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在这一点上，数学不同于物理学及其他应用科学。一旦物理学的一个分支变得落伍或没用，它就有可能永远成为过去的一部分。它可能变成一件历史珍玩，偶尔成为一位现代科学家的某种灵感的来源，但已被废弃的物理学通常都是出于充分的理由而被废弃。相反，数学中则满是这样的通道和小路，它们在一个时期看上去不知通向何处，在另一个时期却成为重要的研究方向。某个纯数学思想的潜在应用是永远无法预测的。这正是为什么数学家倾向于从一个审美的角度评估工作的价值，追求优雅和美，就像艺术家一样。这也是为什么曼德尔布罗特在历史的故纸堆中搜寻时，会邂逅这么多优秀的数学家，并很容易地就能从他们那里汲取养分。
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因此，第四个阶段：这些数学分支里的人们又是如何看待你的工作的？（他们并不关心，因为它在数学上并没有新意。事实上，他们只是感到吃惊，自己的思想竟然能被用来描述大自然。）
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最终，“分形”一词成了一种描述、计算和思考那些曲折破碎的不规则形状（下至雪花晶体，上至宇宙尘颗粒的形状）的方式的代名词。说一个形状是分形的，就意味着在这个形状惊人复杂的变化中隐藏着一种组织结构。连高中生都能够理解分形，并摆弄它们；它们就如同欧氏几何那般基础。生成分形图案的简单计算机程序也在个人计算机爱好者之间得到广泛流传。
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曼德尔布罗特发现自己在研究石油、岩石或金属的应用科学家当中受到了最热情的欢迎，尤其是那些工作于企业的研究中心的科学家。到了 20 世纪 80 年代中期，比如来自美国埃克森公司庞大研究机构的众多科学家就致力于研究分形问题。40 在美国通用电气公司，分形成为研究聚合物以及（尽管此项工作是秘密进行的）核反应堆安全保障问题的一个重要原理。而在好莱坞，分形找到了其最不寻常的应用，被用于电影特效，打造出了极其逼真的地球或外星景观。
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40克拉夫特。
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罗伯特·梅和詹姆斯·约克等人在 20 世纪 70 年代初发现的那些模式（它们在有序行为与混沌行为的边界上有着复杂变化），后来被发现其实也有着未被察觉的、只能通过大小尺度之间的关系加以描述的规则性。这些用于理解非线性动力学的关键结构被证明是分形的。而在最实际的应用层次，分形几何学也提供了一套工具，并为物理学家、化学家、地震学家、冶金学家、概率学家和生理学家等所采用。这些研究者自己信服，并试图说服其他人也信服，曼德尔布罗特的新几何学正是大自然自己的几何学。
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这些研究者也对正统数学和物理学产生了毋庸置疑的影响，但曼德尔布罗特本人终究未能从这些圈子得到完全的尊重。尽管如此，他们还是不得不承认他。一位数学家曾这样告诉自己的朋友，他有天晚上从噩梦中醒来，醒后仍是惊魂未定。41 在梦中，这位数学家去世了，然后他突然听到毫无疑问是上帝的声音。“你看，”他说道，“它怎么听都是曼德尔布罗特的声音。”
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41休伯曼转述。
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自相似性的概念呼应了我们文化中的一些思想脉络。西方思想史中的一个古老传统便与这个想法相契合。莱布尼茨曾经想象，一滴水里蕴含了一整个宇宙，后者反过来蕴含了更多的水滴以及蕴含其中的新宇宙。“在一粒沙中看到一个世界。”布莱克曾经如是说，而科学家也曾经常常倾向于如此看待事物。当精子被首次发现时，它们每个都被视为一个“小人”（homunculus）——一个微小但完全成形的人。
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但作为一个科学原理的自相似性后来逐渐凋萎，并且出于一个很好的理由：它不符合事实。精子不是简单的缩小版的人（它们要比那更有意思得多），而个体发生也要比简单放大更有意思得多。作为一个组织原理的自相似性，其早期理解源自人类对于尺度的经验的种种局限性。在当时，要想想象非常大和非常小、非常快和非常慢，除了对已知的事物加以延伸，还有别的办法吗？
