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我们可以通过再次思考谷中的球来说明这一点。如果我们在开始时让球快乐地停在谷底，就什么都不会发生[126]。要想让它滚上山谷一侧，必须踢它一脚，这相当于说我们需要增加它的能量。在踢球后的瞬间，它所有的能量都会以动能的形式出现。在球滚上山谷一侧时，它会慢下来；直到在离谷底一定高度时，球就会停住；然后再滚下并滚上另一侧。在它停止在山谷一侧的一定高度时，它没有了动能，但能量并没有神奇地消失。相反，所有的动能都变成了势能，等于mgh，其中g是地球表面由重力产生的加速度，h是球相对谷底的高度。当球开始向下滚入山谷时，存储的势能随着球的加速而逐渐转化成动能。因此，在球从山谷一侧滚向另一侧时，总能量保持不变，但会在动能和势能之间周期性地转换。显然，球的动量不断变化，但其能量却是常数（我们假定没有摩擦力使球慢下来。如果真的有，则总能量仍然是常数，但是得包含由摩擦力耗散掉的能量才行）。
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现在，我们要用另一种方式来探讨驻波和具有确定能量的粒子之间的关系，而不再利用方阱的特殊性质。我们要用小量子钟来讨论。
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图6.6：驻波在时间的连续流动中的四张快照。箭头表示钟指针，虚线是在“12点”方向的投影。时钟的转动全都同步。
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首先我们要注意到，如果一个电子在某一时刻由驻波描述，则在以后的某个时刻，它将被相同的驻波描述。“相同”是说波的形状不变，就像图6.1中水的驻波一样。当然，我们并不是说波完全没变；水的高度确实会有变化，但关键是波峰和波节的位置不变。这使我们可以得出，驻波的量子钟描述必须是什么样子。图6.6是基频驻波的情形，沿波分布的钟的大小，反映了波峰和波节的位置，而钟指针以相同的速率扫过钟面。希望你能明白，我们为何要画出这种特殊的钟的图案。波节必须始终是波节，波峰必须始终是波峰，而且它们必须始终停留在相同位置。这意味着波节附近的钟总是很小，且总是由最长指针的钟代表波峰。因此，我们唯一的自由，就是让钟待在被放置的地方，并同步旋转。
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如果按照前几章中的方法来推导，我们现在就要从图6.6中顶部一行钟的构型开始，并用收缩和旋转规则生成下面三行稍后时间的构型。这个关于钟跳跃的练习本身跳离本书太远，但它可以完成。而且这个练习，有其微妙的曲折之处：要正确地计算，必须考虑粒子在跃至目的地之前“在盒壁上弹回”的可能性。顺便说一下，由于中央处的钟更大，我们可以立刻得出结论：这块钟的阵列所描述的电子更可能在盒子的中央找到，而非边缘处。
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因此，我们发现被陷住的电子由钟的阵列所描述，它们以相同的速率绕圈。物理学者通常不这么说，音乐人当然也不会；他们都说，驻波是频率确定的波[127]。高频波对应的钟绕得比低频波的钟快。这点能直接看出来，因为如果钟绕得快，它从波峰到波谷再升回来（以钟指针转动一周表示）所需的时间就会减少。就水波而言，高频驻波的上下运动比低频的要快。在音乐中，中央C的频率据说是262Hz，也就是说，在吉他上，琴弦每秒钟上下运动262次。A的频率是440Hz，高于中央的C，所以它振动得更快（这是全世界大多数管弦乐队和乐器的调音标准）。然而，我们已经注意到，只有对于纯粹的正弦波，这些确定频率的波才有确定的波长。一般来说，频率才是描述驻波的基本量，而这句话大概是个双关。
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那么，终极问题就是：“一个电子有特定的频率，是表达什么意思？”我们得提醒你，这些电子态对我们来说很有意思，因为它们是量子化的，并且处于这种量子态的电子，会一直保持在这种态中（除非有什么东西进入势的作用区域，并且重击电子）。
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最后这一句是我们确定“频率”含义所需的重大线索。在本章前面我们遇到了能量守恒定律，它是物理学中极少数颠扑不破的定律之一。能量守恒定律指出，如果氢原子（或方阱）内的电子具有特定的能量，则能量不会改变，除非“有事发生”。换句话说，电子不能无缘无故地自发改变能量。这听起来可能没什么意思，但请把这个和已知位于某个位置的电子进行对比。我们很清楚，这个电子会在下一瞬间跃至整个宇宙，生出无穷多块钟。但是驻波的钟图案却不一样。它保持自己的形状，和所有的钟一起快乐地永远旋转，除非有什么东西扰动它们。因此，驻波的不变性，使其成为描述具有确定能量电子的候选方案。
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一旦我们把驻波频率和粒子的能量联系起来，就可以利用我们对吉他弦的知识，推断出更高的频率一定对应更高的能量。这是因为，高频率意味着短波长（因为短弦振动得更快），而且根据我们所知的方阱势的特殊情况，可以通过德布罗意关系推知，更短的波长对应更高能量的粒子。因此，重要的推论是：驻波描述具有确定能量的粒子；能量越高，钟指针绕圈越快。
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小结一下，我们推理得出，当电子被势所束缚时，其能量被量子化。用物理学的行话来说，我们认为一个被陷住的电子只能存在于特定的“能级”（energy level）之中。电子能具有的最低能量，对应其“基频”驻波[128]，而这个能级通常被称为“基态”（ground state）。对应更高频率驻波的能级称为“激发态”（excited state）。
