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20曼德尔布罗特。
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在心智之眼看来，一个分形就是一次见证无穷。
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设想一个等边三角形，每条边长一英尺。再设想一种特定变换（一套定义良好且易于重复的具体规则）：取每条边中间的三分之一，以它为底边添加一个新的等边三角形。
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结果是一个大卫星。原始的形状由三段一英尺的线段构成，现在这个形状则由十二段四英寸的线段构成。原始的形状有三个顶点，现在的则有六个。
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现在取这个六角形的每条边并重复这个变换，以边中间的三分之一为底边添加新的等边三角形。如此重复，直至无穷。其轮廓变得越来越细节丰富，就像一个康托尔集变得越来越稀疏。它有点儿像一种理想的雪花，因而被称为科赫雪花，这些由直线段连接而成的折线则被称为科赫曲线，得名自瑞典数学家黑尔格·冯·科赫，后者最早在 1904 年描述了它们。
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©Benoit Mandelbrot
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科赫雪花和科赫曲线
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“对于海岸线的一个粗略但有效的模型”，曼德尔布罗特便这样描述道。为了构造一个科赫雪花，先取一个边长为 1 的等边三角形，然后以每条边中间的三分之一为底边添加一个新的等边三角形，如此不断重复。整个形状的边长是 ，即无穷长的。但其面积始终不超过原始三角形的外接圆的面积。因此，一条无穷长的曲线圈出了一个有限的面积。
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仔细思考之后，我们很容易看出科赫雪花有着一些有趣的特征。首先，它的轮廓是一条连续的闭曲线，永远不会自相交，因为添加的新等边三角形总是足够小，不会撞上其他的。其次，每次变换都给曲线所包围的区域增加了一小点面积，但整个面积始终是有限的，其实并没有比原始三角形大太多。如果你在原始三角形外面作一个外接圆，那么科赫雪花将永远不会超出这个圆。
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但曲线本身是无穷长的，只要这些欧几里得直线段能够无穷无尽地细分下去。正如第一次变换将一段一英尺的线段变成了四段四英寸的线段，每次变换都使总长度增加了三分之四倍。这个不无悖论的结论（在一个有限面积的空间里出现了一条无穷长的曲线）困扰了许多世纪之交时的数学家。科赫雪花是对于有关形状的所有合理直觉的公然挑衅，并且（这几乎不言而喻）“病态”得不像任何可见于自然界的东西。
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由于种种原因，这些工作在当时几乎没有产生什么影响，但一些坚持探索的数学家还是设想了其他许多有着科赫曲线的部分怪异性质的形状。比如，皮亚诺曲线。又比如，谢尔平斯基地毯和谢尔平斯基垫片。这种地毯的做法是，先取一个正方形，将它“井”字分割，使之等分成九个小正方形，再去掉中间的一个。接着在剩下的八个正方形中分别进行这个操作，然后不断重复，使每个正方形中间都有一个方洞。垫片的做法相同，只是它使用的是一个等边三角形，而非正方形；它具有一种难以想象出来的性质，即任何一个点都是一个分支点，都是结构中的一个分叉。这难以想象出来，确实，但直到你联想到埃菲尔铁塔，一个很好的三维近似：其优雅的抛物线形立柱和水平横梁由小的桁架元构成，而每个桁架元的杆件又由更小的桁架元构成，整体形成一个熠熠生辉的、有着精细结构的网络。21 当然，古斯塔夫·埃菲尔无法继续这样的设计，直至无穷小，但他意识到，这种设计的工程学优点使得他能够尽量减少材料的重量而不损害结构的强度。
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21Fractal Geometry, p. 131, and“On Fractal Geometry,”p. 1663.
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心智终究无法想象出这种复杂性的无穷无尽之层层嵌套。但对于一个能够以几何学家的方式思考形式的人来说，这种相同的结构在越来越精细的尺度上的重复出现可以打开一个新天地。探索这些形状、不断深入它们的种种可能性，对曼德尔布罗特来说就仿佛是一种游戏，看到前人所未见或未理解的变体给他带来了孩童般的快乐。当这些变体还没有名字时，他给它们命了名：绳和片、海绵和泡沫、花菜和垫片。
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分数维数被证明正是那个对的标尺。在某种意义上，不规则的程度对应于一个对象占用空间的效率。一条简单的、欧氏的、一维的线根本没有占用空间。但科赫雪花的轮廓，由于其无穷的长度挤在有限的区域里，确实占用了空间。它已不再是一条线，但还不能算是一个面。它大于一维，但又小于二维。利用一些由 20 世纪早期科学家 22 发明但后来被遗忘的技术，曼德尔布罗特可以精确算出分数维数。比如，对于科赫雪花，由于其长度以三分之四的倍数无限增加，由此可得到一个 1.2618 的维数。
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22费利克斯·豪斯多夫和阿布拉姆·萨莫伊洛维奇·贝西科维奇。
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相较于为数不多的思考过这些形状的前辈数学家，曼德尔布罗特在继续探索时拥有两个巨大优势。其一是他能够借助 IBM 所拥有的计算资源。这是另一个完美适合计算机的“傻”快的任务。就像气象学家需要重复对大气中成百上千万的相邻点进行相同的少量计算，曼德尔布罗特需要一而再，再而三地进行一个程序简单的变换。人的聪明巧思构想出了这些变换。计算机则把它们画了出来——有时候，结果还出人意料。20 世纪早期的数学家当初很快就遇到了一个难以再计算下去的障碍，就像没有显微镜可用的早期生物学先驱所面对的。在不断深入检视一个具有越来越精细的细节的宇宙时，想象力只能帮你到这么远。
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用曼德尔布罗特自己的话来说：“曾经有一段长达一百年的中断期，其间，绘图不再在数学中扮演任何角色，因为铅笔和尺子被认为已经被穷尽了。它们已经得到透彻理解，不再属于重要课题。而那时计算机还不存在。
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©Benoit Mandelbrot
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利用孔洞构造
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通过增加或移除无穷多部分的技术，一些 20 世纪早期的数学家构想出了许多看上去不自然的对象。其中之一是谢尔平斯基地毯：移除一个正方形的中间九分之一，然后分别移除剩下的八个小正方形的中间九分之一，如此不断继续。其三维类比是门格海绵，一个看上去像实心的、具有无穷大表面积以及零体积的晶格。
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“在我加入这个游戏的时候，它当中完全缺乏直觉。而直觉的培养只能从头做起。由常规工具（铅笔和尺子）训练出来的直觉认为这些形状相当不自然和病态。但旧的直觉是在误导人。第一批图片让我大吃一惊，然后我会认出有些图片与之前的很像，如此等等。
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