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我们使几何学扩展，使之包含时间和空间，不仅仅是对欧几里得几何增加一个额外的维度，因为尽管时间命题与空间命题类似，但时间命题不同于欧几里得单独为空间所给出的命题。事实上，时间几何学与空间几何学之间的差异不是非常深奥，数学家单独用根号负一的记号轻而易举地忽略了这一差别。我们依然把扩展了的几何学叫作（确实不严谨的）欧几里得几何，或者，如果有必要强调差别的话，我们就称它为双曲几何学。非欧几里得几何学一词意指一个更深刻的变化，即涉及我们现在用于表示重力现象的空间和时间的弯曲关系。我们从欧几里得空间几何学开始，当附加了时间维度时，我们采用相对简单的方式加以修正，但这样做依然没有计入重力。只要是可以观察到重力效果的地方，就表明扩展的欧几里得几何学就不会十分正确，而真正的几何学是非欧几里得几何学——它适合于弯曲地带，正如欧几里得几何学适合于平坦地带一样。
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物理世界的本质 几何学与力学
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值得特别关注的一点是，时间三角形命题是一个对于以不同速度运动的时钟行为的说明，我们通常把时钟的行为视为属于力学科学领域的存在。我们发现，把几何学限制在单独的空间内是不可能的，不得不把它略作扩展。几何学报复性地扩展，从力学领域夺取了很大一片领域，而它并未止步，如今几何学已经一点一点地把力学整体吞并了，它又在尝试进军电磁学领域。在我们面前闪耀着一个可能很难达到但不可抗拒的理想，即我们关于物理世界的全部知识可能被统一到一个单独的科学里，这个科学可以用几何学或准几何学概念的术语来表示。为什么不呢？所有知识都是用不同的仪器进行测量得到的，用于不同研究领域内的仪器没有根本上的不同，没有理由把在人类思想早期阶段所造成的科学上的隔离看作是不可消除的。
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但是力学在变成几何学时依然保持为力学，力学与几何学之间的区分已经崩溃了，它们每个的性质已遍布于全体了。几何学明显的优越之处在于，它拥有更丰富也更适用的术语的事实。在两者融合后，我们不必采用双倍的术语，所使用的术语一般都取自几何学。但是除了力学的几何化以外，还有几何学的力学化。上面所引用的关于空间三角形的命题，看来好像具有关于测量尺行为的大略的物质含义，将其视为纯粹力学命题的任何人都不会意识到这个测量尺。
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我们必须从心里排除科学上的空间这一术语无论如何都与真空有关的观念。如前面所解释的，它有表示物理测定的量的距离、体积等其他的意义，恰如力是表示物理学的测定的量一样。因此（确实粗略地说）爱因斯坦的理论把重力简化为一种空间性质的解释应该不致引起疑虑。任何情形下物理学家都不会把空间设想为真空，空间即使不含有一切其他东西，但依然有以太存在，那些出于某种原因不喜欢以太一词的人自由地在真空中播撒着数学记号。我假定他们必然要为这些记号设想某种特定的背景。我并未假想，任何人会提议甚至要从完全的无有之中建造像力那样相对和难捉摸的东西。
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[1]我所能告诉的（不是实验测试），是跳下断崖的人不久就会失去所有下降的概念，他只是注意到周围的物体以持续增大的速度被推开远去。
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[2]因为在此所讨论的现象显然与巨大物体（地球）的存在有关联，而且因为虽然牛顿的引力相对于物体对称发生，而苹果的引力则相对于物理非对称发生［在苹果所在之处消失，而在地球另一面对应的地点与地球站在全相反对的一面的地方很强］，因此牛顿体系明显要好，对此可能应该反对。很有必要深入理论去充分解释为什么不把这种对称性看作首要的理由，在此我们只能说，对称准则已被证明要选出一个独一无二的体系是不充分的，在它要承认的体系与那些它所抛弃的体系之间也给不出一条清晰的区分线。总之，我们能评价特定体系比其他体系更具有对称性，但并不固执于将对称体系视为“正确”，而将非对称体系视为“错误”。
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[3]其中一个实验——相对于地球观测结果的太阳和星球的光谱线红移——与其是对爱因斯坦法则的实验，毋宁是他理论的实验。
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[4]如果老师像传教士那样向升降机内的人走去，那么读者可以证实这是教师所必须谆谆教诲的信条。
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[5]有人可能反对，你们不可能制造一架遵循着随意弯曲的路径而不施加力（例如分子击打）去干扰的时钟。但是这个困难与以直线尺子丈量曲线长度的困难类似，可以用同样的方法解决，“曲线的修正”的普遍理论既适用于这些时间轨迹，也适用于空间曲线。
