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让欧几里得当初得以构造出一维或二维对象的抽象化过程，也很容易扩展到我们面对的日常物体上。18 一幅交通地图，就其功用而言，是一样本质上二维的东西，它是一个平面。它用其二维表面承载了一类刚好二维的信息。当然，在现实中，交通地图像所有其他东西一样，是三维的，但其厚度是如此之小（并且与其功用如此不相关），使得它可以被忽略。即便被折叠起来，一幅交通地图仍然实际上是二维的。同样地，一根麻绳实际上是一维的，而一个粒子实际上根本没有维数。
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18Ibid., p. 17.
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那么一个麻绳球的维数是多少呢？曼德尔布罗特的回答是，它取决于你观看的距离。从很远的地方看，麻绳球不过是一个点，没有维数。近一点儿看，你可以看到它占用了一个球状空间，拥有三个维度。更近一点儿看，麻绳看得一清二楚，于是这个对象就变成实际上是一维的，只不过这个一维以一种利用到三维空间的方式自己缠绕成一团。确定一个点需要多少个数的概念仍然非常有用。19 从远处看，它根本不需要数——那里就只有一个点。近一点儿看，它需要三个数。更近一点儿看，一个数就够了——麻绳长度上的任意一个位置都是唯一的，而不论麻绳是拉直成线，还是缠绕成球。
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19Ibid., p. 18.
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视角进而推进到微观层次：麻绳变成一股股三维的麻线，麻线又分解成一条条一维的纤维，最终实体的物质解体为零维的点。曼德尔布罗特还搬出了相对性：“这种认为一个数值结论应该取决于对象与观察者之间的关系的思想，符合这个世纪的物理学的精神，甚至是它的一个示例。”
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但抛开哲学不说，一个对象的有效维数确实被证明不同于其普通的三维。曼德尔布罗特的文字论证看上去存在的一个弱点是，它使用了一些模糊的概念，比如“很远”和“近一点儿”。在它们之间时，情况又会如何呢？无疑，二者之间不存在一个明确的界线，过了这里，一个麻绳球就从一个三维对象突然变成一个一维对象。但实际上，这些转变的定义的不良性质并不是一个弱点——相反，它引出了一个关于维数问题的新思想。
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曼德尔布罗特没有局限于普通的维数（0, 1, 2, 3,…），而是拥抱了一个看上去的不可能：分数维数。这是一个不容易理解的概念。对于非数学家来说，它需要用到一点儿主动的悬置不信。但它最终证明了自己是威力极其强大的。
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分数维数可以测量那些不然没有办法明确定义的量：一个对象的曲折、破碎或不规则程度。比如，一条蜿蜒的海岸线尽管就长度而言是不可测量的，但还是具有特定的曲折程度。曼德尔布罗特给出了一些计算实际对象的分数维数的方法，前提是能够提供构造一个形状的某种技术，或者提供某些数据；并且他的几何学让他就自己研究过的大自然中的不规则模式做出了一个论断，即在不同尺度下，不规则程度保持不变。出人意料经常地，这个论断被证明是正确的。因此，一次又一次地，世界展示出一种规则的不规则性。
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1975 年的一个冬日下午，意识到物理学界也正在出现的类似研究，正在准备自己首部专著的曼德尔布罗特决定，他需要为自己的形状、自己的维数以及自己的几何学起一个名字。20 他的儿子放学回家，曼德尔布罗特便随手翻阅起儿子的拉丁语词典。他偶然看到了形容词“fractus”，它由动词“frangere”变化而来，意为“破碎的”。英语中由它而来的两个同源词——“fracture”（碎裂）和“fraction”（一小部分）——看上去也与不规则性的意象相符。曼德尔布罗特于是创造出了一个新词“fractal”（分形），它既是名词，也是形容词；既是英语词，也是法语词。
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20曼德尔布罗特。
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在心智之眼看来，一个分形就是一次见证无穷。
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设想一个等边三角形，每条边长一英尺。再设想一种特定变换（一套定义良好且易于重复的具体规则）：取每条边中间的三分之一，以它为底边添加一个新的等边三角形。
