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解决这种自相矛盾的钥匙在于我们自己，我们的习惯以及吸引我们兴趣的事物种类等，比我们意识到的要更为关注我们对物理世界的物体如何运行的解释，因此，通过我们规定的体系去看，似乎以很特别和引人关注的方式运行的物体，若从另一套规定的体系去看，可能一无是处而不会引起特别关注。如果我们来考察一个实际的例子就会更清晰，同时也为第四种方式给以辩护。
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你们可能会说，地球必须确定无疑地到达明年（1927年）6月正确的日食位置，所以它不能自由地走它高兴去的任何地方。我觉得它可以，我坚信地球可以走它高兴去的任何地方。下面的事情便是我们必须发现地球已经高兴走过的地方，于我们而言，重要的问题，不是地球在这个现象背后不可测知的绝对中所到达的地方，而是我们将在我们传统的空间和时间背景中确定它位于何处。我们必须测定它的位置，例如，测定它与太阳的距离。在图6里，SS1表示我们作为太阳的世界中的山脊；我之所以把地球的山脊画两道（EE1和EE2），是因为我认为地球还没决定它将采取哪条轨道。如果它采取EE1，那么我们便把我们的测量尺头对头地布设在山脊下面，横过山谷从S1到E1，计算出读数并把这个结果报告为地球与太阳之间距离。你们应该该记得，测量杆根据世界的弯曲按比例调节它们的长度。沿着这个地形的弯曲相当大，弯曲半径就很小。因此测量杆小，沿S1E1需要比图中给出的预计要多得多的测量杆数。如果地球选择向E2行进，弯曲便不太陡峭了，弯曲半径越大则杆的长度也越大。从S1伸展到E2的竿的数目不比图中第一种方式的大，在图上不会像S1E2相对于S1E1的比例一样增加。如果测量杆的数目在两种情形下变得一样，我们切不可惊奇。如果这样，那么无论轨道是EE1或EE2的测量者都要报告从地球到太阳的距离相同。在数年前发表同一距离的航海天文历监督官将声称，他正确地预测了地球要去的地方。
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图6
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所以你们看到，地球能够随意优游，而我们的测量将依然报告它是在航海天文历所指定给它的位置上。航海天文历监督官的预言没有注意到神仙般的地球的奇特行为，那些预言是根据我们测量地球所选择的路径时要发生的事情来的。我们将采用能够调节自身适应世界弯曲的测量杆来测量地球的路径，这个事实的数学表达是预言中所应用的重力法则。
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或者你们会反对，说天文学家实际上并没有通过星际空间头对头地设置测量尺，以便找到星球所在的地方。事实上，星球的位置是根据光线推断出来的。但是，光在行进时必须找到行进路线以便“直”行，恰如米尺不得不找到延伸多远一样。计量性或弯曲是对于光的标志杆，如同它是对于测量尺的一个标准尺一样。光的轨道实际上被弯曲所控制，由此它不能暴露虚伪的弯曲法则。因此只要太阳、月亮和地球可以达到的地方，光都不把它们的行动泄露给我们。如果弯曲法则预示一个蚀，那么光将采取发生一个蚀的轨道。重力法则不是支配天体的严格的统治者，它是隐蔽它们过失的好心的同谋。
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我建议你们不要试图由图6验证沿着S1E1（实线）及S1E2（虚线）上测量杆的数目相同。在图上除了空间—时间在其中必须想象成弯曲的额外的维度以外，还有两个空间—时间的维度被省略了，而且它是球面弯曲而非柱面弯曲，这个弯曲是长度的标准尺。这是一件虽然费力但有启发意义的任务，以便进行直接验证。但是我们先前已经知道，地球到太阳的测定距离对于任一轨道都必须相同。重力法则的数学表达为Gμv=λgμv，并不比各处的长度单位均为该点的世界方向半径的固定部分意义多或少。由于预言地球未来位置的天文学家并未对地球如何选择运行，做出任何超出重力法则Gμv=λgμv表达之外的任何假设，如果我们除了假设在包括位置测量的实际单位长度是方向半径的恒定部分以外，并未再做假定，那么我们便可以发现地球的同一个位置。我们不必确定这个轨道到底是EE1代表还是EE2代表。即使我们知道何者为代表，它也不会向任何所观察的现象传送信息。
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我将在其他地方必须强调，我们全部的物理学知识都基于测量，物理学世界说起来包括建立在处于物理领域之外的影子背景之上的测量群。因此在设想一个远离我们所做的测量的世界的存在时，我们突破了我们所谓的物理实际的界限了。我对如下观点——就其本质而言，不可测的奇异行为没有权力主张物理存在——并无异议。没人知道这样的奇异行为有什么意义。我说，地球可以去它选择去的任何地方，但并未提供“何处”给它选择，因为我们有关“何处”的概念立足于在那个阶段却进行空间测量，但我并不认为自己不合逻辑。我力主，地球不管要做什么，都不能脱离重力法则为它设定的轨道。为说明这一点，我必须假定，地球已经尝试过，而且偷偷地靠近了太阳。在此我要指出，我们的测量数据却沆瀣一气悄悄地把它的位置回归到其固有轨道，最终我不得不承认地球从未脱离它的固有轨道。[7]我对此并不在意，因为我同时证明了我的论点。事实上，通过空间和时间为地球设定了一个可预测的轨道，这对地球的运行并不是一个真正的限制，而是我们从中获得地球运行的解释正式方案所施加的影响。