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这个迷思随着人类的视力经由望远镜和显微镜得以扩展而彻底消亡。人们第一次意识到，尺度的每个变换都会揭示出新的现象和新类型的行为。对于现代粒子物理学家来说，这个过程一直没有结束。每部新的加速器（连同其新的最大能级和最大速度）都扩展了科学的视野，深入了更微小的粒子以及更短暂的时间尺度，因而每次扩展似乎都带来了新的信息。
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乍看之下，认为在新尺度上将一切如旧的想法似乎只会给出更少的信息。人们之所以会这样想，部分是因为科学中的另一个趋势，即趋向于还原论。科学家将事物一层层打破，不断深入其构成，并且一次只审视一层。如果他们想要考察亚原子粒子的相互作用，那么他们会同时审视两或三层。这已经足够复杂了。然而，自相似性的威力要在更高得多的复杂程度上才开始施展。它要求审视整体。
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尽管曼德尔布罗特后来从几何学的角度对它进行了最为广泛的应用，但标度思想在 20 世纪 60 年代和 70 年代的回归已经掀起一股思潮，影响同时波及许多地方。自相似性的思想暗含在爱德华·洛伦茨的工作中。它是他的直觉理解的一部分，尤其是对于他的方程组所给出的图像的精细结构（这种结构他可以隐约感觉到，但直到 1963 年才能在计算机上最终看到）。标度也成为一场物理学运动的一部分，而这场运动比曼德尔布罗特的工作更直接地推动了混沌这门学科的诞生。即便在一些关系较远的领域中，科学家也开始从尺度层级的角度来思考自己的理论；比如在演化生物学中，很明显一个完整的理论将需要同时涵盖在基因、生物体个体、物种，以及群落等不同尺度上的发生和演化。
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或许不无悖论的是，对于标度现象的重新发现必须从当初朴素的自相似性概念摔倒的地方重新爬起来，也就是说，它得益于相同的那种人类视力的扩展。到了 20 世纪后期，通过种种之前想象不到的方式，难以理解之小和不可思议之大的事物的图像逐渐成为每个人经验的一部分。我们的文化目睹了原子和星系的照片。人们不再需要像莱布尼茨那样，只能想象着宇宙在显微镜或望远镜尺度上是怎样的——显微镜和望远镜已经使得这些图像成为日常经验的一部分。而鉴于我们的心智总是渴望找出不同经验之间的相似之处，不可避免地，人们会开始进行新一类的比较，比较大小不同的尺度——并且其中有些比较是富有成果的。
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那些为分形几何学所吸引的科学家常常感到，在自己新的数学审美与 20 世纪下半叶艺术风尚的变化之间存在着某些情感上的类比。他们感到自己也在从更大范围的文化领域当中汲取某种内在热情。在曼德尔布罗特看来，在数学之外，欧几里得审美的另一个典范是包豪斯建筑。或者，以约瑟夫·阿尔贝斯的方色块为代表的绘画风格：方块的、有序的、线性的、极简的、几何式的。“几何式的”——这个词意指它数千年来所意指的。被称为几何式的建筑由简单形状、直线和圆形所构成，可通过少许数据就加以描述。几何式建筑和绘画的风尚来了又走。后来的建筑师不再想要设计像纽约的施格兰大厦那样归整单调的摩天大楼，尽管它曾经备受推崇和屡遭效仿。而在曼德尔布罗特及其追随者看来，这个中原因也很清楚。简单形状是不合人性的。它们既不合大自然组织自己的方式，也不合人类感知世界的方式。借用格特·艾伦贝格尔（这位德国物理学家原来研究超导现象，后来转向非线性科学）的说法：“为什么在冬日黄昏的映衬下，一棵随风摇摆的光秃秃树木的剪影被认为是美的，但在同样情况下，任何大学多功能楼的剪影则不被认为是美的，而不论建筑师的设计如何巧心？在我看来，尽管可能有点大胆猜测，这里的答案与来自动力系统的新洞见有关。我们对于美的感知受到了自然现象中，比如云彩、树木、山脉或雪花中有序与无序的和谐排布的启发。所有这些形状反映的是一些凝结成实体的动力学过程，并且每个都反映出特定的有序与无序的组合。”42
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42Gert Eilenberger,“Freedom, Science, and Aesthetics,”in The Beauty of Fractals: Images of Complex Dynamical Systems, eds. H. - O. Peitgen and P.H. Richter (Berlin: Springer, 1986), p. 179.
