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这些就是求矢量微商的一些困难和题外之话。
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当然，你还可以对矢量的微商求微分，然后对它再求微分，依此类推。我们称A 的微商为“速度”，但这只是因为A 是位置；如果A 是别的什么东西，它的微商就不是速度而是别的某种东西。例如，A 是动量，动量的时间微商等于力，所以A 的微商可以是力。如果A 是速度，速度的时间微商是加速度，等等。我在这里给你们讲的关于矢量微商是普遍正确的，但此地只给出位置和速度的例子。
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1-8 线积分
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最后，关于矢量，我还只有一件事是一定要谈的，并且这是一件讨厌而又复杂的事情，称为“线积分”：
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我们要拿来作为例子的是，你有某个矢量场F ，在其中你要沿着曲线S 从a 点积分到z 点。现在，为了使这个线积分具有某种意义，必须以某种方式沿曲线S 上a 和z 之间的每一点定义F 的值。如果F 定义为作用于在a 点的物体上的力，如果你不能告诉我当你沿S 运动时，至少 在a 和z 之间，力如何变化，“F 从a 到z 沿S 的积分”就没有意义 。（我说“至少”，因为F 可能也在别的任何地方定义，但至少你必须在你沿着它求积分的曲线部分定义。）
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我马上就要定义任意矢量场中沿任意曲线的线积分，但首先我们来考虑一下F 是常数的情形，并且S 是a 到z 的直线路径——位移矢量，我把它称为S （见图1-13）。因为F 是常数，我们把它拿到积分号外面（就像普通的积分一样），从a 到z 的dS 积分正好等于S ，所以答案是F ·S 。这就是一个不变力和直线路径的线积分——容易的情况：
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图1-13 定义在直线路径a-z上的不变力F
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（记住，F ·S 是力在位移方向的分量乘以位移的大小；换句话说，简单地是沿着直线移动的距离乘以力在这个方向上的分量。也还有许多其他的方式看待它：它是位移在力的方向上的分量乘以力的大小；它是力的数值乘以位移的数值再乘以它们之间角度的余弦。这些都是相同的。）
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更一般地说，线积分定义如下：首先，我们分解积分，把a 和z 之间的S 分为N 个相等的线段ΔS1 ，ΔS2 ，…，ΔSN 。于是沿S 积分成为沿ΔS 积分加上沿ΔS2 积分加上沿ΔS3 积分，等等。我们取的N 很大，所以我们可以将每一个ΔSi 近似为一个小的位移矢量ΔSi ，在这一段上F 近似于常数Fi （见图1-14）。然后用“不变力直线路径”法则，线段ΔSi 上近似地贡献Fi ·ΔSi 于积分。所以，你把i 等于1到N 的Fi ·ΔSi 加在一起，这就是积分的很好的近似值。只当我们N 趋向于无限大，积分才准确地 等于这个和数：你尽可能地把小段分得短一些；你把它们取得比这稍微更短一些，你得到正确的积分：
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图1-14 定义在曲线S上的变化的力F
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（当然，这积分依赖于曲线——一般情况下——虽然有时它不是物理学。）
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好了，你们要学物理必须懂的数学——至少是现在——都在这里了。这些东西，最主要是微积分和初等矢量理论应当成为第二天性。某些东西——像线积分——现在 还不是第二天性，但是当用它们更多以后终于会成为第二天性。他们还 不是这样重要，并且比较难。你现在“必须牢记在你的头脑里的”是微积分以及一些关于求不同方向上的矢量分量的方法。
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1-9 一个简单的例子
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我给你们讲一个例题——只是非常简单的一个例题——来说明怎样求矢量的分量。假设我们有一台机器，如图1-15所示：它是由用一个枢轴连结的两根杆子（像肘关节）组成，上面有一个大的重物。其中一根杆子的一端用一个固定的枢轴固定在地板上。另一根杆子的一端有一个滚轴，可以沿地板上的狭槽滚动——这是一台机器的一部分。你看它彳亍、彳亍地开动——滚子前后运动，重物忽上忽下，就这样运动。
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图1-15 简单的机器
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我们设重物质量为2千克，杆子长0.5米，在某个时刻机器静止不动，重物到地板的距离恰好是0.4米——这样我们就有一个3-4-5三角形，这使计算变得更容易（见图1-16）。（计算并不是最重要的，真正的困难在于得到正确的概念 。）