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这是一个正当的质疑。如果一位科学家宣布某件事情很有可能是真的，然后另一位科学家严格证明了它，那么谁对推动科学出力更多？做出一个猜想是一种发现行为吗？又或者它只是一种冷血的抢功劳行为？数学家长久以来一直面临着这样一些问题，但随着计算机开始扮演它们的新角色，这个争论变得愈发激烈。那些利用计算机做实验的人变得越来越像实验科学家，他们遵从一些规则进行计算，这些规则可以让人做出发现而不必经由通常的定理证明——标准数学论文中的那种定理证明。
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曼德尔布罗特的书话题广泛，并充斥着数学史的细枝末节。不论混沌把我们引领到哪里，曼德尔布罗特都有某种底气声称他早已首先涉足那里。大多数读者发现他的引用不为人知或甚至全无用处，但这已经无关紧要。他们不得不承认，他的非凡直觉为许多他之前从未实际研究过的领域（从地震学到生理学）指明了前进的方向。这一点有时让人觉得不可思议，有时也令人气恼。甚至他的一位崇拜者也不免愤愤不平：“曼德尔布罗特并没有在大家想到之前就想到他们所想到的。”38
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38里希特。
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这其实也不要紧。毕竟天才并不总是需要面带一副爱因斯坦般的温和面容。但在过去几十年里，曼德尔布罗特后来回想起来，他一直不得不小心经营自己的工作。他不得不将自己的原创性思想以不会冒犯人的方式说出。他不得不删除听上去富有远见的前言，以便使自己的文章得到发表。当他写作《分形对象》的第一版（法语版，出版于 1975 年）时，他感到自己被迫假装它并没有包含任何太过惊人的东西。这也是为什么他现在明白声称，要将该书最新一版写成“一部宣言和一本案例手册”。他一直都在处理科学的政治。
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“这种政治影响了我的行文风格，并且是以我后来觉得后悔的方式。我过去常说，‘自然而然有……可以得到一个有趣的观察……’。但事实上，它们根本不是自然而然得到的，有趣的观察实际上是长期研究、苦心证明和自我批评的结果。这种哲学的、轻描淡写的态度，是我觉得为了让我的思想得到接受所必需的。这里的政治是，要是我说我将要提出一个完全不同以往的理论，那么读者就没有兴趣继续看下去了。
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“后来，我看到人们也这样说，‘自然而然可以观察到……’，但这并不是我当初所期望的。”39
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39曼德尔布罗特。
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回望过去，曼德尔布罗特看到，不同领域的科学家对于他所提出的方法的反应几乎如出一辙，都落入可预测的几个阶段。第一个阶段总是相同的：你是谁啊？你为什么对我们的领域感兴趣？第二个阶段：这又跟我们一直在做的有什么关系？你为什么不用我们听得懂的话来解释一下？第三个阶段：你确定这是标准数学吗？（是的，我确定。）那么为什么我们都没有听说过它？（因为它是非常不为人知的标准数学。）
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在这一点上，数学不同于物理学及其他应用科学。一旦物理学的一个分支变得落伍或没用，它就有可能永远成为过去的一部分。它可能变成一件历史珍玩，偶尔成为一位现代科学家的某种灵感的来源，但已被废弃的物理学通常都是出于充分的理由而被废弃。相反，数学中则满是这样的通道和小路，它们在一个时期看上去不知通向何处，在另一个时期却成为重要的研究方向。某个纯数学思想的潜在应用是永远无法预测的。这正是为什么数学家倾向于从一个审美的角度评估工作的价值，追求优雅和美，就像艺术家一样。这也是为什么曼德尔布罗特在历史的故纸堆中搜寻时，会邂逅这么多优秀的数学家，并很容易地就能从他们那里汲取养分。
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因此，第四个阶段：这些数学分支里的人们又是如何看待你的工作的？（他们并不关心，因为它在数学上并没有新意。事实上，他们只是感到吃惊，自己的思想竟然能被用来描述大自然。）
