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图8.3：类似图8.1，但势阱更接近。双势阱间区域的“渗漏”增加了。和图8.1不同的是，笔者也画出了对应次低能量的一对波函数。
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在看过双势阱之间距离很远和很近的两种极端情况后，我们可以思考，当减小双势阱间距离时，电子允许的能级是如何变化的，以将概念补充完整。在图8.4中勾勒出了四个最低能级。四条线中每一条都代表四个最低能级中的一个，而对应的波函数也示意地画在了旁边。图右侧展示了势阱间隔很远时的波函数（另见图8.1）；如我们所期望的，每个势阱中电子能级之差几乎无法区分。然而，随着势阱彼此靠近，能级开始分离（比较图左侧的波函数与图8.3中的波函数）。有意思的是，反对称波函数对应的能级上升，而对称波函数对应的能级下降。
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图8.4：改变势阱（或原子）间距离时，允许的电子能级的变化。
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这个结论对于由两个质子和两个电子——即两个氢原子——组成的真实体系有着深远的影响。要记住，在现实中两个电子因为它们可以具有截然相反的自旋，可以填入同一个能级。这意味着，它们可以都填入最低的（对称）能级；并且关键的是，这个能级随着原子靠近而下降。也就是说，在能量上原本远离的两个原子相互靠近，可以有利于降低体系的总能量。这也是在大自然中实际发生的事情[168]：在对称波函数所描绘的体系中，电子能更平均地分享给两个质子，而在“相距甚远”的波函数所描绘的体系中可能就没有那么平均；而由于这种“分享”构型的能量较低，原子就被拉向对方。这种吸引效应最终会消失，因为两个带正电荷的质子会相互排斥（由于电子带相同的电荷，它们也会相互排斥），但这种排斥只有在距离小于约0.1纳米（室温下）时才能战胜原子间的吸引效应。结果就是，一对静止的氢原子最终会抱在一起。这对抱在一起的氢原子被称作氢分子。
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这种两个原子由于分享电子而粘在一起的倾向被称为共价键（covalent bond）。回顾图8.3中顶部的波函数，大致就是氢分子中共价键的样子。要记住，波高度的平方，对应于电子在那里被找到的概率[169]。每个势阱也就是每个质子上方都有一个峰，告诉我们每个电子仍然最有可能位于这个或者某个质子附近。但是，电子也有很大机会逗留在质子之间。正如化学学者所说，原子在共价键中“分享”电子，而这也是我们在具有两个方势阱的简单玩具模型中所看到的。撇开氢分子不说，我们在第七章讨论化学反应时也引用了原子分享电子的倾向。
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这是一个令人非常满意的结论。我们已经了解到，对于相距甚远的氢原子，两个最低能级之间的差异只有学术意义，尽管它的确引导我们做出结论：宇宙中的每个电子都知道其他电子的存在，这当然引人入胜。另一方面，随着质子靠向彼此两个能级逐渐分开，而更低的能级对应的态最终成为描述氢分子的态，这就远不是只有学术意义了，正因为共价键的存在，我们才没有待在一堆由四处乱窜的原子所组成的无特征的泡泡中。
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现在我们可以沿着这条思路往下走，开始思考当把两个以上的原子放在一起时会怎么样。我们从考虑三势阱开始，如图8.5所示。一如既往，我们要想象每个阱都位于一个原子处。应该有三个最低能态；但是看着这张图，你或许会忍不住想，现在单势阱中的每个能态都有四个能态。我们心中的四个能态也被画在了图中，他们对应于围绕双势阱的中心势垒呈对称或是反对称的四个波函数[170]。这个计数一定不对，因为如果它是对的，则可以将四个全同费米子填入这四个态中，就会违反泡利原理了。遵守泡利原理，我们只需要三个能级，而这当然就是真实情况。要看清这一点，只需注意到，可以把四个波函数的任何一个写成其他三个波函数的组合。图的最下方我们已经展示说明了在这一个特殊情形中是如何通过其他三个的加减组合得到最后一个波函数。
