1700955800
21Fractal Geometry, p. 131, and“On Fractal Geometry,”p. 1663.
1700955801
1700955802
心智终究无法想象出这种复杂性的无穷无尽之层层嵌套。但对于一个能够以几何学家的方式思考形式的人来说，这种相同的结构在越来越精细的尺度上的重复出现可以打开一个新天地。探索这些形状、不断深入它们的种种可能性，对曼德尔布罗特来说就仿佛是一种游戏，看到前人所未见或未理解的变体给他带来了孩童般的快乐。当这些变体还没有名字时，他给它们命了名：绳和片、海绵和泡沫、花菜和垫片。
1700955803
1700955804
分数维数被证明正是那个对的标尺。在某种意义上，不规则的程度对应于一个对象占用空间的效率。一条简单的、欧氏的、一维的线根本没有占用空间。但科赫雪花的轮廓，由于其无穷的长度挤在有限的区域里，确实占用了空间。它已不再是一条线，但还不能算是一个面。它大于一维，但又小于二维。利用一些由 20 世纪早期科学家 22 发明但后来被遗忘的技术，曼德尔布罗特可以精确算出分数维数。比如，对于科赫雪花，由于其长度以三分之四的倍数无限增加，由此可得到一个 1.2618 的维数。
1700955805
1700955806
22费利克斯·豪斯多夫和阿布拉姆·萨莫伊洛维奇·贝西科维奇。
1700955807
1700955808
相较于为数不多的思考过这些形状的前辈数学家，曼德尔布罗特在继续探索时拥有两个巨大优势。其一是他能够借助 IBM 所拥有的计算资源。这是另一个完美适合计算机的“傻”快的任务。就像气象学家需要重复对大气中成百上千万的相邻点进行相同的少量计算，曼德尔布罗特需要一而再，再而三地进行一个程序简单的变换。人的聪明巧思构想出了这些变换。计算机则把它们画了出来——有时候，结果还出人意料。20 世纪早期的数学家当初很快就遇到了一个难以再计算下去的障碍，就像没有显微镜可用的早期生物学先驱所面对的。在不断深入检视一个具有越来越精细的细节的宇宙时，想象力只能帮你到这么远。
1700955809
1700955810
用曼德尔布罗特自己的话来说：“曾经有一段长达一百年的中断期，其间，绘图不再在数学中扮演任何角色，因为铅笔和尺子被认为已经被穷尽了。它们已经得到透彻理解，不再属于重要课题。而那时计算机还不存在。
1700955811
1700955812
1700955813
1700955814
1700955815
©Benoit Mandelbrot
1700955816
1700955817
利用孔洞构造
1700955818
1700955819
通过增加或移除无穷多部分的技术，一些 20 世纪早期的数学家构想出了许多看上去不自然的对象。其中之一是谢尔平斯基地毯：移除一个正方形的中间九分之一，然后分别移除剩下的八个小正方形的中间九分之一，如此不断继续。其三维类比是门格海绵，一个看上去像实心的、具有无穷大表面积以及零体积的晶格。
1700955820
1700955821
“在我加入这个游戏的时候，它当中完全缺乏直觉。而直觉的培养只能从头做起。由常规工具（铅笔和尺子）训练出来的直觉认为这些形状相当不自然和病态。但旧的直觉是在误导人。第一批图片让我大吃一惊，然后我会认出有些图片与之前的很像，如此等等。
1700955822
1700955823
“直觉不是一种给定不变的东西。我已经将我的直觉训练成会将那些一开始被斥为荒诞不经的形状视为显而易见的，并且我发现其他人也能做到如此。”23
1700955824
1700955825
23曼德尔布罗特。
1700955826
1700955827
曼德尔布罗特的另一个优势在于他在处理棉花价格、信号传输噪声、河流水位等问题时逐渐成形的关于现实的图景。这个图景现在正在变得越来越明晰。他对于自然过程中的不规则模式的研究与他对于无穷复杂的形状的探索有着一个思想上的交点：一种自相似性的性质。毕竟，分形意味着自相似性。
1700955828
1700955829
自相似性是在不同尺度上的对称性。它意味着递归，模式之中的模式。曼德尔布罗特的价格变动图和水位变动图表现出自相似性，因为它们不仅在越来越精细的尺度上生成细节，它们也以特定常数生成细节。像科赫曲线这样的不自然形状之所以表现出自相似性，是因为它们在即便被放大很多倍后依然看上去一模一样。这种自相似性源自构造这些曲线的技术——相同的变换被应用到越来越小的尺度上。自相似性是一种很容易识别的性质。其图像在文化中无处不在：在一个人站到两面镜子之间时所形成的无穷尽镜像中，或者在大鱼吃小鱼、小鱼吃小小鱼、以大吃小无穷尽的动画创意中。曼德尔布罗特就喜欢引用乔纳森·斯威夫特的诗句：“所以博物学家观察到，一只跳蚤有更小的跳蚤当佳肴；而它们又有更小的可享用，如此这般，直至无穷。”
1700955830
1700955831
在美国东北部，研究地震的最好去处是拉蒙特–多尔蒂地质观测所，这是一组隐身在南纽约州的森林之中、就位于哈德逊河西岸的不起眼建筑。24 正是在拉蒙特–多尔蒂，克里斯托弗·肖尔茨，这位专门研究地壳的形式和结构的哥伦比亚大学教授，开始了他对分形的思考。
1700955832
1700955833
24肖尔茨；C. H. Scholz and C. A. Aviles,“The Fractal Geometry of Faults and Faulting,”preprint, Lamont - Doherty Geological Observatory; C.H. Scholz,“Scaling Laws for Large Earthquakes,” Bulletin of the Seismological Society of America 72 (1982), pp. 1–14.
