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1700947570 我说:“好!这就对了!”
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1700947572 问题在于学生并没有领悟到这些不仅是数学问题;它们描述了有腿的真实桌子。其实它不是一张真实的 桌子,因为它是完全圆形的,它的腿也是笔直上下,等等。但是,粗略地说 ,它近似 描述了一张真实的桌子。知道了实际 桌子的情况,你们就可以不必要做任何计算,而获得这张 桌子会发生什么情况很好的概念——你们很清楚为了使桌子翻倒,必须倚靠在桌子的什么地方。
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1700947574 那么,如何说明 这种事呢,我不知道!但是你们一旦得到这样的概念,即这个问题不是数学问题而是物理 问题,就受益匪浅。
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1700947576 现在我将这个方法应用到一系列问题上:第一,用在机械设计中;第二,用于人造卫星的运动;第三,用于火箭的推进;第四,发射分析器,然后,如果我还有时间,用于π介子的蜕变和两个其他问题。所有这些问题都是相当困难的,但它们描述了我们发展中的各个方面,那么就让我们看看会发生什么情况吧。
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1700947578 2-7 机械设计中的问题
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1700947580 第一,机械设计,这里的问题是:有两根带轴的杆,每根都有半米长,它们承载2kg的重物——听上去熟悉吗?——左边的滚轴被某种机器驱动,以2米/秒的恒定速率前进或后退。清楚吗?给你们的问题是,当重物的高度是0.4米时,使它做这样的运动需要多大的力 (见图2-7)?
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1700947585 图2-7 运动中的简单机械
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1700947588 你们或许在想,“我们已经做过了!支持这重物所需的水平方向的力是1kg重的 。”
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1700947591 但我争辩说:“该力不是 kg重,因为重物是在运动 着的。”
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1700947593 你们可能会反驳说:“当物体运动时,难道需要力维持其运动吗?不!”
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1700947595 “但为了改变 物体的运动就需要力。”
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1700947597 “是的,但滚轴是以恒定速度运动。”
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1700947599 “噢,是这样。这是对的:滚轴正以2m/s的恒定速度运动,但是重物怎么样:它是以恒定速度运动吗?让我们想一想 :该重物是否有时运动得慢有时运动快?”
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1700947601 “是的……”
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1700947603 “它的运动是变化着 的——这就是我们遇到的问题:计算出,重物在0.4米高度时,维持滚轴以2m/s的恒定速度运动所需要的作用力。”
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1700947605 让我们看看,“我们是否能够说明重物的运动是怎样变化的。”
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1700947607 好的。如果重物靠近顶部而滚轴几乎在重物的正下方,则重物几乎不作上下运动。在这个位置上,重物运动不 很快;但如果重物降低了,像前面讨论的那种情况,这时你只要把滚轴向右推动一点点——好家伙,重物就不得不向上运动才不妨碍它!所以,当我们推动滚轴时,重物开始很快地向上运动,然后慢下来,对吗?如果重物快速上升,然后变慢,那么它的加速度从哪里来?加速度必然向下 :就像我把它快速向上抛出然后它慢下来——有点儿像它正在下落,所以作用力必须减少 。那就是说,我推动滚轴前进的水平力小于滚轴不动时的力。所以我们要算出小了多少。(我这样讨论整个问题的理由是我不能保证方程式中符号的正确,所以我要到最后通过这样的物理论证来确定符号是什么。)
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1700947609 顺便提一句,这个问题我大约已做过四次——每次都有错——但最后我还是做对了。我很清楚,当你第一次做一个习题的时候,有许多事情搞不清楚:我把数据搞混了,我忘了平方,我把时间的符号放错了,我还做错了其他许多事情,但不管怎样,现在 我做对了,而且我还可以告诉你这个问题如何才能正确地去解决——我必须老实承认,为了获得正确的答案,曾花费了我相当长时间。(孩子们,我很高兴我还保留着我的笔记本。)
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1700947611 现在为了计算力的大小,我们需要求出加速度。仅仅通过考察所有尺寸都固定在我们注意的时间的几何图形,是不可能求出加速度的。但为了得到变化率,我们不能让它固定不动——我的意思是,我们不能说,“好,这是0.3,这是0.4,这是0.5,这是每秒2米,加速度是多少?”不存在容易求加速度的方法。求加速度的唯一办法是找出一般的 运动并将它对时间求微商[6] 。于是我们就能够代入与这个特定图解相应的时间值。
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1700947613 因此,我需要在更一般的情况下去分析这个问题,就是当重物位于某个任意位置时的情况。比如说,在t =0的时刻,枢轴和滚轴靠在一起,因为滚轴以2m/s的速度运动,所以它们之间的距离是2t 。当我们想要进行计算的时刻是它们靠拢之前 的0.3s,这就是t =-0.3,因此它们之间的距离实际上为负 2t ——但是如果我们用t =0.3,使距离为2t ,它也完全是正确的。但是因为我一开始就没有探讨力的正确符号是什么,所以结束时会有许多符号错误。我将会完全正确——我宁愿不管数学,而从物理意义上获得正确的符号,然后从相反方向来做。不管怎样,我们达到了目的。(你们 不愿这样做吗?它太困难了——练习一下吧!)
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1700947615 (记住t 的意义:t 是两个轴靠在一起之前的时间,它是一种负的时间,这种负时间会使每个人发疯,但我实在帮不了忙——这是我求解这问题的方法。)
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