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图8.5：三阱势，在我们的模型中对应于排成一列的三个原子，以及几个可能最低能的波函数。在图的底部，我们展示了第四个波函数可以由其他三个组合得到。
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在确定了三势阱中粒子的三个最低能态后，我们可以问，图8.4在这种情形中会是什么样子；不出意外结果应该很相似，只是原来的一对可取能态变成了三重（triplet）可取态。
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三个原子已经说够了，现在我们要把注意力迅速转移到一条多原子链上。这会特别有趣，因为它包含了一些关键的想法，能让我们解释很多固体物质内部发生的事情。如果有N势阱（作为含N个原子的原子链的模型），则对于单势阱中的每个能级，现在都会有N个能级。如果N是像1023这样的数字，那分裂数目就惊人了，然而这个数通常只是一小块固体材料中的原子数目。结果是，图8.4现在看起来像图8.6那样。纵向的虚线表明，对于间隔一定距离的原子，电子只能有确定的允许能量。这应该不令人惊讶（如果不然，你最好从头重读本书），但有趣的是，允许的能量是以“能带”（band）的形式出现的。从A到B的能量都被允许，但直到C以前的其他能量都不行，而C到D的能量是允许的，依此类推。原子链上有很多原子，这个事实意味着，每个能带中被塞入了非常多允许的能量。数量之多，以至于对于典型的固体来说，我们就可以假设，允许的能量形成了平滑的连续体。我们玩具模型中的这个特征，在真实的固体物质中得以保留；在那里，电子的能量真的被排列成这样的能带，而这对我们讨论的固体的类型有着重要的影响。特别是，这些能带解释了为何有些材料（金属）导电，而其他一些（绝缘体）不导电。
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图8.6：一块固体物质中的能带，以及它们随原子间距的改变是如何变化的。
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怎么会这样呢？让我们首先考虑一个原子链（和以前一样，以一个势阱链作为模型），但现在假设每个原子都有好几个束缚电子。当然，这才是常态——只有氢原子的单个质子周围才只束缚一个电子——因此，我们从讨论氢原子链，转入讨论更有意思的重原子链。还要记住，电子有两种类型：自旋向上和自旋向下。而泡利原理告诉我们，在同一个允许的能级上，不能放超过两个电子。因此，对于只含一个电子的原子（即氢原子）组成的原子链，n=1能带是半满的。图8.7展示了由5个原子组成的原子链的能级。这意味着，每个能带含有5个不同的允许能量。这5个能级最多可以容纳10个电子，但我们只须考虑5个电子，因此在最低能构型中，原子链所含的5个电子占据了n=1能带的下半部分。如果能带中有100个原子，则n=1能带中可以包含200个电子；但对于氢原子，我们只有100个电子要处理，所以在原子链处于最低能量构型中，n=1能带还是半满。图8.7还展示出，当每个原子含2个电子（氦）或3个电子（锂）时，会怎么样。在氦的情形中，最低能构型对应充满的n=1能带，而对于锂，n=1能带充满，而n=2能带半满[171]。显然这种充满或半满的模式会持续下去，使得偶数个电子的原子总是形成充满的能带，而奇数个电子的原子总是形成半满的能带。我们很快就会发现，能带充满与否，正是有些材料是导体，而另一些是绝缘体的原因。
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图8.7：在5个原子链中，当每个原子含一个、两个或三个电子时，电子占据最低能态的方式。黑点表示电子。
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我们现在来想象一下，将原子链的两端连到电池的电极上。根据经验，如果原子形成金属，则会产生电流（electric current）。但是这到底是什么意思，跟我们讲过的故事又有什么关系呢？幸运的是，我们并不需要精确了解电池对导线中的原子产生了何种作用。只需要知道，连接后电池提供了一个能量源，可以稍微推动电子，并且总是向着相同方向推动。值得注意的问题是，电池究竟是如何做到这一点的，简单地说“这是因为它在导线内诱导了一个电场，电场则推动了电子”，这答案并不能完全令人满意；但就本书而言，这个答案已经足够。虽然我们可以求助于量子电动力学的定律，试图从电子与光子发生相互作用的角度来解决整件事。但这么做完全不会给这里的讨论增添任何东西，所以简洁起见，我们暂且搁置这个问题。
