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在美国东北部，研究地震的最好去处是拉蒙特–多尔蒂地质观测所，这是一组隐身在南纽约州的森林之中、就位于哈德逊河西岸的不起眼建筑。24 正是在拉蒙特–多尔蒂，克里斯托弗·肖尔茨，这位专门研究地壳的形式和结构的哥伦比亚大学教授，开始了他对分形的思考。
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24肖尔茨；C. H. Scholz and C. A. Aviles,“The Fractal Geometry of Faults and Faulting,”preprint, Lamont - Doherty Geological Observatory; C.H. Scholz,“Scaling Laws for Large Earthquakes,” Bulletin of the Seismological Society of America 72 (1982), pp. 1–14.
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当数学家和理论物理学家还在无视曼德尔布罗特的工作时，肖尔茨却属于那样一类实用主义的科学从业者，非常愿意吸纳分形几何学所提供的工具。他早在 20 世纪 60 年代就偶然听说过曼德尔布罗特的名字，当时曼德尔布罗特正在研究经济学，而肖尔茨在 MIT 攻读研究生，正在花费大量时间研究一个与地震相关的难题。在此前的二十多年间，人们逐渐意识到，大小地震的时空分布遵循一个特定的数学模式，而它正好与看起来决定了一个自由市场中的收入分布的标度模式相同。在地球上的任何地方，只要那里地震的频率和烈度得到观测，都可以观察到这个模式。而考虑到通常地震的发生是多么不规则和不可预测的，这里无疑值得深究到底是何种物理过程可能导致了这种规则性。至少在肖尔茨看来如此。大多数地震学家长久以来满足于发现了这个事实，然后就转向别的了。
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肖尔茨一直记得曼德尔布罗特的名字，在 1978 年，他购入了一本满是插图和公式、知识异常丰富的图书，题为《分形对象：形、机遇和维数》。曼德尔布罗特仿佛把自己所知道或猜测的关于我们宇宙的一切都放进了这本大杂烩中。在短短几年时间里，这本书及其增订版《大自然的分形几何学》的销量就超过了任何其他高等数学图书。它的风格深奥难解、让人沮丧，时而睿智，时而文学化，时而又晦涩难懂。曼德尔布罗特自己称它为“一部宣言和一本案例手册”。25
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25Fractal Geometry, p. 24.
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就像少数其他领域的一些难兄难弟，特别是研究自然现象的科学家，肖尔茨也花了多年时间试图弄明白该如何利用这本书。这远非显而易见。《分形对象》，按照肖尔茨的说法，“不是一本指南，而是一部天书”。26 不过，肖尔茨碰巧关注的是表面，而表面在这本书中到处可见。他发现自己无法不去思考曼德尔布罗特的思想所蕴含的潜力。他开始致力于找寻一种方式，利用分形来描述、分类和测量自己研究领域里的各种对象。
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26肖尔茨。
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他很快意识到自己不是一个人在战斗，虽然还要等上多年，分形学术会议和研讨会才会开始多起来。分形几何学的这一统合思想将那些原本认为自己的发现不过是些偏离常规的个案，以及那些一直苦于没有系统性方式来理解它们的科学家召集到了一起。分形几何学的洞见也为那些研究事物如何分与合、如何破裂的科学家提供了帮助。它是一种看待物质的方法——不论是微观上参差不齐的金属表面、多孔的含油岩石的微小孔隙，还是一个地震带上的破碎地形。
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在肖尔茨看来，描述地球表面（地面与平坦的海面相交之处就是海岸线）是地球物理学家的职责之一。而在地壳中还有另一种类型的表面——裂缝的表面。断层面和破碎带在地壳结构中占据主导，因而它们是任何好的描述的关键，可以说，比它们所穿过的介质都更为重要。破碎带在三个维度上裂解地壳，形成肖尔茨所称的“脆裂层”。它们控制着流体在地下的流动——不论是水流、石油流，还是天然气流。它们也控制着地震行为。理解这些表面非常重要，但肖尔茨认为自己的职业正处于一个窘境。老实说，他没有一个框架可用。
