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1700931014 球面上的大圆
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1700931016 有了这些球面的替代物,我们就可以建立三角形了。在球面上选三个点,分别为莫斯科、里约热内卢和悉尼。接下来,分别画出两点间的三条测地线:莫斯科—里约热内卢测地线,里约热内卢—悉尼测地线,以及悉尼—莫斯科测地线。结果我们得到了一个球面三角形。
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1700931021 球面三角形
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1700931023 在平面几何学中,将任意三角形的角度相加,我们得到了精确的180°。但是当仔细观察球面三角形时会发现,由于边向外凸出,使得角度比平面上的要大些。结果是球面三角形的角度之和总是大于180°。如果曲面上的三角形具有这个性质,我们就称曲面是正弯曲的。
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1700931025 那么存在具有相反性质(即三角形的内角和小于180°)的曲面吗?答案是肯定的,此类曲面的一个例子是马鞍面,它是负弯曲的。负弯曲曲面上的测地线形成的三角形向内陷,而不是向外凸。
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1700931027 因此,无论我们有限的大脑能否想象出三维弯曲空间,我们的确知道如何在实验上测出曲率,三角形正是答案所在。在空间选三点,将线拉得尽可能地紧,形成一个三维的三角形。如果对于任意的三角形的内角之和,都等于180°,那么空间是平坦的。反之,空间是弯曲的。
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1700931032 比球面和马鞍面还要复杂得多的曲面是可以存在的,具有不规则起伏的区域既有正曲率又有负曲率,然而建立测地线的规则始终是简单的。想象你自己在这样一个曲面上一直往前爬行,永远不要回头,也不要向四周看,更不要担心你从哪里来,要到哪里去,仅仅是盲目地向正前方爬去。那么你的路径是一条测地线。
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1700931034 想象一个坐在机械轮椅中的人,他试图通过一个沙漠。由于随身只携带了少量的水,因此他必须尽快走出沙漠。圆形的小山、马鞍形的山坳通道和深深的山谷确定了一个正曲率和负曲率的地带,驾驶者不清楚轮椅行驶的最佳路径。他起初认为高山和深谷会减缓他的行驶,因此要绕过它们,方法极为简单,减缓其中的一个轮子,那么轮椅就会转向该方向。
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1700931036 但是几小时过后,驾驶者发觉自己正在经过原来走过的地方,轮椅使他毫无目的地危险行驶。他现在意识到最好的策略,就是完全笔直地向前走,既不左转也不右转。他自言自语道:“仅仅听从你的鼻子。”但是,又如何保证他不是摇摆地行走呢?
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1700931038 稍加思索,答案显而易见。利用某种装置将轮椅的两个轮子固定在一起,使它们像哑铃一样。以这种方式固定了两个轮子后,这个人再出发,他在沙漠中就会行走最短的距离。
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1700931043 从轨道上的任意一点来看,旅行者似乎都在一条直线上行走,但就整体而言,他所行走的路径是相当复杂的,是一条曲线。虽然如此,它已经是最直、最短的线了。
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1700931045 一直到19世纪,数学家才开始用另外的公理来研究这种新的几何学。诸如格奥尔格·弗里德里希·伯恩哈德·黎曼(Georg Friedrich Bernhard Riemann)等人认为:关于真实空间中“真实”的几何学可能不完全是欧几里得的。然而爱因斯坦是第一个认真考虑这种想法的。在广义相对论中,空间(或者,更为确切的说法是时空)的几何,不仅对哲学家和数学家,而且也对实验家,构成了课题。数学家告诉我们什么样的几何是可能的,但是只有实验家,才能确定空间的“真实”几何。
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1700931047 为了构造广义相对论,爱因斯坦建立在黎曼的数学工作的基础之上。他想象几何超越于球面和马鞍面之外:空间有凸有凹,某些地方是正弯曲的,某些地方是负弯曲的。测地线在空间延伸着,形成弯曲的、不规则的路线。黎曼只是想到了三维空间,但是爱因斯坦和他同时代的赫尔曼·闵可夫斯基(Hermann Minkowski)引进了某种新的东西:时间作为第四维。(试着形象化它,如果你可以做到,那么你就有着非比寻常的大脑。)
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1700931049 狭义相对论
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1700931051 即使在爱因斯坦开始考虑弯曲空间之前,闵可夫斯基就有了将时间和空间组合起来,形成四维时空的想法。他带着些许傲慢但又相当优雅的语气宣告:“自此之后,空间本身和时间本身注定要消失而成为幻影,只有将它们结合起来才能保持独立的实在性。”[27]闵可夫斯基的平坦的(或者是不弯曲的)时空称为闵可夫斯基空间。
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1700931053 在1908年第80届德国自然科学家和物理学家大会的演讲中,闵可夫斯基用垂直轴来代表时间,水平轴代表所有三维的空间。听众必须要用一点儿想象力才行。
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1700931058 闵可夫斯基将时空中的点称为事件。事件这个词的传统用法不仅意味着时间和地点,而且意味着与此同时某事发生了。例如:“在1945年6月16日早晨5点29分45秒,一个非常重要的事件在新墨西哥州的三位一体[28]发生了,测试了第一颗原子武器。”闵可夫斯基所用的事件一词所指的要少一些,它仅指特定的时间和地点,而不管事情是否真实地在那里发生了。他真正指的是:事件可能发生也可能不发生的一个特定的时间和地点,但这样说就有点儿绕口,因此他就仅称它为事件。
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