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怎么会这样呢？让我们首先考虑一个原子链（和以前一样，以一个势阱链作为模型），但现在假设每个原子都有好几个束缚电子。当然，这才是常态——只有氢原子的单个质子周围才只束缚一个电子——因此，我们从讨论氢原子链，转入讨论更有意思的重原子链。还要记住，电子有两种类型：自旋向上和自旋向下。而泡利原理告诉我们，在同一个允许的能级上，不能放超过两个电子。因此，对于只含一个电子的原子（即氢原子）组成的原子链，n=1能带是半满的。图8.7展示了由5个原子组成的原子链的能级。这意味着，每个能带含有5个不同的允许能量。这5个能级最多可以容纳10个电子，但我们只须考虑5个电子，因此在最低能构型中，原子链所含的5个电子占据了n=1能带的下半部分。如果能带中有100个原子，则n=1能带中可以包含200个电子；但对于氢原子，我们只有100个电子要处理，所以在原子链处于最低能量构型中，n=1能带还是半满。图8.7还展示出，当每个原子含2个电子（氦）或3个电子（锂）时，会怎么样。在氦的情形中，最低能构型对应充满的n=1能带，而对于锂，n=1能带充满，而n=2能带半满[171]。显然这种充满或半满的模式会持续下去，使得偶数个电子的原子总是形成充满的能带，而奇数个电子的原子总是形成半满的能带。我们很快就会发现，能带充满与否，正是有些材料是导体，而另一些是绝缘体的原因。
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图8.7：在5个原子链中，当每个原子含一个、两个或三个电子时，电子占据最低能态的方式。黑点表示电子。
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我们现在来想象一下，将原子链的两端连到电池的电极上。根据经验，如果原子形成金属，则会产生电流（electric current）。但是这到底是什么意思，跟我们讲过的故事又有什么关系呢？幸运的是，我们并不需要精确了解电池对导线中的原子产生了何种作用。只需要知道，连接后电池提供了一个能量源，可以稍微推动电子，并且总是向着相同方向推动。值得注意的问题是，电池究竟是如何做到这一点的，简单地说“这是因为它在导线内诱导了一个电场，电场则推动了电子”，这答案并不能完全令人满意；但就本书而言，这个答案已经足够。虽然我们可以求助于量子电动力学的定律，试图从电子与光子发生相互作用的角度来解决整件事。但这么做完全不会给这里的讨论增添任何东西，所以简洁起见，我们暂且搁置这个问题。
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想象一个电子位于其中一个能量确定的量子态。我们首先假设，电池的作用只能非常微弱地推动电子。如果电子处于一个低能量子态，而有很多其他电子在能量梯（这么说是形象地描述图8.7）中比它高的地方，这个电子就接收不到电池所给予的推动能量。因为上方的能级已经被填满了，它被挡住了。打个比方，电池或许能把电子踢高几个踏板，但如果所有能到达的踏板都已经被占用了，目标电子就必须放弃吸收能量的机会，因为它无处可去。要记住，如果位置都被占用了，不相容原理就会阻止它和其他电子待在一起。这个电子会被迫表现得像根本没有连接电池一样。对于那些具有最高能量的电子，情况就不太一样。它们位于接近堆顶的位置，有可能吸收电池的微弱推动而进入更高的能级——但前提是它们没有位于满能带的顶部。参考图8.7，我们看出，如果原子链中的原子含有奇数个电子，则最高能的电子就可以从电池中吸收能量。如果原子有偶数个电子，则能级最高的电子还是无处可去，因为在能量梯上有一个巨大的间隙；只有给电子足够有力的推动才能越过它。
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这意味着，如果一块特定固体中的原子含有偶数个电子，这些电子在连上电池后，很可能也表现得像从未连接过电池一样。电流根本无法形成，因为电子没有办法吸收能量。这就是对绝缘体的描述。跳出这个结论的唯一方法是，满能带最高的顶部和下一个空能带底部之间的能隙足够小；我们很快就会对此作出说明。相反，如果原子中有奇数个电子，则顶部的电子总可以自由地吸收电池的推动。它们就会跃上更高的能级；并且由于推动的方向总是相同，净效应是诱导出迁移电子的流，也就是电流。因此我们可以得出结论：如果固体由含奇数个电子的原子组成，则它们注定是电导体。
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可喜的是，现实世界并不这么简单。碳原子含有六个电子；作为一种完全由它构成的晶体，钻石（diamond）是一种绝缘体。而另一方面，同样由纯碳构成的石墨（graphite）则是一种导体。事实上，奇/偶电子法则在实际中几乎不能用，但这是由于我们对固体建立的“直线势阱”模型太过简陋。这个模型还是有完全正确的部分：电导体的特点是，最高能的电子有足够的空间，能跃至更高能级；而绝缘体之所以绝缘，是因为它们最高能的电子由于能量梯上的能隙被挡住而无法到达更高的能级。
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这个故事还有一个转折，它对于下一章解释半导体中电流的形成比较重要。我们来想象一个电子，能在完美晶体的未满能带中自由游荡。提到晶体的意思是，化学键（可能是共价键）的作用使得原子有规律地排列。在我们的一维固体模型中，如果所有势阱等距且等大小，就相当于晶体。如果连上电池，一个电子就会随着施加电场的轻推而欢快地从一个能级跳到下一个。结果随着电子吸收的能量愈来愈多，运动速度愈来愈快，电流也会稳步增大。对于任何了解电学的人来说，这听起来应该很古怪，因为没有提到“欧姆定律”[172]；欧姆定律指出电流（I）应由施加的电压（V）通过V=I×R决定，其中R表示导线的电阻。欧姆定律的出现，是因为电子跃上能量梯时，它们也可以损失能量并再次跌落；这只会在原子晶格不完美时才会发生，要么是因为晶格中有杂质（即和大多数不同的离群原子），或者原子显著地晃动，这在任何非零[173]温度下都不可避免地会发生。因此，电子在爬上能量梯的过程中，大部分时间是在下一盘微观的蛇梯棋[174]；由于与不完美的原子晶格相互作用，它会再次掉下来。一般效果是，产生一个“典型”的电子能量，导致一个固定的电流。这个典型的电子能量，决定了电子在导线上流动的速度，这就是我们所说的电流。导线的电阻可以看成是衡量电子通过的原子晶格的不完美程度。