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物理世界的本质 非空洞的空间
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方向半径恒定的法则不适用于不完全空洞的空间，也不再有任何理由预期它能适用。某个区域不是空洞的描述，意味着它除计量性以外还有其他的特性，由此米尺杆能够发现弯曲之外测量自身的长度。参照早期的（十分近似的）重力法则的表达，十个主弯曲系数在空洞的空间中为零，但在非空洞的空间中就有非零的值，因此把这些系数作为空间充实度的度量就很自然了。
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其中一个系数对应质量（或能量），在大部分的实际情形下，它的重要性都超过其他系数。质量的旧的定义为“物质的量”，将它与空间的充实性相关联。其他三个系数构成动量——具有三个独立分量的一个向量，剩下的六个主弯曲系数构成应力或压力体系。据此，只要它能够干扰我们用来探索空间的普通的测量仪器——时钟、测尺、光线等，质量、动量和应力就代表了一个区域的非空洞性。但还要补充一点，这只是非空洞性的总述而非完全的说明，因为我们还有其他能提供更多细节的探索设备——磁石、验电器等。通常认为，当我们应用这些仪器设备时，我们所探索的不是空间，而是空间内的一个场。由此产生的区别，更多的是一个人为的不太可能被永远接受的区别。看起来，分别用测量尺和磁针罗盘探索世界的结果，应该融合到一个统一的描述，正如我们把测尺和时钟的探索结果融合到一起一样。在这个方面已经取得进展了，但是有个真实的理由允许部分分开处理，一种探索方式确定了世界基本构造的对称性，另一种则决定了世界基本构造的不对称性。[8]
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常有人，尤其是哲学作家对爱因斯坦最初采用的时钟和测尺的粗糙提出反对，但爱因斯坦理论寻求使之维持有序的那个世界的实验知识主体并不像上天赐予的灵感进入我们心中，而是时钟和测尺实际上在其中扮演着重要角色的观测的结果，对那些习惯了原子和电子的人而言，时钟和测尺或许显得很粗糙，但却是我们在关于爱因斯坦的理论章节中曾讨论的相应总体知识。随着相对论的发展，总体上发现用运动粒子和光线代替时钟和测尺作为主要观测仪器都是令人满意的，这些都是比较简单构造的测试品。但与原子现象比，它们仍然比较粗糙。例如，光线不适于非常精密的测量，因此必须计入光的衍射。我们关于客观世界的知识不可能脱离我们由之获得知识的仪器的性质，重力法则的真实不能脱离我们由之确定其真实的实验过程而存在。
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空间和时间体系的概念，以及以能量、动量等所描述的世界的非空洞的概念受限于宏观的仪器的观测。如果这些概念再难被此类测量支持，它们将消失而毫无意义了。特别地，不要想象原子内部能用宏观测量探测，我们不能把一个时钟或一把测尺放到一个原子内部。我们不能太过强烈地坚持距离、时间段、质量、能量、动量等术语，不能像我们在宏观经验中那样用于描述原子，使用这些术语的原子物理学家必须为它们找到他自己的含义——必须声明他想象要测量它们时所用到的仪器。有时假设（除电场力之外）在原子核与外围电子之间存在一个微小的重力引力，它同太阳与其星球之间的重力一样都服从同一法则。这假定在我看来好像是个空想，但在不存在如何假定对原子内的区域进行测量的任何指示的条件下，就不可能讨论它。脱离了这样的测量，电子就“好像祝福之神”率性而为。
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我们已经抵达伟大科学和哲学的兴趣点了，世界弯曲的十个主系数对于我们并不陌生，它们以其他的名义（能量、动量、应力）已经在科学的讨论中广为人知，这可与电磁理论发展中的著名转折点相提并论。这个主题的进展导致了探查电波和磁力通过以太的传播，于是，它们让麦克斯韦突然想起这些波并不陌生，而是已经以光的名称早已在我们的经验中所熟悉，辨识的方法相同。经过计算，电磁波将具有光被观察到的那些性质。同样的，经过计算，弯曲的十个系数恰好具有能量、动量及应力被观察到的那些性质，在此，我们仅指物理性质。没有物理理论能够预料解释为何在我们心中对光有一种特别的映像，也不能解释在我们心中所引起的与那些含有质量的世界的部分相关联的物质的概念。