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结果是一个大卫星。原始的形状由三段一英尺的线段构成，现在这个形状则由十二段四英寸的线段构成。原始的形状有三个顶点，现在的则有六个。
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现在取这个六角形的每条边并重复这个变换，以边中间的三分之一为底边添加新的等边三角形。如此重复，直至无穷。其轮廓变得越来越细节丰富，就像一个康托尔集变得越来越稀疏。它有点儿像一种理想的雪花，因而被称为科赫雪花，这些由直线段连接而成的折线则被称为科赫曲线，得名自瑞典数学家黑尔格·冯·科赫，后者最早在 1904 年描述了它们。
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©Benoit Mandelbrot
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科赫雪花和科赫曲线
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“对于海岸线的一个粗略但有效的模型”，曼德尔布罗特便这样描述道。为了构造一个科赫雪花，先取一个边长为 1 的等边三角形，然后以每条边中间的三分之一为底边添加一个新的等边三角形，如此不断重复。整个形状的边长是 ，即无穷长的。但其面积始终不超过原始三角形的外接圆的面积。因此，一条无穷长的曲线圈出了一个有限的面积。
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仔细思考之后，我们很容易看出科赫雪花有着一些有趣的特征。首先，它的轮廓是一条连续的闭曲线，永远不会自相交，因为添加的新等边三角形总是足够小，不会撞上其他的。其次，每次变换都给曲线所包围的区域增加了一小点面积，但整个面积始终是有限的，其实并没有比原始三角形大太多。如果你在原始三角形外面作一个外接圆，那么科赫雪花将永远不会超出这个圆。
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但曲线本身是无穷长的，只要这些欧几里得直线段能够无穷无尽地细分下去。正如第一次变换将一段一英尺的线段变成了四段四英寸的线段，每次变换都使总长度增加了三分之四倍。这个不无悖论的结论（在一个有限面积的空间里出现了一条无穷长的曲线）困扰了许多世纪之交时的数学家。科赫雪花是对于有关形状的所有合理直觉的公然挑衅，并且（这几乎不言而喻）“病态”得不像任何可见于自然界的东西。
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由于种种原因，这些工作在当时几乎没有产生什么影响，但一些坚持探索的数学家还是设想了其他许多有着科赫曲线的部分怪异性质的形状。比如，皮亚诺曲线。又比如，谢尔平斯基地毯和谢尔平斯基垫片。这种地毯的做法是，先取一个正方形，将它“井”字分割，使之等分成九个小正方形，再去掉中间的一个。接着在剩下的八个正方形中分别进行这个操作，然后不断重复，使每个正方形中间都有一个方洞。垫片的做法相同，只是它使用的是一个等边三角形，而非正方形；它具有一种难以想象出来的性质，即任何一个点都是一个分支点，都是结构中的一个分叉。这难以想象出来，确实，但直到你联想到埃菲尔铁塔，一个很好的三维近似：其优雅的抛物线形立柱和水平横梁由小的桁架元构成，而每个桁架元的杆件又由更小的桁架元构成，整体形成一个熠熠生辉的、有着精细结构的网络。21 当然，古斯塔夫·埃菲尔无法继续这样的设计，直至无穷小，但他意识到，这种设计的工程学优点使得他能够尽量减少材料的重量而不损害结构的强度。
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21Fractal Geometry, p. 131, and“On Fractal Geometry,”p. 1663.
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心智终究无法想象出这种复杂性的无穷无尽之层层嵌套。但对于一个能够以几何学家的方式思考形式的人来说，这种相同的结构在越来越精细的尺度上的重复出现可以打开一个新天地。探索这些形状、不断深入它们的种种可能性，对曼德尔布罗特来说就仿佛是一种游戏，看到前人所未见或未理解的变体给他带来了孩童般的快乐。当这些变体还没有名字时，他给它们命了名：绳和片、海绵和泡沫、花菜和垫片。
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分数维数被证明正是那个对的标尺。在某种意义上，不规则的程度对应于一个对象占用空间的效率。一条简单的、欧氏的、一维的线根本没有占用空间。但科赫雪花的轮廓，由于其无穷的长度挤在有限的区域里，确实占用了空间。它已不再是一条线，但还不能算是一个面。它大于一维，但又小于二维。利用一些由 20 世纪早期科学家 22 发明但后来被遗忘的技术，曼德尔布罗特可以精确算出分数维数。比如，对于科赫雪花，由于其长度以三分之四的倍数无限增加，由此可得到一个 1.2618 的维数。
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