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应该很清楚，90度并不特殊；选择其他的旋转角度，也会给出一个相加结果与钟1和钟2谁被旋转有关。
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一个明显的特例是钟转过的角度为0，因为先将钟1旋转0度再与钟2相加，与先将钟2旋转0度再与钟1相加，显然是完全相同的。这就是说，把钟加起来并不做任何转动，也是有可能的。类似地，将两块钟转过相同的角度也能行，但这与“不旋转”的情形是一样的，对应于重新定义“12点”。这相当于是说，我们可以自由地将所有的钟都转过相同的角度，只要是每一块钟都这么做，那就永远不会影响到我们想要计算的概率。
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图7.4的下方图说明，还有一种方法可以把钟合并起来，或许有点令人惊讶：我们可以把其中一块转过180度，再与另一块相加。这并不能在两种情形下产生完全相同的钟，但是它确实产生了相同大小的钟，这意味着转过180度的做法能给出在A处找到一个电子并在B处找到另一个的概率是相同的。
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用类似的推理可以排除在相加前收缩或者拉伸其中一块钟的可能性；因为如果我们将钟1收缩一定比例，再与钟2相加，则这通常与将钟2缩小相同的量，再与钟1相加，是不一样的；而且收缩与旋转不同，没有例外情况。
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因此可以得出一个有趣的结论。尽管我们一开始给了自己完全的自由，但我们发现，由于无法区分粒子，实际上只有两种方法可以把钟组合起来：可以把它们直接相加，或者把其中一块钟旋转180度再相加。真正令人高兴的是，大自然利用了这两种可能性。
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对于电子，在把钟相加之前，必须额外加入半圈旋转。对于像光子或希格斯玻色子这样的粒子，相加之前无需旋转。因此，大自然中的粒子分成两类：需要旋转的叫作费米子[153]（fermion），无需的叫作玻色子[154]（boson）。什么决定了一个特定的粒子是费米子还是玻色子？是自旋。
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顾名思义，自旋是粒子角动量[155]的一种体现；事实上，费米子的自旋总是等于某个半整数[156]，而玻色子的自旋总是整数。我们说电子具有自旋1/2，光子具有自旋1，而希格斯玻色子具有自旋0。在本书中，笔者一直避免深入处理自旋，因为它在多数情况下都是技术细节。然而，在讨论元素周期表时，我们的确需要一个结果，即电子有两种类型，对应于其角动量的两种可能（自旋向上和自旋向下）。这是一个符合一般规律的例子，即自旋s的粒子通常有2s+1种；例如，自旋1/2的粒子（如电子）有2种类型，自旋1的粒子有3种，而自旋0的粒子有1种。粒子的内禀角动量与钟组合方式之间的关系，被称为自旋-统计定理（spin-statistics theorem）；要使量子理论的形式和爱因斯坦的狭义相对论相容，它就会出现。更具体地说，自旋-统计定理是确保不违反因果律[157]的直接结果。不幸的是，自旋-统计定理的推导超出了本书水平——实际上，它超出了很多书的水平。在《费曼物理学讲义》[158]中，理查德·费曼是这样说的：
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很抱歉，对于这个问题我们不能给出一个简单的解释，泡利曾以量子场论和相对论的复杂论证作出过一个解释；他指出，量子场论和相对论必须一起应用。但我们无法在初等的水平上找到一种方法来重复他的论证。看来这是物理学中不多的情形之一，它们之中有能表述得非常简明的规则，但是没人能找到简单而又容易的解释。
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考虑到理查德·费曼是在一本教科书上写下此语，笔者必须举手赞同。但是，这条规律很简单，而你必须相信，它是可以被证明的：对于费米子，必须旋转半圈，而对于玻色子，无需旋转。可以证明，旋转就是不相容原理的原因，因此也是原子结构之所以如此的原因；并且，经过我们的艰苦努力，现在它也能被解释得很简单。
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想象将图7.3中A点和B点越移越近。当它们非常靠近时，钟1和钟2的大小一定很接近，指示的时间也差不多。当A和B完全重合时，两块钟必须完全一样。这应该显而易见，因为钟1对应粒子1运动到A点，而由于A和B重合，钟2在这种特殊情形中代表完全一样的东西。尽管如此，我们仍有两块钟，必须把它们加起来。但这里有一个问题：对于费米子，必须先将其中一块钟转过180度。这意味着，当A和B在相同位置时，钟的读数总是完全“相反”——如果一块钟是12点，则另一块钟是6点——因此把它们加起来，总会得到一块大小为零的钟。这是个迷人的结果，因为它意味着在相同位置找到这两个电子的机会永远是零：量子物理学定律使它们彼此避开。它们愈接近对方，产生的钟就愈小，这种接近就愈不可能发生。这就是著名的泡利不相容原理的一种表述方式：电子会互相避开。
