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13Joseph Ford,“What is Chaos, That We Should Be Mindful of It?”preprint, Georgia Institute of Technology, Atlanta.
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新的希望、新的风格，以及最为重要的，一种新的看待世界的方式。革命的发生并不是渐变的。14 一个有关自然的描述取代了另一个。老问题有了看待的新视角，而其他问题第一次被注意到。这就像是整个工业进行了设备更换，以从事新的生产。或者按照库恩的说法：“这就好像整个科学界突然被传送到了另一个星球上，在那里，他们以不同的视角看待熟悉的事物，并遇到了以前没有见过的东西。”15
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14“What Are Scientific Revolutions?”p. 23.
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15Structure, p. 111.
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这门新科学的小白鼠是单摆，这个经典力学的标志、受制运动的示例、钟表般规则性的典范。16 一个锤系在一条绳或一根杆的一头，绳或杆的另一头固定，然后锤在受到推动后自由摆动。还有什么比这看上去与湍流的变化无端更风马牛不相及吗？
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16约克等人。
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就像阿基米德有其浴缸，而牛顿有其苹果，根据通行的传说，伽利略则有其教堂吊灯，它来回摆动，周而复始，一板一眼地将自己的讯息送入他的意识。克里斯蒂安·惠更斯将单摆的可预测性变成了一种计时手段，从而将西方文明推上了一条无法回头的道路。在巴黎的先贤祠，傅科利用一只二十层楼高的单摆形象揭示出地球的自转。而在石英钟出现之前，每只钟表都有赖于大小或形状不一的单摆。（事实上，石英装置的振荡并没有如此不同。）在太空中，由于没有摩擦力，周期性运动可见于天体的轨道，但在地球上，几乎任何规则的振荡都来自单摆的某种变体。描述基本电路的方程组与描述单摆摆动的方程组是一样的。电子振荡要快上数百万倍，但背后的物理学是一样的。不过，到了 20 世纪，经典力学成了一种仅限于课堂教学和常规工程项目的学问。以“太空球”玩具的形式，单摆在科技馆展示，并在机场礼品店出售。但不再有物理研究者对单摆感兴趣。
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然而，单摆的奥秘并没有被穷尽，它仍有惊喜可期。它将成为一块试金石，就像当初它为伽利略的革命所做的。当亚里士多德看到一只单摆时，他看到的是，摆锤试图落向地面，但由于它被摆绳所限制，因此它只能挣扎着来回摆动。17 一个现代人可能会觉得，这听上去很愚蠢。受到对于运动、惯性和重力的经典概念根深蒂固的影响，他可能很难欣赏亚里士多德对于单摆的理解所反映出的那种自洽的世界观。在亚里士多德看来，机械运动不是一个物理量或一种力，而是一类变化，就像人的生长是一类变化。悬空的摆锤试图回归其最自然的状态，也就是在没有摆绳的限制时它将达到的状态。在这个语境中，亚里士多德的说法是说得通的。另外，当伽利略看到一只单摆时，他看到的是一种可被测量的规则性。为了解释这种规则性，他需要用到一种对于运动物体的革命性新理解。伽利略相较于古希腊人的优势并不在于他拥有更好的数据。事实上，恰恰相反，他为单摆计算时间的方法是让一些朋友帮忙数一下在二十四小时的周期里单摆振荡的次数——一个费时费力的实验。他之所以看到了规则性，是因为他已经拥有一个理论，而理论预测了这一点。他理解了亚里士多德所无法理解的一点：一个运动物体倾向于保持继续运动，而其速度或方向上的变化只能通过某种外力，比如摩擦力来解释。
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17“What Are Scientific Revolutions?”pp. 2–10.
