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这是物理学中最著名的方程之一,几乎和E=mc2(爱因斯坦著名的方程,它联系着能量E、质量m和光速c)一样有名。方程左边是两物体之间的力F,例如月球和地球,或者是地球与太阳之间的力。方程右边是大的质量M和小的质量m。比如说,地球的质量是6×1024千克,月球的质量是7×1022千克。两物体间的距离用D来标记,从地球到月球间的距离大约是4×108米。
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方程中的符号G是数值常数,称为牛顿常数。我们不能通过纯数学的推导来得到牛顿常数。为了得到它的值,必须测定两个已知质量的物体之间的引力。一旦你这样做了,你可以计算出相距任意距离的任何两个物体之间的引力。具有讽刺意义的是,牛顿从来不知道他自己的这个常数的值。由于引力非常弱,因此G太小,以至于直到18世纪末才测量出它的值。那时,英格兰物理学家亨利·卡文迪许(Henry Cavendish)设计了一种巧妙的方法,用来测量非常小的力。卡文迪许发现,相距为1米的一对质量为1千克的物体之间的力大约是6.7×10-11牛顿。(在公制单位中,牛顿是力的单位,它大约等于1/5磅。)因此在公制单位下,牛顿常数的值为:
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G=6.7×10 -11
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牛顿得到了他理论中的一个幸运的突破:有关平方反比定律的特殊数学性质。当你称自己的体重时,把你拉向地球中心的引力一部分是由你脚底下的质量产生的,一部分是来自于地球内部的质量,还有一部分产生于8000英里远的对径点。然而由于数学的神奇魔力,你可以假设全部的质量都集中于一点,它恰好在行星的几何中心。
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一个球体与质量全部集中于中心点时产生的引力精确相同
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由于这个便利的事实,牛顿用一个微小的质点来代替大的质量,从而计算出大物体的逃逸速度。下面是结果:
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这个公式清楚地表明:质量越大,半径R越小,逃逸速度越大。
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现在计算史瓦西半径RS就成为一个简单的练习了。你仅需要把光速代替逃逸速度,然后求解方程得出半径即可。
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注意一个重要的事实:史瓦西半径正比于质量。
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关于暗星,要说的就这么多了,至少在这种程度上拉普拉斯和米歇尔能够理解它们。
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第3章 非欧几何
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在过去,诸如高斯(Gauss)、玻利亚(Bolyai)、罗巴切夫斯基(Lobachevski)和黎曼(Riemann)[25]那些数学家之前,几何学是指欧几里得几何学,这和我们在中学所学习的几何学是一样的。首先是平面几何学,它是有关于极为平坦的二维面的几何学。基本的概念是点、直线和角度。我们了解到:不在同一条直线上的三点确定一个三角形;平行线永不相交;任意三角形的内角和是180°。
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如果你在此之后和我学过的课程相同,那么你就展开了形象化的力量,即到了三维空间。三维空间中的某些情况和二维空间保持一致,但是其他一些情况必须要改变,否则三维空间和二维空间将没有任何差异。例如,三维空间中的直线可以不相交,然而它们并不平行;我们称它们为异面直线。
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无论是在三维还是二维情况下,几何学的规则保持不变,这大约是欧几里得在公元前300年左右定下来的。然而,即使在二维情况下,其他种类的几何学是可能的,它们有着不同的公理。
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几何这个词字面上的意思是“测量地球”。具有讽刺意义的是,如果欧几里得真的不辞辛苦地去测量地球表面上的三角形,他会发现欧几里得几何学是不能用的。原因在于地球表面是球面,[26]而不是平面。球面几何学中当然有点和角度,但是我们称之为直线的东西并不显然存在。首先让我们试图来弄明白“球面上的直线”究竟是什么意思。
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