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地球物理学家看待表面的方式与其他人的相同，即将之视为形状。一个表面可能是平坦的。或者它可能有着一个特定形状。比如，你可以观察一辆大众甲壳虫汽车的轮廓，然后将那个表面画成一条曲线。那条曲线将像在欧氏几何中那样可以测量。你可以用一个方程来拟合它。但在肖尔茨的描述中，你只是透过一个狭窄的波段来观测那个表面。你就像是透过一个红色滤光镜来观察世界——你能够看到在那个特定波长上的东西，却错过了在可见光的其他波长上的一切，更别说发生在红外线或无线电波的广大谱段上的活动了。在这个类比中，光谱对应于尺度。借助欧几里得形状来考虑一辆甲壳虫汽车的表面，就相当于只是在观察者距离十米或百米之远的尺度上观察它。那么在观察者距离一公里或百公里之远的尺度上，情况会如何呢？在观察者距离一毫米或一微米之远的尺度上，情况又会怎样呢？
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设想从百公里之远的距离观察地面。我们可以看到它随着树木、山丘、建筑，以及某处一个停车场里的一辆甲壳虫汽车高低起伏。在那个尺度上，那个汽车表面只不过是其他众多起伏的其中之一，还是一个随机起伏。
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再设想越来越近距离地观察甲壳虫汽车，甚至用上放大镜和显微镜。一开始，随着圆乎乎的保险杠和发动机盖被挤出视野，其表面看上去变得越来越平滑。但然后，钢板的微观表面被证明本身是粗糙不平的，以一种看上去随机的方式起伏。一切似乎一团混乱。
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肖尔茨发现分形几何学提供了一种有效方式来描述地面的这种高低起伏，冶金学家也发现它同样适用于不同种类的金属的表面。比如，一种金属表面的分形维数就常常能够揭示该金属的强度。肖尔茨则考虑了一种典型地貌形态：崩落的岩块在山坡上堆积形成的倒石堆。从远处看，它是一个欧几里得形状，维数为 2。但随着地理学家靠近观察，他发现自己与其说是走在它上面，不如说是走在它里面——倒石堆分解成了一块块汽车大小的岩块。其实际维数变成了大约 2.7，因为这些岩块表面相互错落堆垒，几乎占据了一个三维空间，就像一块海绵的表面。
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这样的分形描述很快被发现可应用于与相互接触的表面相关的一系列问题上。比如，轮胎胎面与路面的接触问题。又比如，机械结合部或电极的接触问题。表面之间的接触具有一些与所涉及材料相当无关的性质。而这些性质最终被发现与表面的粗糙起伏的分形性质有关。由表面的分形几何学可以得出一个简单但意义重大的结论：相互接触的表面其实并不是处处接触的。这是因为在所有尺度上都存在起伏。即便在受到巨大压力作用的岩石中，在某个充分小的尺度上，它也会被发现存在孔隙，可供流体流动。在肖尔茨看来，这是一种矮胖子效应（“矮胖子，坐墙上，一不小心摔下来；所有人，所有马，怎么都凑不起来”）。这也说明了为什么摔碎的茶杯无法再拼凑起来，即便这些碎片在某个较大的尺度上看已经严丝合缝了。但在更小的尺度上，不规则的起伏仍然相互错开。
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肖尔茨成了自己领域中众所周知的少数积极吸纳分形技术的人之一。他知道自己的有些同行将这一小群人视为异类。如果在自己论文的标题中使用了“分形”的字眼，他觉得自己会被视为要么是值得称赞地跟上潮流，要么是不那么值得称赞地追赶时髦。他甚至在写作论文的时候也要面对困难的选择：是面向少数的分形热爱者，还是面向更广泛的地球物理学家（这时就还需要解释基础概念）？尽管如此，肖尔茨还是认为分形几何学的工具不可或缺。
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“这单个模型就能让我们处理广大变化范围内的地面维数，”他说道，“它给了你数学和几何学工具来进行描述和做出预测。一旦你克服了最初的障碍，理解了这个范式，你就可以开始测量事物，以一种新的方式思考事物。你看待它们的眼光将为之一新。你将具有一个新的视野。它与旧的视野完全不同——它要宽广得多。”27
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27肖尔茨。
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“它有多大？”“它持续了多久？”这些是科学家针对一样事物所能问的最基本的问题。它们对我们将世界概念化的方式而言如此基础，以至于我们不容易看出它们其实暗含着特定的偏好。它们暗示，大小和持续时间，这些其实取决于尺度的物理量，是本身有意义的物理量，是能够帮助描述或归类一个对象的物理量。当一位生物学家描述一个人，或一位物理学家描述一个夸克时，“多大”和“多久”确实是适当的问题。动物的基本生理结构使得它们与特定一个尺度密切相关。设想把一个人按比例放大到原来的两倍，你能想象得出，这个结构将由于承受不住自重而垮塌。尺度是重要的。
