1700922809
我们刚刚论证过，一个有限大小的波包并不对应一个动量确定的粒子。这意味着，如果测量很多粒子的动量，即使它们都由完全相同的初始波包描述，我们也不会每次都得到相同的结果。相反，我们会得到一些散布的结果。并且不管我们在实验物理学上有多高明，散布的范围不可能小于h/d。
1700922810
1700922811
因此我们可以说，波包描述了一个运动粒子，其动量在一定范围内。但德布罗意关系意味着，我们可以用“波长”一词来代替最后一句中的“动量”，因为粒子的动量和一列确定波长的波有关。这又意味着，一个波包必须由许多不同波长的波组成。同样，如果一个粒子由一列波长确定的波描述，则这列波一定是无限长的。听起来，我们是在被推向这样一个结论，一个小波包是由很多波长不同且无限长的波组成。我们确实被推到了这条路上，而我们所描述的东西，对于数学和物理学者以及工程师等都非常熟悉。这是一个被称为傅里叶分析的数学领域，以法国数学家约瑟夫·傅里叶[114]（Joseph Fourier）的名字命名。
1700922812
1700922813
傅里叶是个多彩的人。他有许多显著的功绩，包括担任拿破仑[115]（Napoléon Bonaparte）的下埃及总督，以及温室效应（greenhouse effect）的首个发现者。显然他喜欢把自己裹在毯子里，这甚至导致了他的死亡，1830年的一天，他把自己紧紧裹住，从自己家的楼梯上摔了下来。他关于傅里叶分析的重要论文涉及了固体中的热传导问题，发表于1807年，尽管其基本思想可追溯到更早的时候。
1700922814
1700922815
傅里叶证明，任何波，无论它的形状和范围有多复杂，都可以由不同波长的一些正弦波相加合成。这一点用图片能最好地说明。图5.4中的短虚线是由下方图中的前两列正弦波相加而成的。你几乎可以在大脑中把它们加起来：两列波在中心处同时达到极大，所以在那里相加变大；而在末端它们倾向于抵消。长虚线是我们将下方途中的四列波相加的结果——现在中心的峰值变得更加明显。最后，实线是我们把前十列波加起来的情形，也就是画出来的四列波，加上六列波长逐渐减小的波。加入的波愈多，最终的波的细节就愈多。上方图中的波包可以描述一个局域粒子，很像是图5.3中的波包。这样一来，我们真的可以合成任何形状的波——这都是通过将简单的正弦波相加来实现的。
1700922816
1700922817
1700922818
1700922819
1700922820
图5.4：上图：将几列正弦波加起来，以合成一个尖锐成峰的波包。短虚线包含的正弦波的数量，比长虚线所包含的少；而后者又比实线所包含的少。下图：用于组成上图中波包的前四列正弦波。
1700922821
1700922822
德布罗意关系告诉我们，图5.4下方的每一列波都对应一个确定动量的粒子，而动量随波长减小而增加。我们开始明白，如果一个粒子由一个局域的钟群所描述，它为何必由动量在一个范围内的波组成。
1700922823
1700922824
更直白地说，我们来假设，粒子由图5.4上方的实线所描述[116]。刚才已经知道，该粒子也能由一系列更长的钟群来描述：下方图中的第一列波，加上下方图中的第二列波，以此类推。这种思考方式下，在每个位置上都有多块钟（每一列波对应的长钟群都在这个位置有一块）；我们得把它们加在一起，得到图5.4上方的单块钟群。选择要如何理解粒子，真的是“取决于你”。可以认为它是由每个位置上的一块时钟描述的，时钟的大小立刻让你知道粒子可能被发现的地方，即图5.4上方的峰附近。抑或，可以认为粒子是由每个点上的一系列钟所描述，粒子每个可能的动量值都有一块。通过这种方式，我们提醒自己，局域在一个小区域内的粒子并不具有确定的动量。不可能从单一波长的波构造出紧致的波包，这是傅里叶数学的一个明显特征。
1700922825
1700922826
这种思考方式给了我们一个新视角，去看待海森伯的不确定性原理。在这个视角中，我们不能用单一波长的波所对应的一个局域钟群去描述一个粒子。相反，为使钟群区域以外的钟抵消，必须混合不同波长的波，因此也会混合不同的动量。所以，为了让粒子局限在空间中某处，我们必须承认不知道它的动量。而且，对粒子位置的限制愈多，需要加入的波也就愈多，我们对其动量的了解就愈少。这正是不确定性原理的内容；能用不同的方法得出相同的结论，这让人很满意[117]。
1700922827
1700922828