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由同一性代替因果关系产生了一个相当大的简化。在牛顿派的理论上面，除非它（重力的说明）说明了一片物质由之而把握着周围的作用力，并使它成为从物质放射出的重力之影响的负运者而外。重力的说明是说不上完全的。在现今的理论中并未要求与之相应的任何事件，是没有要求的。我们并不追寻质量是怎样地抓着空间—事件和怎样地产生我们的理论所假定的弯曲，那是同追问光是怎样抓着电磁的作用因而使之振动的事一样是多余的。光就是振动，质量就是弯曲，没有任何原因的结果是归于质量的，况且也少有任何结果归于物质。我们与这些异常的歪曲的地方相关联的物质之概念，是心灵铭记冲突情景所建立的。你们访问古战场时，难道不曾问过纪念战争的纪念碑是如何记载这样多的杀戮吗？这种同一性的结论，我们在后面章节里还要多次用到。在离开关于重力的问题之前，我想稍稍讲一点关于空间弯曲和非欧几里得几何学的意义。
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物理世界的本质 [:1700940221]
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物理世界的本质 非欧几里得几何学
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我一直以来鼓励你们把空间—时间想成弯曲的，但是我也一直谨慎地提及，那是个物理图景而不是一个假设，那是对我们所讨论的给予我们以启示和指引的事物的图形表示。我们得自于该图的收获可以表示成更含糊的说法，空间—时间具有非欧几里得几何性。“弯曲空间”和“非欧几里得空间”在实践上是同义词，但两者确实表达了不同的观点。当我们尝试想象有限而无边际的空间时，困难的一步是把超球的内部和外部都除去。从弯曲空间转变到非欧几里得空间时，也有类似的难关——把所有的与外部及想象中的框架的关系统统舍去，而要把握存在于空间本身之内的那些关系。
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如果你们要问格拉斯哥到纽约的距离是多少，有两个可能的回答：一个人将告诉你们沿海面测量的距离，另一个人将回忆起还有一条通过地球隧道更短的距离，第二个人所用的维度是在第一个人心中排除的。但是如果两个人对于距离都不一致，那么他们对几何学也不会一致，因为几何学就是关于距离法则的，忘记或无视一个维度会得到不同的几何学。第二个人的距离服从三维欧几里得几何，第一个人的距离服从二维非欧几里得几何。因此，如果你们把注意力非常专注于地球表面，以致忘记了地球内部和地球外部的存在，那么就可以说，它是非欧几里得几何的两维复本。但如果你们回想起在地球周围到处都存在三维空间，能够实现点到点之间更短的路程，那样你们就回到欧几里得几何了。你们可能会说上面第一种距离不是合适的距离，由此为非欧几里得几何学“开脱”，这似乎是对非欧几里得几何如何——通过错漏一维，产生的最为容易的方法了，但是我们也不能必然推断非欧几里得几何非此不可能产生。
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在弥漫着重力的我们的四维世界里，距离服从非欧几里得几何学，这是否因为我们把注意力全部集中于四维而漏掉了通过远方地带的近道的缘故？借助六个额外的维度，我们能够回到欧几里得几何学。此时，我们通常的世界上的点到点的距离不是“真实”距离，真实距离是通过一个八维或九维空间沿更短的途径。我想，把世界在一个十维的超世界中弯曲起来，以便提供这些捷径，无疑将有助于我们形成一个它的非欧几里得几何学的性质的观念。无论如何，这幅图景暗示了描述那些性质的有用的词语。但是我们不会把这些额外的维度当作一个字面事实而接受，除非我们把非欧几里得几何学视为不计代价都必须“开脱”的事。
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在这二者——在十维度欧几里得空间里弯曲的复本，或者非欧几里得几何学里没有额外维度的复本之间，何者正确？因为我害怕自己会迷失在形而上学的大雾中，我确实不愿意直接作答，但我可以即刻说自己并不严肃看待这十个维度，而是很严肃地看待世界的非欧几里得几何学，并不把它看成是一件需要“开脱”的事。我们之中许多人在学校都学过，欧几里得公理的真理性能够直观地看到，这个观点如今遭到普遍放弃。我们不再能直观地确定空间法则，正如不能直观确定遗传法则一样。如果排除直观的话，那么必须求助于实验——不受预置定论的任何先入之见束缚的、真正的、不带偏见的实验。我们以后绝不再回到实验了，因为实验使空间略显非欧几里得的缘故。非常确切的是，能够找到一个出路。通过创造额外的维度，我们能够使世界的非欧几里得几何依赖于十个维度的欧几里得几何。我相信，即使我们能够证明世界是欧几里得型的，也会使世界的几何依赖于十个维度的非欧几里得几何。没有人会严肃对待后一个提议，也没有理由能够更严肃地对待前一个提议。
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