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事实上，伽利略的理论如此强大，以至于他看出了一种实际上并不存在的规则性。他主张，一只给定绳长的单摆不仅每次来回摆动的时间是相等的，并且不论摆动形成的夹角是大还是小，这个时间始终是相同的。摆动幅度大的单摆需要经过更长的距离，但它恰好也快上那么一点儿。换言之，单摆的周期与振幅无关。“如果让两位友人数一下单摆振荡的次数，其中一个人数摆幅大的，另一个人数摆幅小的，他们将看到，不论是数到数十次，还是甚至数到数百次，他们数出的次数都不会相差一次，或数分之一次。”18 伽利略以做实验的方式表述了自己的主张，但终究还是理论使它具有说服力——事实上，伽利略的主张如此令人信服，以至于它今天仍在大多数高中物理课上被当作真理传授。但它是错误的。伽利略看到的规则性只是一种近似。不断变化的夹角在方程中引入了一点点非线性。当振幅很小时，误差可以忽略不计。但它终究在那里，并可被测量出来，哪怕是在一个粗略如伽利略所描述的实验中。
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18Le Opere di Galileo Galilei, VIII: 277. Also VIII: 129–130.
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微小的非线性容易被无视。任何做过实验的人很快都会知道，自己生活在一个不完美的世界中。自伽利略和牛顿以降的数百年来，在实验中找寻规则性一直是实验科学家的基本工作。他们渴望找到那些保持不变的量，或者那些值为零的量。但这也意味着无视那些会扰乱一个简明图景的细枝末节。如果一位化学工程师发现两种物质的比率始终变化不大，前天是 2.001，昨天是 2.003，今天是 1.998，这时恐怕只有傻子才会不去寻找一个能解释正好二比一比率的理论。
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为了得到他的简明结论，伽利略也有意忽视了那些他明知存在的非线性因素：摩擦力和空气阻力。空气阻力是一个臭名昭著的实验麻烦鬼，一个为了直抵力学新科学的实质而必须被剔除的复杂化因素。羽毛的下落速度与石头的一样快吗？所有有关自由落体的日常经验告诉我们答案是否定的。伽利略在比萨斜塔上扔下一轻一重两个球的故事，作为一个迷思，实际上说的是，如何发明一个理想化的科学世界（在其中，规则性可从日常经验的纷繁复杂中被分离出来）来改变我们的直觉。
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将重力对一个给定质量的物体的效应与空气阻力对其的效应分解开来，是一个杰出的智力成就。这让伽利略得以触及惯性和动量的核心。尽管如此，在现实世界中，单摆最终还是会像亚里士多德的陈旧范式所预测的那样，它们会停下。
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在为下一次范式转换做铺垫的过程中，物理学家开始直面许多人相信自己在像单摆这样的简单系统方面所受教育中的一种不足。进入 20 世纪，像摩擦力这样的耗散过程被纳入考量，学生们开始学习将它们纳入方程。学生们还学到，非线性系统通常是无解的（这点不假），并且它们大多是例外情况——这点则不对。经典力学描述了全部运动物体、单摆和双摆、弹簧和弯曲棒、指拨的弦和弓拉的弦等的行为。其数学还适用于流体系统和电子系统。但在经典力学时期，几乎没有人想到混沌的可能性，没有人想到如果非线性被赋予其应有的地位，在动力系统中可能会出现一种新的行为。
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一位物理学家无法真正理解湍流或复杂性，除非他首先理解了单摆，并且是以一种不可能在 20 世纪上半叶想到的方式理解它们。随着混沌开始整合不同系统的研究，单摆的动力学被发现也适用于从激光到超导约瑟夫森结的高科技领域。有些化学反应表现出类似单摆的行为，跳动的心脏也是如此。正如一位物理学家所写的，其出人意料的适用可能性还扩展到了“生理和精神医学、经济预测，或许还有社会的演化”。19
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19David Tritton,“Chaos in the Swing of a Pendulum,”New Scientist, 24 July 1986, p. 37. 这篇通俗易懂的非技术性文章很好地介绍了单摆的混沌行为的哲学意涵。
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试考虑操场边的一架秋千。它在下降时加速，在上升时减速，同时由于摩擦力不断失去一点点速度。设想它受到一个周期性外力推动，比如，来自某种规则运作的机器。我们的所有直觉都告诉我们，不论秋千一开始从多高的地方落下，其运动将最终进入一种规则的来回摆动模式，并且每次都荡到同样的高度。这有可能发生。20 然而，尽管可能看上去不可思议，其运动也可能变得不规则，一下高，一下低，永远不会进入一个稳定的定态，也永远不会完全重复之前的一个摆动模式。21
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20在实践中，推秋千的人总是能够应用他自己的一种无意识的非线性反馈机制，制造出多多少少规则的运动。
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21对于单摆受迫振动的可能变化，一个很好的总结是：D. D’Humieres, M.R. Beasley, B.A. Huberman, and A. Libchaber,“Chaotic States and Routes to Chaos in the Forced Pendulum,” Physical Review A 26 (1982), pp. 3483–3496.
