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这个结论意味着，可以将尺寸为L、体积为L3的小立方体的质量，表示为Mcube=f(a)L3ρ。我们把f写成f(a)，是为了提醒你，f实际上只取决于我们对a=r/R的选择，而与恒星大规模的性质无关。用相同的论证还可以写下Min=g(a)M这个式子，其中g(a)也只是a的函数。例如，函数g(a)在a=1/2时的值就会告诉我们，具有一半恒星半径的同心球体，其质量占恒星质量的比例；并且它对于所有白矮星都是一样的，与具体的白矮星半径无关，这在前一段已经论证过了[282]。你可能已经注意到，我们在稳步处理(1)式中出现的各种符号，用无量纲的量（a、b、f和g）乘以只和恒星质量及半径有关的量（恒星的平均密度也由M和R决定，因为ρ=M/V，而根据球体积公式，V=4πR3/3）来代替它们。要完成任务，只需对压强差进行相同的处理；可以写作Pbutton－Ptop=h(a,b)κρ5/3，其中h(a,b)是一个无量纲的量。h(a,b)由a和b共同决定，是因为压强差不仅取决于小立方体的位置（由a表示），还取决于立方体的大小（由b表示）：较大的立方体，对应的压强差也较大。关键是，和f(a)与g(a)类似，h(a,b)也不能单单与恒星的半径有关。
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可以用刚刚推导出的表达式，重新写出(1)式：
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(hκρ5/3)×(b2R2)=
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这看起来有点乱，不太像是在一页内就能中大奖。关键之处在于，这是在表达恒星的质量与半径的关系；两者间的具体关系已经近在眼前（或者远在天边，这取决于你的数学能力）。在代入恒星的平均密度[即ρ=M/(4πR3/3)]之后，这个乱七八糟的式子可以整理成
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RM1/3=κ/(λG)
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（5）
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其中，
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现在的λ只依赖于无量纲的量a、b、f、g和h，这意味着它不由描述恒星整体的量M和R所决定，因此这个式子对于所有的白矮星都是一样的。
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如果你担心，当改变a和/或b（这意味着改变小立方体的位置和/或尺寸）时会怎么样，那么你肯定没有领会到这段论证的威力。从表面上看，改变a和b当然会改变λ，这样我们就会得到RM1/3的不同结果。但这是行不通的，因为我们知道，RM1/3是取决于恒星整体的，而不是其内部一个、我们可能关心也可能不关心的小立方体的具体性质。这意味着a和b的任何变化，都必须由f、g和h的相应变化所完全补偿，使得λ保持不变。
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(5)式相当明确地指出，白矮星可以存在；这是因为我们已经成功地解出了引力-压强的平衡方程[(1)式]。这不是一件平凡的事——因为有可能会发现，平衡方程(1)对于M和R的任何组合都无法被满足。(5)式还作出预言，RM1/3一定是常数。换句话说，如果我们仰望星空，测量白矮星的半径和质量，就应该会发现，每颗白矮星的半径乘以其质量的立方根，都会得出相同的数。这实在是一个大胆的预言。
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笔者刚才展示的论证还可以改进，因为可以准确地计算出λ的数值，但这需要解出一个关于密度的二阶微分方程，而所需的数学技巧对于本书太遥远了。请记住，λ是一个纯数；“它就是它”，可以用一点更高级的数学去算出来。我们没有在这里把它算出来，但这对我们的成就没有丝毫影响：我们已经证明，白矮星可以存在，并且对于其质量与半径的关系做出了预言。在计算出λ之后（可以在家用电脑上完成），并代入κ和G的值，预言的结果是：
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RM1/3=（3.5×1017kg1/3m)×(Z/A)5/3
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对于纯氦、碳或氧（Z/A=1/2）组成的核心，等于1.1×1017kg1/3m。对于铁核心，Z/A=26/56，式子中的1.1略微变小到1.0。笔者翻阅了学术文献，收集了散布在我们的银河系中的16颗白矮星的质量和半径。对于每一颗，我们都计算出了RM1/3的值，结果是天文观测给出RM1/3≈0.9×1017kg1/3m。令人激动的是观测和理论比较一致；我们成功地利用泡利不相容原理、海森伯不确定性原理和牛顿引力定律，预言了白矮星的质量-半径关系。
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当然，这些数字有一些不确定性（理论值为1.0或1.1，观测值等于0.9）。如果是正确的科学分析方法，现在就会开始讨论理论和实验一致的可能性有多大，但对我们的目的而言，这种层次的分析是不必要的，因为一致得惊人了。我们得以算出这一切，并且误差率仅有约10%，是十分奇妙的。这也是有力的证据，证明我们对恒星和量子力学有了相当的了解。
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专业物理学者和天文学者不会就此止步。他们会尽心地详细测试这种理论的认识，为此就需要改进笔者在本章展示的分析。具体来说，改进后的分析会考虑到恒星温度在其结构中确实起到一定作用。此外，电子海在带正电的原子核附近奔涌，但在我们的计算中，电子与原子核之间（以及电子和电子之间）的相互作用被完全忽略掉了。这么做是因为，我们宣称它们对我们的简单处理只产生相当小的修正。这一说法得到了更详细计算的支持，这也是我们的简单处理为何与数据如此一致的原因。
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你显然已经学到了很多东西：确定了电子压强能够支持白矮星；设法比较精确地做出预言，如果给恒星增加或减少质量，其半径会如何变化。与急于烧掉燃料的“普通”恒星不同，要注意到白矮星有一个特点，就是增加质量会使其变小。这种情况是因为，我们额外增添的东西会增加恒星的引力，从而使其收缩。从表面上看，(5)式表达的关系似乎意味着需要增加无穷多的质量，恒星才会收缩到完全没有大小。但事实并非如此。如笔者在本章开头所述，重要的是，电子最终会进入极其紧密地聚在一起的阶段，以至于电子的速度开始接近光速，而爱因斯坦的狭义相对论变得重要起来。对我们计算的影响是，必须停止使用牛顿运动定律，而用爱因斯坦的定律来代替。我们将看到，这会产生很大的不同。
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我们将会发现的是，随着恒星的质量变大，电子所施加的压强不再与质量密度的5/3次幂成正比，而是随着数密度上升、增长得更慢。稍后我们会进行计算，但可以直接看出这对恒星会产生灾难性的后果。这意味着，当增加质量时，引力照常增加，但压强增加得会更少。恒星的命运，决定于当电子快速运动时，压强随质量密度增加的增长“变慢”了多少。显然，是时候弄清楚“相对论性”电子气的压强了。
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幸运的是，我们无需使用爱因斯坦理论的艰深形式，因为要计算以接近光速运动的电子气体中压强所需要的推理，与我们刚才展示的“慢速”电子气体中的推理几乎完全相同。关键的区别在于，动量不再能写成P=mv，因为这已经不正确了。仍然正确的是，电子施加的力仍然等于其动量的变化率。之前我们曾经推导出，一队电子从镜面上弹回，施加的压力P=2mv×(nv)。对于相对论性情形，可以写下相同的表达式，但要用p来代替mv。我们还假设电子的速度接近光速，所以可以用c来代替v。最后，我们仍然需要除以6来得到恒星中的压强。这意味着，我们可以将相对论性气体的压强写成P=2p×nc/6=pnc/3。和以前一样，现在可以用海森伯不确定性原理继续推理，认为束缚电子的典型动量是h(n/2)1/3，所以：
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我们又可以把这个近似结果与准确答案相比较，后者是：
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最后，可以用与之前相同的方法，将压强用恒星内部的质量密度来表示，并导出(4)式的替代版本：
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