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图7.3：两个电子的散射。
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可以通过思考当两个电子彼此“弹”回时会怎么样，来解决这个问题。图7.3说明了一种特殊的情况：两个用“1”和“2”标记的电子，从某处出发，在他处结束。最终的位置标记为A和B。阴影泡是在提醒，我们还没有考虑过两个电子相互作用的过程（个中细节和这段讨论的目标无关）。我们只需想象，电子1自其起始位置跃起，并到达标为A的位置。同样，电子2到达标为B地位置。这就是上方图所展示的状况。其实，即使忽略两个电子可能发生相互作用，我们即将提出的论点也是成立的。在那种情况下，电子1跃至A处，且对电子2的闲庭信步毫无察觉；而在位置A找到电子1且在位置B找到电子2的概率，就会是两个独立概率的乘积。
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例如，假设电子1跃至位置A的概率是45%，而电子2跃至位置B的概率是20%，在位置A找到电子1且在位置B找到电子2的概率是0.45×0.2=0.09=9%。我们在这里所做的，和掷硬币、骰子的逻辑一样：同时得到硬币“反面”和骰子“六”点的概率是1/2乘以1/6，等于（比8%多一点）[151]。
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如图所示，还有第二种方法可以让两个电子到达A和B。有可能电子1跃至B，而电子2跃至A。假设在B处找到电子1的概率是5%，在A处找到电子2的概率是20%，则在B处找到电子1且在A处找到电子2的概率是0.05×0.2=0.01=1%。
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因此，有两种方法可以让两个电子到达A和B：一种有9%的概率，另一种有1%的概率。所以，如果我们不在乎谁是谁，则一个电子到达A、另一个到达B的概率，应该是9%+1%=10%。很简单，但这是错的。
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错误在于，上述推理中假设，可以谈论哪个电子到达A、哪个又到达了B。如果所有电子在各方面都完全相同呢？这听起来可能是个无关紧要的问题，但并非如此。顺便一提，量子粒子可能严格全同（identical）的说法，最早追溯到与普朗克的黑体辐射定律有关。一位鲜为人知的物理学家拉迪斯拉斯·纳坦森[152]（Ladislas Natanson）早在1911年就指出，普朗克定律与光子可被看作可区分粒子的假设不兼容。换句话说，如果能标记一个光子并追踪其运动，就不会得到普朗克定律。
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如果电子1和2是绝对全同的，则散射过程须描述如下：起初有两个电子，一小段时间后仍有两个电子，位于不同位置。如前所述，量子粒子不沿明确定义的轨迹运动，这意味着即使在原则上也确实无法追踪它们。因此，声称电子1出现在A处而电子2在B处，毫无意义。因为我们就是无法分辨，给它们做标记也没有意义。这就是量子理论中两个粒子“全同”的意义。这条推理线会把我们带到哪里？
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再看看图7.3。对于这个特定的过程，我们给上下两张图关联的概率（9%和1%）并没有错。然而，它们还不是全部。我们知道，量子粒子是由钟来描述的，所以我们可以将到达A的电子1与一块大小等于45%的平方根的钟关联起来。同样，也有一块钟与到达B的电子2相关联，其大小等于20%的平方根。
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现在要引入一条新的量子规则。它说，要把一块钟与整个过程关联起来；亦即，有一块钟，其大小的平方等于在A处找到电子1并在B处找到电子2的概率。换言之，在图7.3中，有一块单独的钟与上方图相关联。可以看到，这块钟的大小必须等于9%的平方根，因为那就是该过程发生的概率。但它会指向什么时刻呢？这个问题的解答是第十章的领域，而它涉及钟相乘的概念。就本章而言，我们无需知道具体时刻，只需知道刚刚说过的那条重要的新规则；而它值得被重复一次，因为它是量子理论中的一条非常普遍的阐述：应该给一整个过程可能发生的所有方式都单独关联一块钟。给在单个位置找到单个粒子这个过程关联上一块钟，是这条规则最简单的示例；而在本书中，我们利用它顺利走到了这一步。但这是一种特殊情况；只要我们开始考虑多于一个粒子的情形，就需要扩展这条规则。
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这意味着，图7.3中的上方图对应一块大小等于0.3的钟。同样，有一块大小等于0.1（因为0.1的平方是0.01=1%）的钟与下方图相关联。因此，我们有两块钟，并想以此确定在A处找到一个电子并在B处找到另一个的概率。如果两个电子是可区分的，答案会很简单：只需把与每种可能相关联的概率（而非钟）加起来。这样就会得到10%的答案。
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但是，如果完全无法知道哪张图是真实的情况——例如当电子彼此不可区分时，则按照我们为单个粒子从此处跃至彼处而建立的逻辑，尝试把钟合并起来。我们所追求的是更具普遍意义的规则：对于单个粒子应该把粒子能到达某特定位置的所有方式所对应的钟都加起来，这样才能确定在那个位置找到粒子的概率。对于由许多全同粒子组成的系统，考虑到达一组位置的所有不同方式，应该把与这些方式所关联的所有钟都合并在一起，才能确定这些粒子在这组位置被找到的概率。这一点很重要，足够值得多读几遍；应该很清楚，这条合并钟的新规则，是我们一直以来用于单个粒子的规则的直接延展。然而，你可能已经注意到，我们在措辞上非常小心。笔者并没有说，这些钟一定要加在一起，而是说它们应该被合并起来。笔者的谨慎是有充分理由的。