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这种出人意料的、不规则的行为来自流入流出这个简单振子的能量流中的一种非线性因素。秋千是有阻尼振动，也是受迫振动：有阻尼，因为摩擦力试图使它静止下来；受迫，因为它受到一个周期性外力推动。即便当一个有阻尼受迫系统处于均衡状态时，它也能表现出复杂的行为，而我们的世界充满了这样的系统。首先一个系统就是天气，它一方面由于运动的空气和水的摩擦力以及热量向外太空的耗散而趋于停滞，另一方面则受到太阳能量的持续推动。
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但不可预测性并不是物理学家和数学家在 20 世纪六七十年代再次开始严肃看待单摆的原因。不可预测性只是一开始吸引他们注意的地方。这些研究混沌动力学的学者进而发现，简单系统的无序行为也是一个创造性的过程。它生成了复杂性：一些复杂的模式，它们有时稳定，而有时不稳定，有时有限，而有时无限，但总是有着一种仿佛具有生命一般的吸引力。这也是为什么科学家开始钻研玩具。
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其中一种玩具是“太空球”22 或“太空秋千”，两个空心球连在一根短棒的两端，短棒的中心架在一个单摆的一端，单摆摆杆的中心则架在支架上，另一端接着第三个更重的球。底下的第三个球来回摆动，顶上的短棒及另两个球则可以自由转动。所有三个球都内装小块磁铁，并且一旦运动起来，整个装置就会不断运动下去，因为在底座内部有一块电池驱动的电磁铁。装置感知到最底下那个球的接近，并在它经过时用磁力为它推上一把。有时候，整个玩具会进入一种稳定的、规则的摆动。但其他时候，其运动看上去始终是混乱的，总是不断变化，给人无尽的惊喜。
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22迈克尔·贝里研究了这种玩具的物理学，对其建模并进行实验。在《不可预测的摆动–转动球》一文中，他描述了一系列只能通过混沌动力学的语言（“KAM 轨线、周期轨道的分岔、哈密顿混沌、不动点，以及奇怪吸引子”）理解的行为。
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另一种玩具实质上是一种所谓的球面摆——不像单摆只能在一个竖直平面内来回摆动，球面摆可以在一个球面内的各个方向上自由摆动。它的底座上固定着一些小的磁铁。这些磁铁吸引金属摆锤，而当摆停止时，摆锤会被其中一块磁铁所捕获。这里的玩法是，让摆摆动，然后猜哪块磁铁会胜出。即使在只有摆放成三角形的三块磁铁的情况下，摆的运动也是无法预测的。它可能会在磁铁 A 与 B 之间来回摆动一会儿，然后转换到 B 与 C 之间摆动，再然后，就在它看上去将最终停靠到 C 上时，又跳回到 A。设想一位科学家通过以下方式作图来系统地探索这种玩具的行为：选取一个起始点；将摆锤拉到那个位置，然后放手；根据摆锤最后停靠到哪块磁铁上，将那个点相应标为红色、蓝色或绿色。这幅图最终看上去会是什么样子的？正如我们可能预期的，它会有一些实心的红色、蓝色或绿色区域——从某个区域内出发，摆锤将稳妥地停靠到特定一块磁铁上。但它也会有一些区域，其中不同颜色相互交织，呈现出无尽的复杂性。在一个红色的点附近，不论我们如何靠近看，也不论我们将图放大多少倍，总是会有些蓝色和绿色的点。因此，摆锤的命运实际上将是无法预测的。
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