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想象一个电子位于其中一个能量确定的量子态。我们首先假设，电池的作用只能非常微弱地推动电子。如果电子处于一个低能量子态，而有很多其他电子在能量梯（这么说是形象地描述图8.7）中比它高的地方，这个电子就接收不到电池所给予的推动能量。因为上方的能级已经被填满了，它被挡住了。打个比方，电池或许能把电子踢高几个踏板，但如果所有能到达的踏板都已经被占用了，目标电子就必须放弃吸收能量的机会，因为它无处可去。要记住，如果位置都被占用了，不相容原理就会阻止它和其他电子待在一起。这个电子会被迫表现得像根本没有连接电池一样。对于那些具有最高能量的电子，情况就不太一样。它们位于接近堆顶的位置，有可能吸收电池的微弱推动而进入更高的能级——但前提是它们没有位于满能带的顶部。参考图8.7，我们看出，如果原子链中的原子含有奇数个电子，则最高能的电子就可以从电池中吸收能量。如果原子有偶数个电子，则能级最高的电子还是无处可去，因为在能量梯上有一个巨大的间隙；只有给电子足够有力的推动才能越过它。
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这意味着，如果一块特定固体中的原子含有偶数个电子，这些电子在连上电池后，很可能也表现得像从未连接过电池一样。电流根本无法形成，因为电子没有办法吸收能量。这就是对绝缘体的描述。跳出这个结论的唯一方法是，满能带最高的顶部和下一个空能带底部之间的能隙足够小；我们很快就会对此作出说明。相反，如果原子中有奇数个电子，则顶部的电子总可以自由地吸收电池的推动。它们就会跃上更高的能级；并且由于推动的方向总是相同，净效应是诱导出迁移电子的流，也就是电流。因此我们可以得出结论：如果固体由含奇数个电子的原子组成，则它们注定是电导体。
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可喜的是，现实世界并不这么简单。碳原子含有六个电子；作为一种完全由它构成的晶体，钻石（diamond）是一种绝缘体。而另一方面，同样由纯碳构成的石墨（graphite）则是一种导体。事实上，奇/偶电子法则在实际中几乎不能用，但这是由于我们对固体建立的“直线势阱”模型太过简陋。这个模型还是有完全正确的部分：电导体的特点是，最高能的电子有足够的空间，能跃至更高能级；而绝缘体之所以绝缘，是因为它们最高能的电子由于能量梯上的能隙被挡住而无法到达更高的能级。
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这个故事还有一个转折，它对于下一章解释半导体中电流的形成比较重要。我们来想象一个电子，能在完美晶体的未满能带中自由游荡。提到晶体的意思是，化学键（可能是共价键）的作用使得原子有规律地排列。在我们的一维固体模型中，如果所有势阱等距且等大小，就相当于晶体。如果连上电池，一个电子就会随着施加电场的轻推而欢快地从一个能级跳到下一个。结果随着电子吸收的能量愈来愈多，运动速度愈来愈快，电流也会稳步增大。对于任何了解电学的人来说，这听起来应该很古怪，因为没有提到“欧姆定律”[172]；欧姆定律指出电流（I）应由施加的电压（V）通过V=I×R决定，其中R表示导线的电阻。欧姆定律的出现，是因为电子跃上能量梯时，它们也可以损失能量并再次跌落；这只会在原子晶格不完美时才会发生，要么是因为晶格中有杂质（即和大多数不同的离群原子），或者原子显著地晃动，这在任何非零[173]温度下都不可避免地会发生。因此，电子在爬上能量梯的过程中，大部分时间是在下一盘微观的蛇梯棋[174]；由于与不完美的原子晶格相互作用，它会再次掉下来。一般效果是，产生一个“典型”的电子能量，导致一个固定的电流。这个典型的电子能量，决定了电子在导线上流动的速度，这就是我们所说的电流。导线的电阻可以看成是衡量电子通过的原子晶格的不完美程度。
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