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但欧姆定律并不是前面说的转折。即使没有它，电流也不会一直增加。当电子到达能带顶部时，它们的行为的确非常奇怪，而这种行为的净效应是减小电流，并最终反转它的流向。这非常奇怪：即使电场向一个方向推动电子，当后者接近能带顶部时，也还是会沿着相反的方向运动。对于这种怪异效应的解释超出了本书的范围，所以我们只简单说，带正电荷的原子核是关键；它们的作用是推动电子，使其反向运动。
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现在我们终于要探讨预告中的问题，当一种可能的绝缘体，由于最高的满能带和最低的空能带之间的能隙“足够小”，而表现得类似导体，这时会发生什么？到了这个阶段，值得介绍一些术语。最高（能量）的充满电子的能带，称为“价带”，而在这之上（要么为空，要么为半满）的能带称为“导带”。如果价带和导带重叠（实际上有时确会如此）则根本没有能隙，而可能的绝缘体就会成为导体。如果有能隙但“足够小”，会怎么样？我们已经指出，电子可以从电池中接受能量；因此可以假设，如果电池很强劲，就能提供一次足够有力的推动，将一个靠近价带顶部的电子投射至导带。这是有可能的，但我们的兴趣并不在此，因为常见的电池并不能产生足够有力的推动。如果用一些数字来说明，通常电场在固体内部是几伏特[175]每米的数量级；而我们需要几伏特每纳米的电场（即比通常的情况强十亿倍），才能提供足够的推力，使电子获得从价带跃升至导带所需的电子伏特[176]级的能量。更有趣的情形是，电子可以从组成固体的原子中获得推动。这些原子并不是僵直地待在相同位置，而是略微四处抖动；固体愈热，抖动愈强，而抖动的原子能够传递给电子的能量比常用的电池要多太多，足以使电子的能量提升几电子伏特。在室温下，电子实际很少会受到那么大的冲击，因为在20°C时，典型的热能约为1/40电子伏特。但这只是个平均值，固体中有极大数量的原子，所以这种冲击偶尔也确实会发生。当冲击发生时，电子可以从其价带牢狱中跃至导带，在那里它们有可能吸收来自电池的微弱推动从而引起电流。
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在室温下，如果材料中能有足够数目的电子以这种方式从价带提升到导带，材料就会得到特殊的名称，叫作半导体。在室温下，它们可以承载电流；但当冷却以后，它们中的原子抖动减弱，导电能力消失，因此变回绝缘体。硅和锗是半导体材料的两个经典例子；由于其双重性，可以发挥出很大的作用。的确，要说半导体材料的技术应用彻底改变了世界，一点也不夸张。
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[159]至1984年称为Bell Telephone Laboratories；2007年以后称为诺基亚贝尔实验室，由加拿大发明家和企业家亚历山大·格拉汉姆·贝尔（Alexander Graham Bell）创建；他于1847年生于英国爱丁堡，1922年卒于今天的加拿大诺省美山庄园。
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[160]威廉·布·肖克利，1910年生于英国伦敦，1989年卒于美国加州斯坦福，美国物理学家和发明家。
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[161]这是他1956年诺贝尔奖获奖演说的摘录。（原书注）
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[162]出于这次讨论的目的，我们忽略了电子的自旋。如果想象两个电子的自旋相同，则我们所说的仍然适用。（原书注）
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[163]鲍里斯·波多尔斯基，1896年生于今天俄罗斯罗斯托夫州的塔甘罗格，1966年卒于美国俄亥俄州辛辛那提，犹太裔美籍物理学家。
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[164]纳森·罗森，1909年生于美国纽约，1995年卒于以色列海法，犹太裔美籍以色列籍物理学家。
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[165]这里的民主和平等是西方20世纪以来的政治理论中的提法。
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[166]前面说过，我们考虑两个全同电子，即它们的自旋也相等。（原书注）
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[167]倒置部分与正置部分绝对值相等，符号相反。
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[168]只要质子的相对运动不太快。（原书注）
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[169]这对驻波成立；这种情况下，钟的大小和指针在12点方向的投影成正比。（原书注）
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[170]你会认为有四个波函数，是对应于已绘出波函数的上下倒置；但如前所述，它们与已经画出的是等价的。（原书注）
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[171]这里原文有歧义。对于三维空间中的锂原子组成的原子链，n=2能带可以有l=0和l=±1三种情形；只有l=0的能带是半满的（称为2s能带），其他两种情形对应的能带都是空的。但是如果考虑一维中的势阱链模型，则只有n这一个量子数，没有l等，因此原文表述也可以接受。
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[172]来自格奥尔格·欧姆（Georg Ohm），1789年生于今天德国的巴伐利亚州埃尔朗根，1854年卒于今天的巴伐利亚州慕尼黑，德国物理学家。