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最显而易见的做法，是把钟都加起来。但在跃进之前，我们应该先问一下，是否有好的理由能说明这是对的。这是一个很好的例子，说明在物理学中不要想当然；对假设的探索，往往带来新的见解，在本例中亦是如此。我们来退一步，想想最一般的做法。这会是在把钟相加之前，允许将其中一块钟旋转或者收缩的可能性。我们来更详细地探索一下这种可能性。
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现在是这样：“我有两块钟，想把它们合并成一块钟，这样就能知道在A和B发现这两个电子的概率是多少。我该怎么合并它们呢？”我们并没有先入为主地给出回答，因为我们想要理解，钟的相加是否真的是我们应该使用的规则。可以发现，我们能有的选择并不多；钟的相加是仅有的两种可能性之一，这真是耐人寻味。
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为了简化讨论，我们来把粒子1跃至A且粒子2跃至B所对应的钟称为钟1。这就是图7.3中与上方图相关联的钟。而钟2则对应另一选项，即粒子1跃至B且粒子2跃至A。这里有一条重要的认识：如果在将钟1与钟2相加之前先旋转前者，则我们计算出的最终概率必须与选择先将后者做相同旋转时的概率相同。
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要看出这一点，注意到交换图中的标签A和B显然并不能改变什么，而只是用不同的方式描述同一个过程。但是，交换A和B，也会交换图7.3中的上下图。这就是说，如果我们决定在把钟1与钟2相加之前先旋转前者（对应于上方图），那么在交换标签A与B后，这必须精确对应于先旋转钟2再相加。这段逻辑推理至关重要，值得三令五申。由于已经假定无法分辨两个粒子之间的区别，因此我们可以将标签互换。这意味着，旋转钟1与将钟2转过相同圈数，必须给出相同的答案，因为无法区分两块钟。
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这项观察并非善类：它给出了一个非常重要的结果。因为要将钟旋转和缩小之后再加起来，有且仅有两种可能的方法可以让得到的最终结果不依赖于一开始选择对哪块钟做这些操作。
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图7.4：上方图显示，在将钟1旋转90度后再把钟1和2相加，与先将钟2旋转90度再把它们相加，是不一样的。下方图显示了一个有趣的可能性：我们可以把一块钟旋转180度再相加。
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图7.4展示了这一点。上方图说明，如果将钟1旋转90度再与钟2相加，则得到的结果与先将钟2旋转90度再与钟1相加不同。我们能看出这一点是因为，如果先旋转钟1，则由点线箭头表示的新指针与钟2的指针指向相反的方向，因此它们部分抵消。而旋转钟2的指针则会使其与钟1的指针指向相同方向，它们相加就会得到更大的指针。
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应该很清楚，90度并不特殊；选择其他的旋转角度，也会给出一个相加结果与钟1和钟2谁被旋转有关。
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一个明显的特例是钟转过的角度为0，因为先将钟1旋转0度再与钟2相加，与先将钟2旋转0度再与钟1相加，显然是完全相同的。这就是说，把钟加起来并不做任何转动，也是有可能的。类似地，将两块钟转过相同的角度也能行，但这与“不旋转”的情形是一样的，对应于重新定义“12点”。这相当于是说，我们可以自由地将所有的钟都转过相同的角度，只要是每一块钟都这么做，那就永远不会影响到我们想要计算的概率。
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图7.4的下方图说明，还有一种方法可以把钟合并起来，或许有点令人惊讶：我们可以把其中一块转过180度，再与另一块相加。这并不能在两种情形下产生完全相同的钟，但是它确实产生了相同大小的钟，这意味着转过180度的做法能给出在A处找到一个电子并在B处找到另一个的概率是相同的。
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用类似的推理可以排除在相加前收缩或者拉伸其中一块钟的可能性；因为如果我们将钟1收缩一定比例，再与钟2相加，则这通常与将钟2缩小相同的量，再与钟1相加，是不一样的；而且收缩与旋转不同，没有例外情况。
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因此可以得出一个有趣的结论。尽管我们一开始给了自己完全的自由，但我们发现，由于无法区分粒子，实际上只有两种方法可以把钟组合起来：可以把它们直接相加，或者把其中一块钟旋转180度再相加。真正令人高兴的是，大自然利用了这两种可能性。
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