同时存在，而在钟群移动的情形中也是。它使波包倾向于扩散，就像静止粒子随时间扩散一样。
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如果等足够久，对应于移动钟群的波包会完全解体；我们将失去预测粒子位置的能力。这显然会影响到对粒子速度测量的尝试。我们来看看结果会怎样。
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测量粒子速度的一个好方法是，在两个不同的时刻测量其位置。之后就能通过用粒子运动的距离，除以两次测量间隔的时间，得到速度。然而，根据我们刚才所说，这看似是一件危险的事。因为如果对粒子位置的测量过于精确，则有压缩其波包的可能，这就会改变它后续的运动。如果我们不想给粒子一个显著的海森伯之踢（即明显的动量改变，因为我们让Δx变得过小），就得确保位置测量足够模糊。当然，模糊本身是一个模糊的术语，所以我们来把它变得不那么模糊。如果使用能以1微米准度探测粒子的粒子探测器，而波包的宽度是1纳米，则探测器对粒子的影响不会太大。读数的实验者对探测器1微米的分辨率可能感到很满意，但从电子的视角来看，探测器不过是汇报给实验者，粒子在某个巨大的盒子里，大小是实际波包的1000倍。在这种情况下，测量过程引入的海森伯之踢，和波包本身有限的大小相比很小。这就是我们说“足够模糊”的意思。
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图5.3：两个不同时刻的同一个波包。随着时间前行，波包向右运动并展宽。波包是运动的，因为组成波包的钟彼此之间有相对旋转（德布罗意关系）；由于不确定性原理，它也是扩散的。波包的形状不很重要，但是为完整起见，我们应该说，波包大的地方钟也更大，而波包小的地方钟也小。
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我们在图5.3中绘出了上述情形，并标出了波包的初始宽度d以及探测器的分辨率Δ。我们还画出了稍后时刻的波包；它要稍微宽一点，宽度是d’，比d大。波包的峰在一定时间间隔t内以速度v运动了一段距离L。笔者提前道个歉，如果这些龙飞凤舞的特定套路，勾起了你记忆深处的校园岁月：坐在污渍斑驳的木桌后面，随着科学老师的声音渐渐消失在暮冬午后的暗淡天光中，你也陷入了不合时宜的午睡。我们搞得满身粉笔灰，是有原因的。希望本节的结论，比起年轻时飞来的板擦，能更有效地使你激灵起来。
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我们振作精神，重回假想的科学实验室，尝试通过在两个不同时刻测量波包的位置，来测量其速度v。这会给出波包在时间t内运动的距离L。但我们的探测器的分辨率为Δ，因此我们无法完全确定L。用符号表示，可以说测得的速度为：
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其中组合的加减符号只是提醒我们，如果实际进行这两个位置的测量，一般不会总得到L，而是“L加一点”或者“L减一点”，其中出现“一点”的误差范围是因为我们同意不对粒子位置做非常准确的测量。记住这一点很重要，就是L不是我们可以实际测量的东西：我们总是在L±∆的范围内测得一个值。要记住，∆需要远大于波包的大小，否则我们就会挤压粒子并扰乱它。
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我们来把上一个式子稍微改写一下，这样就能更好地看清是怎么一回事：
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看起来，如果t非常大，我们就会得到扩散非常小的速度测量值v=L/t。这是因为我们可以选择等待很长的时间，使得t任意大，从而在保持∆足够大的同时，让∆/t任意小。我们看似有了好方法，能以任意精度测量粒子的位置，而根本不干扰它；只要在第一次和第二次测量之间等待极长的时间即可。这很直观。想象你在测量一辆公路汽车的速度。如果测量的是它在一分钟内行驶的距离，测得的速度往往比测量其在一秒内行驶的距离要精确得多。我们是不是避开了海森伯的脚？
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当然没有——我们忘了考虑某些东西。粒子由波包组成，波包随时间扩散。在足够长的时间之后，扩散效应将完全冲尽波包，这意味着粒子可以在任何地方。这将扩大L的测量值范围，破坏我们对其速度进行任意精度测量的能力。
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对于由波包描述的粒子，我们最终仍然受不确定性原理的约束。因为粒子起初被禁闭在一个大小为d的区域内，海森伯告诉我们，粒子的动量也变得模糊，范围是h/d。