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最终，“分形”一词成了一种描述、计算和思考那些曲折破碎的不规则形状（下至雪花晶体，上至宇宙尘颗粒的形状）的方式的代名词。说一个形状是分形的，就意味着在这个形状惊人复杂的变化中隐藏着一种组织结构。连高中生都能够理解分形，并摆弄它们；它们就如同欧氏几何那般基础。生成分形图案的简单计算机程序也在个人计算机爱好者之间得到广泛流传。
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曼德尔布罗特发现自己在研究石油、岩石或金属的应用科学家当中受到了最热情的欢迎，尤其是那些工作于企业的研究中心的科学家。到了 20 世纪 80 年代中期，比如来自美国埃克森公司庞大研究机构的众多科学家就致力于研究分形问题。40 在美国通用电气公司，分形成为研究聚合物以及（尽管此项工作是秘密进行的）核反应堆安全保障问题的一个重要原理。而在好莱坞，分形找到了其最不寻常的应用，被用于电影特效，打造出了极其逼真的地球或外星景观。
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40克拉夫特。
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罗伯特·梅和詹姆斯·约克等人在 20 世纪 70 年代初发现的那些模式（它们在有序行为与混沌行为的边界上有着复杂变化），后来被发现其实也有着未被察觉的、只能通过大小尺度之间的关系加以描述的规则性。这些用于理解非线性动力学的关键结构被证明是分形的。而在最实际的应用层次，分形几何学也提供了一套工具，并为物理学家、化学家、地震学家、冶金学家、概率学家和生理学家等所采用。这些研究者自己信服，并试图说服其他人也信服，曼德尔布罗特的新几何学正是大自然自己的几何学。
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这些研究者也对正统数学和物理学产生了毋庸置疑的影响，但曼德尔布罗特本人终究未能从这些圈子得到完全的尊重。尽管如此，他们还是不得不承认他。一位数学家曾这样告诉自己的朋友，他有天晚上从噩梦中醒来，醒后仍是惊魂未定。41 在梦中，这位数学家去世了，然后他突然听到毫无疑问是上帝的声音。“你看，”他说道，“它怎么听都是曼德尔布罗特的声音。”
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41休伯曼转述。
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自相似性的概念呼应了我们文化中的一些思想脉络。西方思想史中的一个古老传统便与这个想法相契合。莱布尼茨曾经想象，一滴水里蕴含了一整个宇宙，后者反过来蕴含了更多的水滴以及蕴含其中的新宇宙。“在一粒沙中看到一个世界。”布莱克曾经如是说，而科学家也曾经常常倾向于如此看待事物。当精子被首次发现时，它们每个都被视为一个“小人”（homunculus）——一个微小但完全成形的人。
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但作为一个科学原理的自相似性后来逐渐凋萎，并且出于一个很好的理由：它不符合事实。精子不是简单的缩小版的人（它们要比那更有意思得多），而个体发生也要比简单放大更有意思得多。作为一个组织原理的自相似性，其早期理解源自人类对于尺度的经验的种种局限性。在当时，要想想象非常大和非常小、非常快和非常慢，除了对已知的事物加以延伸，还有别的办法吗？
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这个迷思随着人类的视力经由望远镜和显微镜得以扩展而彻底消亡。人们第一次意识到，尺度的每个变换都会揭示出新的现象和新类型的行为。对于现代粒子物理学家来说，这个过程一直没有结束。每部新的加速器（连同其新的最大能级和最大速度）都扩展了科学的视野，深入了更微小的粒子以及更短暂的时间尺度，因而每次扩展似乎都带来了新的信息。
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乍看之下，认为在新尺度上将一切如旧的想法似乎只会给出更少的信息。人们之所以会这样想，部分是因为科学中的另一个趋势，即趋向于还原论。科学家将事物一层层打破，不断深入其构成，并且一次只审视一层。如果他们想要考察亚原子粒子的相互作用，那么他们会同时审视两或三层。这已经足够复杂了。然而，自相似性的威力要在更高得多的复杂程度上才开始施展。它要求审视整体。
