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现在我必须告诉你们，由于积分 是一个如此简单的函数，它在许多问题中出现，所以人们已经把它制成了一个表，并给它取了个名字：称为自然对数，ln（x ）。如果你们恰巧在一个自然对数表中看到ln（10），你们会发现它实际上是2.302585：
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你可以用我们使用的相同技巧获得许多精确的数字，这种技巧提供你们用更精细得多的间隔像 等来代替1——而这正是已经做过的事情。
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不管怎样，我们很快就做得非常好了，无须知道什么，也不需要查表。所以我反复强调，在紧急情况下，你们总能够用算术的方法做计算。
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3-5 化学火箭
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现在，火箭推进的问题是很有趣的。首先，你们会注意到，火箭最终达到的速率正比于排出气体的速率u 。因此所有的努力都用在尽可能快地排出气体。如果你们使过氧化氢和这种及那种燃料燃烧，或者使氧和氢或某些东西燃烧，那么你们就得到每克燃料产生的一定量的化学能。要是你们能正确地设计喷嘴和各种部件，那么你们就能获得化学能转变成喷出速度的高百分比，自然，你们不可能获得高于百分之百的比例。所以对给定的燃料，和对给定质量比的最理想的设计，存在着能达到的速率的上限。这也是因为从给定的化学反应可能获得的u 值有一个上限。
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考虑两个反应a 和b ，在这两个反应中每个原子释放出的能量相同，但原子的质量不同，分别为ma 和mb 。如果ua 和ub 是喷出速度，我们就有：
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因此在较轻原子的反应中，原子具有较高的速度，因为ma ＜mb ，（3.20）式表示ua ＞ub 。这也说明为什么大多数火箭所用燃料都是轻物质，工程师们都希望使氦和氢进行燃烧，不幸，那种混合物不能燃烧，所以他们权且把氢和氧之类凑合着用。
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3-6 离子推进火箭
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代替使用化学反应的另一个计划是制造一种装置，你们可以用它使原子离子化，并用电场来加速它们，这样你们就能得到极高 的速度，因为你们可以把离子加速到你们想要的速度。所以这里我给你们提出另一个问题。
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假定我们有一台所谓的离子推进火箭，我们使静电加速器加速的铯离子向后喷射。离子从火箭的前部出发，在前后两端之间加上电压V0 ——在我们的具体问题中，它并非不合理的电压——我采用V0 =200 000伏。
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现在的问题是：这会产生多大的推力？它是一个与以前不同的问题。前面的问题是求火箭会跑得多快。这次我们希望知道，如果使火箭保持在测试台上，它产生多大的推力（见图3-11）。
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图3-11 在测试台上的离子推进火箭
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它的工作原理是：假定在时间Δt 内火箭以速度u 喷出质量Δm =μ Δt 。于是喷出的动量为（μ Δt ）u ；由于作用等于反作用，所以火箭也获得这么多的动量。在以前的问题中，火箭处于太空中，所以它就飞出去。这一次，它被测试台固定着，依靠离子每秒获得的动量就是固定火箭所必须施加的力。由离子获得的每秒 的总动量 为（μ Δt ）u /Δt 。所以火箭的推力就是μu ，即每秒释放的质量乘以质量射出的速度。因此只要计算出每秒发射出多少质量的铯离子以及它的速度就行了：
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我们先算出离子的速度，做法如下：铯离子从火箭射出时的动能等于它的电荷乘以加速器电极之间的电压。问题在于电压是什么：它类似于势能，就像场和力——你只要用电荷去乘就得到势能差。
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铯离子是单价离子——它带有一个电子的电量——所以
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现在让我们算出 这个值。每摩尔[5] 电荷是一个著名的常数，它为96 500库仑/摩尔。每摩尔质量称为原子量。如果你们查一下周期表，每摩尔铯的质量为0.133千克。
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你们说，“这些摩尔是怎么回事？我想去掉它们！”