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洛伦茨的水车
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由爱德华·洛伦茨发现的第一个著名的混沌系统确切对应于一个力学装置：一部水车。这个简单的装置被证明能够生成出人意料复杂的行为。
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水车的转动具有一些与对流过程中流体形成的翻滚圆柱体相似的属性。水车就像圆柱体的一个横截面。两个系统都被匀速驱动（被水或热量），并且两者都耗散能量（流体失热，而水斗漏水）。在两个系统中，长期行为都取决于驱动能量的强弱。
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水从顶部匀速流入。如果水流缓慢，最高处的水斗永远无法积累足够多的水，不足以克服摩擦力，整个水车就不会开始转动。（类似地，在流体中，如果热量不够多，不足以克服黏性，流体也不会开始运动。）
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如果水流变快，最高处的水斗的重量将带动水车开始转动（左图）。整个水车会进入一个朝同一个方向的匀速转动（中间图）。
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但如果水流变得更快（右图），由于系统内禀的非线性效应，转动会变得混沌。随着水斗经过水流下方，它们能够承接的水量取决于转动的速度。一方面，如果水车转得很快，水斗就没有多少时间接水。（类似地，处在快速翻滚的对流中的流体也没有多少时间吸收热量。）另一方面，如果水车转得很快，水斗会在水漏光之前来到另一边。因此，在另一边向上运动的重的水斗会导致转动变慢，乃至反转。
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事实上，洛伦茨发现，长期来看，转动会多次反转，并且从不会出现一个稳定的频率，也从不会以任何可预测的模式重复自己。
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三个方程（连同其三个变量）完全描述了这个系统的运动。27 洛伦茨的计算机输出了这三个变量不断变化的值：0–10–0, 4–12–0, 9–20–0, 16–36–2, 30–66–7, 54–115–24, 93–192–74。随着系统中时间的推移，五个时间单位，一百个，一千个，这些数起起伏伏。
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27这个通常被称为洛伦茨系统的经典模型是：自从它在《决定论式的非周期性流》一文中首次面世以来，这个系统已经得到广泛研究；对此一项权威的技术性研究可参见：Colin Sparrow, The Lorenz Equations, Bifurcations, Chaos, and Strange Attractors (Springer-Verlag, 1982).
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为了利用数据得到一个直观图像，洛伦茨以每组的三个数为坐标，确定三维空间中的一个点。由此，数的序列生成了一个点的序列，一条记录下这个系统行为的连续的轨线。这样一条轨线可能来到一个地方，然后终止，意味着系统最终进入一个定态，届时有关速度和温度的变量将不再变化。或者轨线可能构成一个环，循环往复，意味着系统最终进入一个周期性重复自己的行为模式。
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洛伦茨的系统不属于这两种情况。相反，它的图像展现出一种无穷的复杂性。它始终停留在特定边界之内，不越雷池一步，但也始终没有重复自己。它生成了一个怪异而独特的形状——某种三维空间中的双螺线，就好似伸展双翅的一只蝴蝶。这个形状透露出纯粹的无序，因为其中没有哪个点或点的模式是重复的。但它也透露出一种新的类型的秩序。
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多年以后，物理学家会眼带向往之情地谈论起洛伦茨那篇讨论这些方程的论文——“那篇美丽的杰作”。到那时，它被人说得就仿佛是一份古代卷轴，内含有关永恒的天机。在成千上万的讨论混沌的技术性文献中，几乎没有哪篇论文比《决定论式的非周期性流》一文更常被人引用。在很多年里，也没有哪一个对象会比该论文中所刻画的那条神秘曲线，即后来被称为洛伦茨吸引子的双螺线，启发、催生出更多插图，乃至动画。有史以来第一次，洛伦茨的图像得以向我们清楚展示，说“这很复杂”究竟意味着什么。混沌的所有丰富意涵都在那里面。
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©James P. Crutchfield / Adolph E. Brotman
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洛伦茨吸引子
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这个类似猫头鹰面具或蝴蝶双翅的神奇图像，成了混沌的早期探索者的一个象征。它揭示出了隐藏在一股无序的数据流背后的精细结构。传统上，一个变量的不断变化的值可表示为一个所谓的时间序列（左上图）。但要想展示三个变量之间不断变化的关系，这需要用到一种不同的技术。在任意一个给定时刻，三个变量的值确定了三维空间中一个点的位置；而随着系统变化，这个点的运动就代表了这些不断变化的变量。
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由于系统永远不会确切重复自己，因此其轨迹永远不会自相交。相反，它始终在绕来绕去。吸引子的运动是抽象的，但它还是传递出了现实系统运动的某些特征。比如，从吸引子的一翼跃至另一翼就对应于水车或对流流体的运动方向的反转。
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不过，在当时，几乎没有人能看出这一点。洛伦茨曾向威廉·马尔库斯（一位 MIT 的应用数学教授，也是一位彬彬有礼的科学家，对于同仁的工作有着非凡的赏识能力）描述了自己的发现。马尔库斯听完笑了起来：“埃德，我们知道（我们清楚地知道），流体的对流根本不会出现那种情况。”28 马尔库斯告诉他，复杂性无疑会慢慢削弱，系统最终将趋于稳定而规则的运动。
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28马尔库斯，洛伦茨。
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“当然，我们当时完全没有把握到重点，”马尔库斯在二十多年后（即在他曾在自己的地下室实验室里实际搭起一部洛伦茨水车，以便向非信仰者“传道”的多年之后）说道，“埃德当时所思考的根本不是我们的物理学。他所思考的是某种一般化的或抽象的模型，而其展现出来的行为，他出于本能感到，是外部世界的某些层面的典型行为。不过，他无法跟我们这样说。只是在事后，我们才意识到他当初必定持这样一些观点。”
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当时很少有外行人意识到，科学界已经变得多么相互隔绝；它就犹如一艘战舰，其中一道道水密舱壁使各舱室相互隔绝，密不透水。生物学家不需要再关注数学文献，也已经有足够多的东西需要阅读——事实上，分子生物学家不需要再关注种群生物学，也已经有足够多的东西需要阅读。物理学家也有比浏览气象学期刊更好的方式去花费自己宝贵的时间。原本有些数学家会兴奋于看到洛伦茨的发现；而在接下来的十年里，也有许多物理学家、天文学家和生物学家一直在寻找像这样的东西，并且有时他们还自己重新发现了它。但洛伦茨是一位气象学家，而当时没有人想到要去《大气科学期刊》第 20 卷的第 130 页找寻混沌。29
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29在 20 世纪 60 年代中期，《决定论式的非周期性流》大概每年被引用一次；二十年后，它每年被引用超过一百次。
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