为了结束这一章，笔者想再花一点时间谈谈傅里叶。有一种非常强大的方式来描绘量子理论，它与我们刚才讨论的观念密切相关。重点是，任何量子粒子，无论它处于什么状态，都可以由一个波函数描述。如我们到目前为止所展示的那样，波函数就是一块小钟阵列，空间中每个位置都有一块，而钟的大小决定了粒子在那个位置被找到的概率。这种表示粒子的方法被称为“位置空间波函数”（position space wavefunction），因为它直接处理粒子可能处于的位置。然而，数学上有很多方法表示波函数，而空间中的小钟只是其中的一个版本。当我们表达可以认为粒子也是由正弦波之和描述的时候，已经触及了这一点。如果你考虑一下这一点，就应该意识到，指明完整的正弦波列表，实际上提供了对粒子的完整描述（因为通过把这些波相加，可以得到与位置空间波函数相关联的小钟）。换句话说，如果我们确切地指明需要哪些正弦波才能构造波包，以及每列正弦波究竟需要加入多少[118]才能得到合适的形状，则对于波包，我们将得到一个不同但完全等价的描述。巧妙的是，任何正弦波本身都能由一个假想的时钟来描述：钟的大小编码了波的最大高度，而波在某位置的相位则表示为那里的钟所指的时刻。这就是说，我们可以选择不用空间中的钟表示粒子，而用另一块钟的阵列来替代，粒子的每个可能的动量值都对应一块。这种描述和“空间中的钟”的描述一样紧凑有效。我们没有明确指出粒子可能在哪里被找到，而是明确指出粒子有可能具有哪些动量值。这种替代的钟的阵列被称为动量空间波函数（momentum space wavefunction），它包含的信息和位置空间波函数完全一样[119]。
1700922829
1700922830
这听起来可能非常抽象，但你很可能每天都在用基于傅里叶观念的技术，因为将波分解成其正弦波分量，正是音频和视频压缩技术的基础。想想组成你最喜欢的曲子的声波。如我们刚刚所了解的，这列复杂的波可以被分解成一系列数字；而这些数字，为声音贡献出大量单纯正弦波中的所有波。尽管可能需要大量的单个正弦波，才能精准地重现原始声波，但事实上，可以扔掉大量的正弦波，也不会影响你所感知到的音质。具体来说，无需保留声波中人类无法听到的正弦波成分。这极大地减小了存储音频文件所需的数据量，因此你的MP3播放器不需要太大。
1700922831
1700922832
你可能还会问，这个不同的、更抽象的波函数有什么用呢？嗯，考虑一个在位置空间中由单块钟表示的粒子，是在描述宇宙中处于确定位置的粒子，即钟所处的位置。现在再考虑一个由单块钟表示的粒子，但这次是在动量空间中。这表示一个具有单一、确定动量的粒子。大不相同的是，如果用位置空间波函数来描述这样的例子，就需要无穷多个相同大小的钟，因为根据不确定性原理，具有确定动量的粒子可以在任何地方被找到。因此，有时候直接用动量空间波函数进行计算会更简单。
1700922833
1700922834
在本章中，我们学习了用钟来描述粒子能够描绘我们通常所说的“运动”。我们了解到，从量子理论的角度来看，我们对物体从一点到另一点的平滑运动的感知，是一种幻象。事实的真相更接近于，假设粒子从A运动到B是通过了所有可能的路径。只有当我们把所有可能性加起来，我们所感知到的运动才会显现出来。我们也才能明确地看到，钟的描述是如何包含了波动物理学，尽管我们只处理了类点粒子（point-like particles）。现在是时候真正地利用类点粒子与波动物理学的关系了，因为我们要解决一个重要的问题：量子理论如何解释原子结构？
1700922835
1700922836
[110]你或许应该自己检验一遍。（原书注）
1700922837
1700922838
[111]路易·德布罗意，1892年生于法国迪耶普，1987年卒于巴黎，法国物理学家。
1700922839
1700922840
[112]“衍射”一词用于描述特殊的干涉，它是波的特点。（原书注）
1700922841
1700922842
[113]当然，你可能会担心，如果d很大，要如何测量波包的动量。通过让L比d大得多，可以避免这种担心。（原书注）
1700922843
1700922844
[114]约瑟夫·傅里叶，1768年生于法国欧塞尔，1830年卒于巴黎，法国数学家和物理学家。
1700922845
1700922846
[115]拿破仑·波拿巴，1769年生于法属科西嘉岛的阿雅克肖，1821年卒于英属圣赫勒拿岛的长木，法国军事家、政治家。
1700922847
1700922848
[116]回忆一下，我们画出的波的图像，其实是一种方便的方法，描绘出钟指针在12点方向上的投影。（原书注）
1700922849
1700922850
[117]然而，这种得到不确定性原理的方法的确依赖于德布罗意关系，以将钟波的波长与其动量联系起来。（原书注）
1700922851
1700922852
[118]指每列正弦波的振幅，或钟的大小。
1700922853
1700922854
[119]在术语中，描述具有确定动量的粒子的波函数，被称为动量本征态momentum eigenstate，由德文词eigen构成，意为本征或特征。（原书注）
1700922855
1700922856
1700922857
1700922858