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物理世界的本质 第七章 重力的解释
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弯曲的法则
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重力是能够解释的。爱因斯坦的理论本来不是对重力的解释，当他告诉我们重力场对应于空间和时间的弯曲，就给了我们一幅图景，通过该幅图景我们获得了推导各种观察结果所必需的洞察力。但在这里还留了下一个进一步的问题，即对为何图景所示的事物状态应该存在是否能给出任何理由。当我们在任何深远的感受中提到“解释”重力时，我们意指这个深入的问题。
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第一眼来看，新的图景并没留出多少解释的空间，它给我们显示一个起伏的圆丘状的世界，而无重力的世界将是平坦的和均匀的。但确定无疑的是，平坦的草地比一个起伏的原野更需解释，对无重力世界的解释比有重力的世界更加困难。如果我们（在建造世界之际）特别小心地把它除去，那么要求解释一个全然不存在的现象几乎是不可能的。如果弯曲是完全随意的，这就是解释的完结，但在这里存在着一条弯曲的法则——爱因斯坦的重力法则，我们进一步的探究也必须集中于这个法则。对于归整性有必要解释，对于多样性则无须解释。我们的好奇心被唤起了，并不是因为把这个世界与平坦的世界区别开的、弯曲的十个辅助系数不同的值，而是因为十个主系数在每个地方都消失所唤起的。
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有关牛顿学派的所有重力的解释均致力于表明，为何某些事物（我不敬地称其为恶魔）在世界上存在。基于爱因斯坦理论的解释必须能表明，为何某些事物（我称之为主要的弯曲）被从世界排除。
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在前一章中已把重力法则表述为这样的形式——在空洞的空间里弯曲的十个主要系数消失了，现在我要把形式稍加变化来重新说明——在空洞的空间的任意一点、沿任意方向切割的世界的每一个三维断面的球面弯曲半径[1]恒为相同的固定长度。
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除了形式的变化外，实际上在两种说明之间，还有少许内容上的差异。第二种说法对应于更新的理论，据说是爱因斯坦在发表了他的最初的理论一二年后所给出的更为精确的公式，在意识到空间是有限但无界的之后，这一修正就很有必要。如果我们把“相同的固定长度”代之以“无限长”，那么第二种说法便准确地与第一种说法一致。除了非常假想的估计以外，我们并不知道相同的固定长度所指为何物，但可以确定，它必定要比到最远的星云的距离，比如说1020英里要大。对我们大部分的论争和研究而言，没有必要区分如此大的长度与无限长，但在本章是必要的。
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我们必须尝试找出隐藏在法则晦涩字句后面的鲜活清晰的意义。假定你们在为一架望远镜订购凹面镜，为了获得你所希望的镜子，你必须确定两个长度：（一）孔径和（二）曲率半径，这两个长度都属于镜子的——对于描述你意欲购买的那种镜子它们都是必要的，但是它们属于镜子的不同方面。你们可以定购曲率半径为100英尺（1英尺=0.3048米）的镜子然后通过邮包拿到它。在某种意义上，100英尺这个长度与镜子共同旅行，但它是以邮局职员并未意识到的状态下旅行的。该长度特别属于镜子表面这个二维连续体，空间—时间是四维连续体，照此类推，你们可以知道能够得到与此相似的属于一片空间—时间的长度。这些长度虽然与空间—时间片的大小都无任何关系，但对规定特定的空间—时间样本却是不可或缺的。由于多了两个维度，与空间—时间相关联的长度将比与镜子表面相关联的长度多得多。特别地，不仅仅具有一个总体的球面弯曲半径，而且具有与你倾向采用的任何方向相对应的半径。为简单起见，我将其称为世界的“方向半径”。现在假定你们订购了在某个方向上方向直径为500兆（万亿）英里，而在另一方向上方向直径为800兆（万亿）英里的一片空间—时间。“自然”答复说：“不卖，我们没有那样的库存，我们保存着涉及其他详细规定的广泛的选择。但是关于方向半径，我们在不同的方向上并没有不同的半径。实际上，我们所有的货品都有一个标准半径，X兆（万亿）英里。”我不能告诉你们X表示什么数，因为那依然是一个商业秘密。
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世人可能会很容易地想到，方向半径对不同的点、不同的方向等均会不同，而世界上的方向半径仅有一个标准值这个事实正是爱因斯坦的重力法则。根据该法则，我们能够通过严格的数学推导计算出星球的运动，并预言例如下个千年间的日食或月食。这一点早已说明过，因为重力法则也包含运动法则，牛顿的重力法则是爱因斯坦重力法则在实际计算的近似应用。建于法则之上的所有事物都很清楚，但是位于法则后面的又是什么呢？这便是我们现在必须探究的问题。
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