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我们来想象一个困在方阱势中、具有特定能量的电子。我们说它“坐在一个特定的能级中”，其量子波将与一个单一的n值相关联（见本章前文）。“坐在一个特定的能级中”，这种措辞反映出下列事实：在没有外部影响时，电子会什么都不做。更通俗地说，电子可以由很多驻波来描述，就像吉他的声音是由很多谐波组成的。这意味着，电子一般具有的不是唯一能量。
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关键之处在于，测量电子能量给出的值必须始终与其中一列驻波相关。为了计算出在某个特定能量找到电子的概率，我们应该考虑总波函数中与该能量相对应的驻波的贡献，将这些驻波所关联的钟指针长度求平方，并加起来，得到的数就告诉我们电子处在这种特定能态的概率。所有这样的概率（每个能级都有一个）相加必需和为1；这反映了一个事实，即我们总会发现，粒子的能量与特定的驻波相对应。
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我们说白了：电子可以同时具有很多不同的能量，而这和说它可以处于多个位置一样怪诞。当然，到了本书的这个阶段，你应该不会再感到震惊；但在我们的日常直觉中，这还是让人震惊。注意，陷住的量子粒子，和泳池中或吉他弦上的驻波，有一项至关重要的区别。对于吉他上的驻波，它们被量子化的观念一点都不奇怪，因为描述振动弦的真实的波，是由很多不同的驻波同时组成的；而所有的这些波，在物理上都对波的总能量有贡献。因为它们能以任何方式混合，振动弦的能量可以取任意值[129]。然而，对于陷在原子内部的电子，每列驻波的相对贡献，描述了电子以那种特定能量被发现的概率。关键的区别在于，水波是由于水分子集体运动而显现的波，而电子波当然不是由电子集体运动而显现的波。
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这些考量表明，原子内部的电子能量是量子化的。这意味着，电子根本无法具有任何介于某些允许值之间的能量。这就像是说，一辆车能以时速10英里或40英里行驶，但不能以介于其中的时速行驶。这个恢恑憰怪的结论立刻提供了解释，当电子沿螺线落入原子核时为何原子不会连续地辐射光。这是因为，没有办法让电子不断地一点一点释放能量。相反，它唯一能释放能量的方式，就是一次性失去一大块能量。
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图6.7：氢原子的巴耳末系：这就是来自氢元素的光通过光谱仪后得到的图案。
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我们也可以将刚才所学，与观测到的原子性质联系起来；具体来看就可以解释它们发出光的独特颜色。图6.7展示了最简单的原子——氢原子所发出的光。这种原子发出的光，由五种独特的颜色组成：一条对应656纳米波长的亮红色谱线，一条对应486纳米波长的淡蓝色谱线，还有三条紫色的、逐渐消失在光谱紫外端的谱线。这一系列颜色被称为巴耳末系，得名于瑞士数学物理学家约翰·巴耳末[130]（Johann Balmer）；他在1885年写下了能描述这些谱线的公式。巴耳末不知道他的公式为什么有效，因为量子理论当时还没有被发现；他只是用一个简单的数学公式，表达了光谱图案背后的规律。但我们能做得更好，而这一切都与氢原子内部所允许的量子波有关。
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我们知道，光可以被看作光子流，每个光子的能量是E=hc/λ，其中λ是光的波长[131]。因此，原子只能发出特定颜色的光，这项观测结果就意味着，它们只能发出能量特定的光子。我们还了解到，“陷在原子”中的电子只能具有某些特定的能量。这是我们向解释由原子发出的彩色光的这个历史谜团迈进了一小步：不同的颜色，对应于电子从一个允许的能级“下落”至另一个时所发出的光子。这个想法意味着，观测到的光子能量，总是对应于一对允许的电子能量之差。这种描述光谱物理的方法，很好地展示了以允许的电子能量来描述其量子态的价值。反观，如果我们是选用了电子动量的允许值，则量子性质就不会那么明显，而我们也不会这么容易就得出结论：原子只能以特定波长发出与吸收光辐射。
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原子的盒中粒子模型没有精确到足以计算真实原子中的电子能量，然而这项计算是检验这个想法的必要条件。所幸如果我们能更准确地对质子附近陷住电子的势建模，也可以完成精确的计算。只要这些计算确凿无疑，就能证实，驻波所描述的确实是那些神秘的光谱线的起源。
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你可能已经注意到，我们并未解释电子为何会因发出光子而失去能量。就本章目的而言，我们不需要解释。但是，一定会有什么东西，促使电子离开驻波，而这“什么东西”是第十章的主题。现在，我们只简要地说，“为了解释观测到的由原子所发出的光的图案，有必要假设，当电子从一个能级下落到另一个更低能级时，就会发出光”。原子盒的形状决定允许的能级，且它们因原子而异，因为在不同原子中，电子受限的环境不同。
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到这里为止，我们用一幅非常简单的原子图像很好地解释清楚了；但还不足以假设电子被封闭在某个盒子中自由运动。电子是在一堆质子和其他电子附近运动；要真正理解原子，我们现在必须思考，如何更准确地描述这个环境。
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