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正是在主持这个图书馆期间，埃拉托色尼了解到，在埃及南部的赛伊尼城（今阿斯旺镇）附近有一口具有奇特用途的井。每年的6月21日夏至这天的中午，太阳直射井底。埃拉托色尼认识到，在这个特定的日子里，太阳必定在头顶正上方，而这种事情从来没有在赛伊尼以北几百千米外的亚历山大发生过。今天我们知道，这是因为赛伊尼靠近北回归线，那里是太阳可以在头顶正上方的最北端的纬度区域。
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图1 埃拉托色尼在亚历山大城用一根立杆的影长来计算地球的周长。他在夏至这天进行了这项实验。这天地球对阳光倾斜得最厉害，使得沿北回归线的城镇都处在阳光直射的状态。这意味着在这些城镇的正午时刻太阳正好在头顶的正上方。为清晰起见，本图和其他的图中的距离未按比例绘制。同样，角度可能有夸大。
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埃拉托色尼意识到，太阳之所以不能同时在赛伊尼和亚历山大两地过头顶，原因在于大地是弯曲的。他想到应该可以利用这个性质来测量地球的周长。他考虑这个问题的方式可能与我们今天的考虑有所不同，他的几何解释和他所用的符号也不尽相同，因此这里给出的是他的方法的现代阐释版本。图1显示了来自太阳的平行光线在6月21日中午直射地球的情形。在正午时刻，在赛伊尼，阳光直射井底；在亚历山大，埃拉托色尼在地上立了根直杆，并测量了阳光与立杆之间的角度。最重要的是，这个角度等同于亚历山大和赛伊尼两地到地球中心的两根径向延长线之间的夹角。他测得的角度为7.2°。
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接着，假设有人决定从赛伊尼径直走到亚历山大，然后马不停蹄地继续走下去，直到他环绕地球一圈回到赛伊尼。那么这个人便绕了360°整整一圈。因此，如果赛伊尼与亚历山大之间的角度为7.2°，那么赛伊尼与亚历山大之间的距离即为地球周长的7.2/360即1/50。接下来的计算就简单了。埃拉托色尼测得两个城镇之间的距离是5000斯塔德。[1]如果这代表地球周长的1/50，那么总的周长必为250000斯塔德。
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但你可能会嘀咕，这25000斯塔德到底是多长？我告诉你，一个斯塔德就是举行体育比赛用的跑道的标准长度。当时奥林匹克体育场的跑道为185米，所以地球的周长由此可估计为46250千米，这仅比40100千米的实际值大了15%。事实上埃拉托色尼得到的值可能更精确。因为埃及人的斯塔德不同于奥林匹亚人的斯塔德，前者只有157米，这样给出的周长是39250千米，误差只有2%。
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他的误差是2%还是15%是无关紧要的。重要的是，埃拉托色尼如何科学地估算出地球大小的方法。不够精确仅仅是诸多因素——角度测量不够好，赛伊尼—亚历山大之间距离的测量有误差，至日中午的时间掐得不够准，以及亚历山大不是位于赛伊尼的正北等——的结果。在埃拉托色尼之前，没有人知道地球周长是4000千米，还是40亿千米，所以能够确定下来大致为40000千米不啻一个巨大成就。它证明了，一个人要想测量这个星球，需要的不只是尺子，还要有一颗大脑。换句话说，只要智慧与某些实验装置嫁接起来，那么几乎所有事情都有可能实现。
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图2 地球与月球的相对大小可以通过月食期间观测月球穿过地球阴影的时间来估计。比起地月间的距离，二者离太阳的距离非常非常远，因此，地球的影子的大小可以大致等同于地球本身的大小。
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图中显示了月球穿过地球的影子的全过程。在这个特殊的月蚀——月亮大致穿过地球的影子中心——过程中，月亮从月面上刚出现阴影到被完全覆盖，需要50分钟，所以50分钟是月亮自身直径的指示。从月面完全隐没在地球的阴影里到月面完全离开阴影区所需的时间为200分钟，这是地球的直径的指示。因此地球的直径大约是月球直径的4倍。
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对埃拉托色尼来说，现在有可能推算出月球和太阳的大小以及它们与地球的距离。这方面的大部分基础性工作已经由早期自然哲学家完成，但在地球的大小被确立之前，他们的计算都是不完整的，现在埃拉托色尼有了这个缺失的值。例如，通过比较月食时地球在月球上投射的阴影的大小（如图2所示），就有可能推断出月亮的直径约为地球的四分之一。一旦埃拉托色尼知道了地球的周长为40000千米，那么其直径大约就是（40000/π）千米，这大概是12700千米。因此，月球的直径为12700/4千米，即大约为3200千米。
