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一维的生活所受的局限非常大。它们只能沿着线运动，线地人总是互相撞击着。它们能够互相交流吗？很简单：它们可以发动它们身边的珠子，一个接一个的发送信息。但是它们的社交生活非常的无聊；每一个生物只有两个熟人——一个是它右边的，一个是它左边的。为了形成一个社交圈，至少应当是一个二维世界。
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但是表象总是具有欺骗性。当线地人用一个高倍显微镜来观测时，它们会惊讶地发现它们的世界其实是二维的。它们所看到的并不是一个数学上理想的没有粗细的线，而是一个圆柱面。在通常的情况下，圆柱面实在太细了以至于线地人观察不到，但是在显微镜下面，小得多的物体，甚至比线地原子更小的东西都可以被发现。这些物体足够小，所以它们可以在两个维度上运动。
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就像他们大人国的兄弟那样，这些线地小人国的居民可以沿着圆柱面的柱长方向移动[181]，但是他们因为足够小，所以还可以绕着表面移动。他们可以在两个方向同时移动，绕着圆柱面螺旋运动。哦，有意思，他们甚至可以彼此通行，而不发生碰撞。他们有理由声称他们是生活在二维的空间中，但是有一点很奇怪：如果他们沿着额外维走一条直线，那么他们不久就又会回到原来的地方。
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线地人需要给那个新的方向起一个名字，他们叫它Y。但是不像X，他们在Y上移动没多远就会回到出发点。线地人的数学家们就说Y方向是紧致的。
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上面所给出的圆柱体的图，就是通常一维世界上增加了一维紧致方向后的样子。给一个已经有3个维度的世界增加6个额外维已经远远超出了人类大脑的想象能力了。物理学家、数学家区别于其他人的，并不是他们可以看到任意维度，而只是他们经过数学上艰辛的再训练——再次重新装备自己的大脑——来“看到”这些额外的维度。
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单个额外维并不会提供很多种变化的可能性。在紧致方向上的移动，就像绕着一个圈走，但自己却没有发现。但是两个额外维就允许了无穷多种变化的可能性。这两个额外维可以形成一个球面，一个圆环面（一个炸面圈的表面），[182]
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一个带有2个或3个孔的炸面圈
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或者甚至是一个被称为克莱因瓶的诡异空间。[183]
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画出两个额外维并不是那么的困难——我们刚才就画过了——但是随着维数增加，去想象它们变得越来越难。到你增加到弦论所需要的六维时，不借助数学而凭空想象是不可能的。这种弦论学家用来紧致化这6个额外维的特殊的几何就被称为卡拉比—丘流形[184]。而且这种流形有几百万种，没有两种是一样的。卡拉比—丘流形极其复杂，它带有几百个孔以及难以想象的椒盐卷饼式的扭曲[185]。然而，数学家们可以通过切片的方法，降低它们的维度并画出它们，这类似于嵌入图。这就是一幅典型的卡拉比—丘空间的二维片层图。
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我将试着向你们展示普通空间中每一个点上都加入一个卡拉比—丘流形后的样子。首先，我们来看那些通常的维度，像人这类的大型生物可以在其上面移动。（我把它画成了二维的，但是到现在你们应该能够在脑中加上第三维。）
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在三维空间的每一个点上还有其他6个紧致维，一些极小的物体可以在其上面移动。出于无奈，我所画的只能是分立的卡拉比—丘空间，但是你应该把它们想象成是分布在普通空间的每一个点上。
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现在让我们回到弦上面。一根普通的蹦极绳可以往很多方向伸展——例如，沿着东西轴，南北轴抑或上下轴。它也可以以很多角度伸展，如朝北但是偏西10°。但是如果有额外维，会增加更多的可能性。特别是，弦可以绕着紧致方向延伸。一根闭弦可以绕着卡拉比—丘空间缠一圈或更多，而不沿着空间中的那些通常的方向延伸。
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