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图1-11 位置矢量A和它在时间间隔Δt中的位移ΔA
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显然，时间间隔Δt 越短，则A （t′ ）越靠近A （t ）。如果ΔA 除以Δt ，并且取二者都趋近于零的极限——这就是微商。在这种情况下，A 是位置，它对时间的微商是速度矢量；速度矢量是在曲线的切线方向，这就是位移变化的方向；你无法从图上看出它的大小，因为它决定于物体沿曲线运动有多快 。速度矢量的大小称为速率：它告诉你物体在单位时间内运动到多远的距离。下面是速度矢量的定义：它和路径相切，它的数值等于沿路径运动的速率（见图1-12）。
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图1-12 位置矢量A和它在t时刻的微商v
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附带说说，在同一张图上既要画出位置矢量，又要画出速度矢量是危险的，除非你非常小心——因为我们理解这些稍微有点麻烦。我指出所有我想象得到的可能犯的错误，因为说不定你们接着要做的事情是为某种目的将A 加到v 上。这是不合理的，因为要真正画出速度矢量，你必须知道时间的标度：速度矢量与位置矢量用的是不同的标度；事实上，它们有不同的单位。一般说来，你不能把位置和速度相加——在这里你们不能把它们加起来。
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对我来说，为了真实地画出 任何矢量的图，必须确定所用的标度。当我们讲到力的时候，我们说多少牛顿可以用1英寸（或1米，或不管什么都可以）来表示。在此地，我们必须说明多少米每秒用1英寸来表示。其他某个人可能用我们用的同样的长度来画位置矢量的图，而速度矢量的长度相当于我们用的三分之一——他只是把不同的标度用于他的速度矢量。并不存在唯一的方法来画矢量的长度，因为标度的选择是任意的。
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现在，用x ，y 和z 的分量来表示速度是很方便的，因为，举例来说，位置的x 分量的改变率等于速度的x 分量，依此类推。这仅仅是因为微商实际上就是差，从而矢量差的分量就等于相应的分量之差。我们有：
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取极限后就得到微商的分量：
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这在任何方向都是正确的：如果我取A （t ）在任意一个方向上的分量，那么在这个方向上的速度矢量的分量就是A （t ）在这个方向的分量的微商，附带一个严正的警告：该方向必须不随时间改变。你不能说，“我要取A 在v 方向上的分量”，或者类似于这样的事情，因为v 是在运动中 。这只当你对它取分量的方向本身是固定不动的 条件下，位置分量的微商才等于速度分量。所以，（1.15）和（1.16）两式只对x ，y ，z 和其他固定轴是正确的；如果轴在转动，同时要求微商，那么公式就要复杂得多。
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这些就是求矢量微商的一些困难和题外之话。
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当然，你还可以对矢量的微商求微分，然后对它再求微分，依此类推。我们称A 的微商为“速度”，但这只是因为A 是位置；如果A 是别的什么东西，它的微商就不是速度而是别的某种东西。例如，A 是动量，动量的时间微商等于力，所以A 的微商可以是力。如果A 是速度，速度的时间微商是加速度，等等。我在这里给你们讲的关于矢量微商是普遍正确的，但此地只给出位置和速度的例子。
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1-8 线积分
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最后，关于矢量，我还只有一件事是一定要谈的，并且这是一件讨厌而又复杂的事情，称为“线积分”：
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我们要拿来作为例子的是，你有某个矢量场F ，在其中你要沿着曲线S 从a 点积分到z 点。现在，为了使这个线积分具有某种意义，必须以某种方式沿曲线S 上a 和z 之间的每一点定义F 的值。如果F 定义为作用于在a 点的物体上的力，如果你不能告诉我当你沿S 运动时，至少 在a 和z 之间，力如何变化，“F 从a 到z 沿S 的积分”就没有意义 。（我说“至少”，因为F 可能也在别的任何地方定义，但至少你必须在你沿着它求积分的曲线部分定义。）
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我马上就要定义任意矢量场中沿任意曲线的线积分，但首先我们来考虑一下F 是常数的情形，并且S 是a 到z 的直线路径——位移矢量，我把它称为S （见图1-13）。因为F 是常数，我们把它拿到积分号外面（就像普通的积分一样），从a 到z 的dS 积分正好等于S ，所以答案是F ·S 。这就是一个不变力和直线路径的线积分——容易的情况：
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图1-13 定义在直线路径a-z上的不变力F