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接下来埃拉托色尼很容易估计出地月之间的距离。一种方法是伸出你的手臂，竖起手指，闭上一只眼，盯着满月看。如果你试着这么做，你就会发现，你的食指指尖可以遮住月亮。图3显示了你的指甲与你的视线形成一个三角形。月亮与你的视线构成一个相似的三角形，虽然二者大小差很多，但比例相同。你的臂长与指甲高度之间的比大约是100:1，这个比值必然也是地月之间的距离与月球自身的直径之比。这表明地月间距离大致是月球直径的100倍，即320000千米。
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图3 有了月球的大小，计算地月间距离就相对容易了。首先，你会发现，你在一臂之长的距离上用指尖就可以遮蔽掉月亮。因此，问题很清楚，指甲的高度与臂长的比大致等同于月亮的直径与地月间距离的比值。手臂的长度大约是指甲高度的100倍，所以到月球的距离大约是月球直径的100倍。
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接下来是估计太阳的大小和距离。要感谢克拉佐美纳伊（CIazomenae）的阿那克萨哥拉提出的假设，和萨摩斯的阿里斯塔克斯为此提出的绝妙论证，它使得埃拉托色尼能够用来计算太阳的大小以及日地间距离。阿那克萨哥拉是公元前5世纪的一位激进的思想家，他认为人生的目的就是“研究太阳、月亮和天堂”。他认为，太阳是一块白热化的石头而不是神。同样，他相信各个恒星也是热的石头，只是距离太远无法加热地球。相反，月亮被认为是一块冰冷的石头，是不发光的，而且阿那克萨哥拉还认为，月光只不过是对太阳光的反射。
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尽管阿那克萨哥拉所居住的雅典的学术氛围越来越宽容，但要宣称太阳和月亮是岩石而不是神仍然存在很大争议，以至于嫉妒的竞争对手指责阿那克萨哥拉为异端，并组织起一场声讨运动，导致他被流放到小亚细亚的兰萨库斯。雅典人有一个爱好，就是用偶像来装饰他们的城市，这就是为什么大主教约翰·威尔金斯会在1638年不无讥讽地指出，一个把神变成石头的人会受到一个把石头变成神的人的迫害。
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图4 阿里斯塔克斯认为，利用出现半月的月相时地球、月球和太阳形成直角三角形这一事实，可以估算到太阳的距离。在半月时，他测量了图中所示的角度。然后用简单的三角学和已知地月间距离就可以确定地球-太阳的距离。
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在公元前3世纪，阿里斯塔克斯对阿那克萨哥拉的想法进行了论证。如果月光是对阳光的反射，他论证道，那么当太阳、月亮和地球形成一个直角三角形时，必然会出现半个月亮，如图4所示。阿里斯塔克斯测量了地球分别到太阳和到月亮的连线之间的夹角，然后用三角学算出了地月之间和日地之间距离的比值。他测得的角度为87°，这意味着日地之间距离大约是地月间距离的20倍，而我们前面的计算已经给出了我们到月球的距离。事实上，正确的角度是89.85°，而且太阳要比月球远400倍，因此阿里斯塔克斯显然还得为精确测量这个角度继续努力。同样，测量的精度不是关键，关键是希腊人想出了一种有效的方法，这才是关键性的突破，更好的测量工具将使得未来的科学家更接近真实的答案。
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最后，导出太阳的大小就简单了，因为一个公认的事实是，日食期间月球几乎完全遮盖住太阳。因此，太阳的直径与日地间距离的比必然等于月亮的直径与地月间距离的比，如图5所示。我们已经知道月亮的直径和它到地球的距离，而我们也知道太阳到地球的距离，因此太阳的直径很容易计算出。这种方法与图3所示的方法是一样的，只不过现在月球取代了那里的指甲的位置。
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图5 一旦我们知道了太阳的距离，我们就可以估计它的大小。一种方法是利用日全食和我们关于月球的距离和直径的知识。在地球上，日全食只有在特定时间在某个小区域才可见，因为这时太阳和月亮看起来几乎有相同的大小。这个图（未按比例）显示了地球上的日蚀观察者如何处在两个相似三角形的顶点。第一个三角形延伸到月球，第二个三角形到太阳。知道了到月球和到太阳的距离，又知道月球的直径，因此足以推断出太阳的直径。
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埃拉托色尼、阿里斯塔克斯和阿那克萨哥拉的惊人成就说明，古希腊的科学思维正在取得进步，因为他们对宇宙的测量依赖的是逻辑、数学、观察和测量（现代对他们测量的结果修正如表1）。但希腊人真的能够享有奠定科学基础的荣耀吗？那么巴比伦人在天文学上的贡献又当如何看待呢？毕竟，作为伟大的、讲求实际的天文学家，他们曾进行过数以千计的观察。科学哲学家和科学史学家普遍认为，巴比伦人不是真正的科学家，因为他们仍然满足于相信神主宰宇宙和神话解释。不管怎么说，比起真正的科学，收集数百种测量结果和罗列数不清的恒星和行星的位置只能算是小打小闹。科学的志向是要凭借对宇宙基本性质的理解来解释这些观察。法国数学家暨哲学家亨利·庞加莱对此说得很到位：“科学是由事实建立起来的，就像房子是用石头建造的。但事实的收集还不是科学，正像一堆石头不是一所房子一样。”