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我们最早的出发点是想要展示，氢原子中没有两个相同的电子可以处于同一能级。我们还没有完全证明这一点，但电子会互相避开的概念显然对原子以及我们为何不会落入地面有所影响。现在我们知道了，我们鞋的原子包含的电子与地面的电子不仅是由于同性电荷相斥而相互推开；根据泡利不相容原理，它们也因自然的互相避开而排斥。原来，正如戴森和莱纳德所证明的那样，是电子的避让使我们真正免于落入地面，并迫使电子占据原子内部的不同能级，使原子具有结构，最终产生了我们在大自然中看到的各种化学元素。这显然是对日常生活具有非常重大影响的物理现象。在本书的最后一章中，笔者将展示，泡利原理在对于避免一些恒星在其自身引力作用下坍缩也起到了何种至关重要的作用。
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最后，我们要解释一下：如果没有两个电子可以在同一时刻位于同一地点，则原子中也没有两个电子可以有相同的量子数；也就是说，它们不可能具有相同的能量和自旋。如果考虑两个自旋相同的电子，则我们希望证明，它们不能处于相同的能级。如果它们真的处于相同的能级，则每个电子必定被描述为分布在空间中完全相同的钟的阵列（对应于相关的驻波）。对于空间中的每一对位置——标记为X和Y——则有两块钟。钟1对应于“电子1在X”和“电子2在Y”，而钟2对应“电子1在Y”和“电子2在X”。从之前的考量中我们知道，这些钟应该在将其中一块旋转6小时后再相加，只有这样才能得出，在X处找到一个电子而在Y处找到第二个的概率。但如果两个电子能量相同，则钟1和钟2在关键的额外旋转之前必定完全相同。在旋转之后，它们的读数会“相反”，且和先前的例子一样，加起来得到没有大小的钟。任何位置的X和Y都会这样，因此找到一对驻波构型相同从而能量也相同的电子，概率完全是零。归根结底，这就是你体内原子稳定性的由来。
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[135]安德鲁·莱纳德，1927年生于匈牙利的包尔毛兹新城，美籍数学物理学家。
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[136]《物质的稳定性》两篇论文，发表于《数学物理期刊》第8卷第423页及第9卷第698页。
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[137]vintage champagne，指酿造基酒完全来自某年份且符合“香槟”标准的葡萄气泡酒，一般来自葡萄品质超群的年份。
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[138]numerology，指相信数字与相应事物存在神秘联系的一类迷信。
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[139]如上一章所述，从技术角度来讲，由于质子周围的势阱是球对称的而非方盒，所以薛定谔方程的解，必须正比于球面谐波（spherical harmonic）。与球面谐波关联的角度依赖给出了量子数l和m。解的径向依赖，给出了主量子数n。（原书注）
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[140]德米特里·门捷列夫，1834年生于俄国托博尔斯克，1907年卒于圣彼得堡，俄国化学家。
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[141]埃德蒙·斯托纳，1899年生于萨里郡，1968年卒于利兹，英国理论物理学家。
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[142]亚瑟·斯托纳(Arthur Stoner)，1870年生于伦敦的斯特雷特姆，卒于1938年，英国职业板球运动员和裁判。
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[143]又名《板球圣经》，是由英国板球运动员约翰·威斯登于1864年创办的年鉴。
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[144]板球是一种盛行于英联邦国家的团体运动。投球击落三柱门上的横木，可使对方击球员出局。
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[145]利兹位于英格兰中北部。
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[146]乔治·乌伦贝克，1900年生于今天的印度尼西亚雅加达，1988年卒于美国科罗拉多州博尔德，美籍荷兰裔理论物理学家。
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