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地震行为的物理学则大体上是与尺度无关的。一个大地震只是一个小地震的放大版。这一点使得地震不同于，比如动物——一只十英寸的动物必定与一只一英寸的动物在结构上相当不同，而一只百英寸的动物也需要另一个不同的结构，以避免其骨架承受不住增加的体重而垮掉。然而，云彩则是像地震那样的标度现象。其典型的不规则性（可通过分形维数加以描述）不会随着观察尺度的变化而改变。这正是为什么飞机乘客常常无法分辨一块云彩的远近。要是不辅以诸如清晰与否等细节，一块二十英尺远的云彩与一块两千英尺远的云彩会是无法区分的。事实上，分析卫星图片可知，从数百英里之远外观察到云彩也具有一个不变的分形维数。
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我们终究难以破除从“多大”和“多久”的角度思考事物的习惯。但分形几何学所要声称的正是，对于某些自然现象，试图找寻其典型尺度反而是画蛇添足。比如，飓风。根据定义，它是一种达到特定规模的风暴。但这样的定义是人类强加给大自然的。在现实中，大气科学家逐渐开始意识到，大气中的扰动构成了一个连续统，从城市街角卷起的旋风到太空中可见的巨型气旋，不一而足。归类会误导人。连续统的两端其实与中段性质相同。
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事实上，流体流的方程组在许多情景中是无量纲的，也就是说，它们适用于不同的尺度。按比例缩小的机翼和船舶推进器可以在风洞和实验室水槽中加以测试。而在某些限度内，小风暴的行为与大风暴的相同。
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血管（从主动脉到毛细血管）则构成了另一种类型的连续统。它们不断产生分支，越变越细，最终狭窄到只容血细胞逐个通过。这种分支的性质是分形的。它们的结构与曼德尔布罗特在世纪之交时的数学家前辈所构想的其中一个怪异对象很相像。出于一种生理学上的必需，血管必须变一点儿维度魔术。就像科赫雪花将一条无穷长的曲线装进了一个有限面积的空间，血液循环系统也必须把一个庞大的表面积装进一个有限的体积。就身体的资源而言，血液是昂贵的，空间也非常稀缺。这个系统的分形结构运作得如此高效，使得在大多数组织中，没有哪个细胞距离最近的血管会超过三四个细胞之远。同时血管和血液又只占用了很少的空间，不超过身体的百分之五。按照曼德尔布罗特的说法，这是一种威尼斯商人综合征——不只是你无法割下一磅肉而不取走一滴血，你甚至无法割下哪怕一毫克肉而不取走一滴血。
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这样的精致结构（实际上，它包含两个相互交织的静脉树和动脉树）远非例外情况。身体中其实充斥着这样的复杂性。在消化道中，肠绒毛的褶皱中又存在褶皱。肺部也需要将尽可能最大的表面积装进最小的空间。一种动物吸收氧的能力大致与其肺部的表面积成正比。典型的人类肺部就拥有相当于一个网球场大小的表面积。此外，作为一个额外的要求，细支气管末端的肺泡还必须与动脉和静脉的毛细血管高效地配合在一起。
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每个学医的学生都知道，肺部被设计成了拥有一个巨大的表面积。但解剖学家长久以来被训练成一次只看一个尺度——比如，只看数以百万计的肺泡。解剖学的语言倾向于掩盖不同尺度上的那种统一性。分形方法则恰恰相反，通过生成它的分支过程，以及通过在从大到小的尺度上都始终如一的分支过程，从整体上把握这个结构。为了研究血液循环系统，解剖学家根据口径把血管归入了不同类别：动脉和小动脉、静脉和小静脉。对于有些目的来说，这样的归类被证明是有用的。但对于其他一些目的，它们则会误导人。教科书式的方法有时似乎在绕圈子：“在从一种类别的动脉逐渐过渡到另一种类别的过程中，这个中间区域有时很难被归类。有些中等口径动脉具有更大口径动脉的管壁，而有些大口径动脉又具有像这些中等口径动脉的管壁。这些过渡区域……常常被标记为混合类别的动脉。”28
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28William Bloom and Don W. Fawcett, A Textbook of Histology (Philadelphia: W. B. Saunders, 1975).
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