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尽管曼德尔布罗特后来从几何学的角度对它进行了最为广泛的应用，但标度思想在 20 世纪 60 年代和 70 年代的回归已经掀起一股思潮，影响同时波及许多地方。自相似性的思想暗含在爱德华·洛伦茨的工作中。它是他的直觉理解的一部分，尤其是对于他的方程组所给出的图像的精细结构（这种结构他可以隐约感觉到，但直到 1963 年才能在计算机上最终看到）。标度也成为一场物理学运动的一部分，而这场运动比曼德尔布罗特的工作更直接地推动了混沌这门学科的诞生。即便在一些关系较远的领域中，科学家也开始从尺度层级的角度来思考自己的理论；比如在演化生物学中，很明显一个完整的理论将需要同时涵盖在基因、生物体个体、物种，以及群落等不同尺度上的发生和演化。
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或许不无悖论的是，对于标度现象的重新发现必须从当初朴素的自相似性概念摔倒的地方重新爬起来，也就是说，它得益于相同的那种人类视力的扩展。到了 20 世纪后期，通过种种之前想象不到的方式，难以理解之小和不可思议之大的事物的图像逐渐成为每个人经验的一部分。我们的文化目睹了原子和星系的照片。人们不再需要像莱布尼茨那样，只能想象着宇宙在显微镜或望远镜尺度上是怎样的——显微镜和望远镜已经使得这些图像成为日常经验的一部分。而鉴于我们的心智总是渴望找出不同经验之间的相似之处，不可避免地，人们会开始进行新一类的比较，比较大小不同的尺度——并且其中有些比较是富有成果的。
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那些为分形几何学所吸引的科学家常常感到，在自己新的数学审美与 20 世纪下半叶艺术风尚的变化之间存在着某些情感上的类比。他们感到自己也在从更大范围的文化领域当中汲取某种内在热情。在曼德尔布罗特看来，在数学之外，欧几里得审美的另一个典范是包豪斯建筑。或者，以约瑟夫·阿尔贝斯的方色块为代表的绘画风格：方块的、有序的、线性的、极简的、几何式的。“几何式的”——这个词意指它数千年来所意指的。被称为几何式的建筑由简单形状、直线和圆形所构成，可通过少许数据就加以描述。几何式建筑和绘画的风尚来了又走。后来的建筑师不再想要设计像纽约的施格兰大厦那样归整单调的摩天大楼，尽管它曾经备受推崇和屡遭效仿。而在曼德尔布罗特及其追随者看来，这个中原因也很清楚。简单形状是不合人性的。它们既不合大自然组织自己的方式，也不合人类感知世界的方式。借用格特·艾伦贝格尔（这位德国物理学家原来研究超导现象，后来转向非线性科学）的说法：“为什么在冬日黄昏的映衬下，一棵随风摇摆的光秃秃树木的剪影被认为是美的，但在同样情况下，任何大学多功能楼的剪影则不被认为是美的，而不论建筑师的设计如何巧心？在我看来，尽管可能有点大胆猜测，这里的答案与来自动力系统的新洞见有关。我们对于美的感知受到了自然现象中，比如云彩、树木、山脉或雪花中有序与无序的和谐排布的启发。所有这些形状反映的是一些凝结成实体的动力学过程，并且每个都反映出特定的有序与无序的组合。”42
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42Gert Eilenberger,“Freedom, Science, and Aesthetics,”in The Beauty of Fractals: Images of Complex Dynamical Systems, eds. H. - O. Peitgen and P.H. Richter (Berlin: Springer, 1986), p. 179.
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一个几何形状终究有一个尺度，即一个特征长度。而在曼德尔布罗特看来，真正给人满足的艺术是缺乏尺度的，也就是说，它在所有尺度上都包含一些重要元素。作为施格兰大厦的对比，他所举的例子是 19 世纪下半叶的学院派建筑。一座像巴黎歌剧院这样的学院派建筑典范没有尺度，因为它有每个尺度。一位观察者无论从哪个距离观看，总会被某些细节所吸引，不论是其雕塑和滴水兽、其墙角石和边框石、其漩涡花饰，还是其上为檐沟、下饰齿状的檐口。随着他逐渐接近这座建筑，其细节的组合会不断改变，新的结构元素也会不断冒出来。
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