1700955834
1700955835
当数学家和理论物理学家还在无视曼德尔布罗特的工作时，肖尔茨却属于那样一类实用主义的科学从业者，非常愿意吸纳分形几何学所提供的工具。他早在 20 世纪 60 年代就偶然听说过曼德尔布罗特的名字，当时曼德尔布罗特正在研究经济学，而肖尔茨在 MIT 攻读研究生，正在花费大量时间研究一个与地震相关的难题。在此前的二十多年间，人们逐渐意识到，大小地震的时空分布遵循一个特定的数学模式，而它正好与看起来决定了一个自由市场中的收入分布的标度模式相同。在地球上的任何地方，只要那里地震的频率和烈度得到观测，都可以观察到这个模式。而考虑到通常地震的发生是多么不规则和不可预测的，这里无疑值得深究到底是何种物理过程可能导致了这种规则性。至少在肖尔茨看来如此。大多数地震学家长久以来满足于发现了这个事实，然后就转向别的了。
1700955836
1700955837
肖尔茨一直记得曼德尔布罗特的名字，在 1978 年，他购入了一本满是插图和公式、知识异常丰富的图书，题为《分形对象：形、机遇和维数》。曼德尔布罗特仿佛把自己所知道或猜测的关于我们宇宙的一切都放进了这本大杂烩中。在短短几年时间里，这本书及其增订版《大自然的分形几何学》的销量就超过了任何其他高等数学图书。它的风格深奥难解、让人沮丧，时而睿智，时而文学化，时而又晦涩难懂。曼德尔布罗特自己称它为“一部宣言和一本案例手册”。25
1700955838
1700955839
25Fractal Geometry, p. 24.
1700955840
1700955841
就像少数其他领域的一些难兄难弟，特别是研究自然现象的科学家，肖尔茨也花了多年时间试图弄明白该如何利用这本书。这远非显而易见。《分形对象》，按照肖尔茨的说法，“不是一本指南，而是一部天书”。26 不过，肖尔茨碰巧关注的是表面，而表面在这本书中到处可见。他发现自己无法不去思考曼德尔布罗特的思想所蕴含的潜力。他开始致力于找寻一种方式，利用分形来描述、分类和测量自己研究领域里的各种对象。
1700955842
1700955843
26肖尔茨。
1700955844
1700955845
他很快意识到自己不是一个人在战斗，虽然还要等上多年，分形学术会议和研讨会才会开始多起来。分形几何学的这一统合思想将那些原本认为自己的发现不过是些偏离常规的个案，以及那些一直苦于没有系统性方式来理解它们的科学家召集到了一起。分形几何学的洞见也为那些研究事物如何分与合、如何破裂的科学家提供了帮助。它是一种看待物质的方法——不论是微观上参差不齐的金属表面、多孔的含油岩石的微小孔隙，还是一个地震带上的破碎地形。
1700955846
1700955847
在肖尔茨看来，描述地球表面（地面与平坦的海面相交之处就是海岸线）是地球物理学家的职责之一。而在地壳中还有另一种类型的表面——裂缝的表面。断层面和破碎带在地壳结构中占据主导，因而它们是任何好的描述的关键，可以说，比它们所穿过的介质都更为重要。破碎带在三个维度上裂解地壳，形成肖尔茨所称的“脆裂层”。它们控制着流体在地下的流动——不论是水流、石油流，还是天然气流。它们也控制着地震行为。理解这些表面非常重要，但肖尔茨认为自己的职业正处于一个窘境。老实说，他没有一个框架可用。
1700955848
1700955849
地球物理学家看待表面的方式与其他人的相同，即将之视为形状。一个表面可能是平坦的。或者它可能有着一个特定形状。比如，你可以观察一辆大众甲壳虫汽车的轮廓，然后将那个表面画成一条曲线。那条曲线将像在欧氏几何中那样可以测量。你可以用一个方程来拟合它。但在肖尔茨的描述中，你只是透过一个狭窄的波段来观测那个表面。你就像是透过一个红色滤光镜来观察世界——你能够看到在那个特定波长上的东西，却错过了在可见光的其他波长上的一切，更别说发生在红外线或无线电波的广大谱段上的活动了。在这个类比中，光谱对应于尺度。借助欧几里得形状来考虑一辆甲壳虫汽车的表面，就相当于只是在观察者距离十米或百米之远的尺度上观察它。那么在观察者距离一公里或百公里之远的尺度上，情况会如何呢？在观察者距离一毫米或一微米之远的尺度上，情况又会怎样呢？