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一个几何形状终究有一个尺度，即一个特征长度。而在曼德尔布罗特看来，真正给人满足的艺术是缺乏尺度的，也就是说，它在所有尺度上都包含一些重要元素。作为施格兰大厦的对比，他所举的例子是 19 世纪下半叶的学院派建筑。一座像巴黎歌剧院这样的学院派建筑典范没有尺度，因为它有每个尺度。一位观察者无论从哪个距离观看，总会被某些细节所吸引，不论是其雕塑和滴水兽、其墙角石和边框石、其漩涡花饰，还是其上为檐沟、下饰齿状的檐口。随着他逐渐接近这座建筑，其细节的组合会不断改变，新的结构元素也会不断冒出来。
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欣赏某座建筑的和谐结构是一回事，欣赏大自然的野性则是完全另一回事。就审美价值而言，分形几何学的新数学让硬科学呼应了一种尤其现代的感受，即人们对于未被染指、未被开发、未被征服的自然的渴望。雨林、沙漠、荒原和劣地曾经代表了社会在试图改天换地时所要征服的典型事物。如果人们想从植物身上获得审美满足，他们首先想到的是花园。正如约翰·福尔斯在讲到 18 世纪的英格兰时所写的：“这个时期对于未受人控制或原始的自然没有丝毫同情。它是十足的荒芜，是一个丑陋的、怎么也躲避不开的提醒，让人回想起人类的堕落，回想起人类被逐出伊甸园。……甚至那时的自然科学……也对野生的自然从骨子里持敌视的态度，将它视为只是某种有待征服、分类、改造和利用的东西。”43 但到了 20 世纪末，我们的文化已经改变，而科学现在也随之发生改变。
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43John Fowles, A Maggot (Boston: Little Brown, 1985), p. 11.
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所以，科学发现了康托尔集和科赫雪花的这些表亲的新的用武之地。先前，这些奇形怪状可以作为呈堂证据，被递交给世纪之交时数学与物理学的“离婚庭审”，以结束自牛顿以来一直是科学主旋律的这场联姻。像康托尔和科赫这样的数学家一直自负于自己的原创性。他们认为自己比大自然更聪明——尽管实际上，他们对于大自然的创造望尘莫及。物理学的主流也在很早以前就将视线从日常经验的世界上移开。只是在后来，在斯蒂芬·斯梅尔让数学家重新开始关注动力系统之后，某位物理学家才能够说：“我们要感谢天文学家和数学家，当他们将这个领域交给我们物理学家的时候，其状况要比我们在七十年前交到他们手上时好上太多。”44
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44Robert H. G. Helleman,“Self - Generated Behavior in Nonlinear Mechanics,”in Fundamental Problems in Statistical Mechanics 5, ed. E. G. D. Cohen (Amsterdam: North - Holland, 1980), p. 165.
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不过，尽管有斯梅尔，尽管有曼德尔布罗特，开创混沌这门新科学终究还是要靠物理学家。曼德尔布罗特提供了一种必不可少的语言，以及一系列出人意料的关于大自然的图案。但正如曼德尔布罗特所承认的，他的几何学更擅长描述，而非解释。他可以算出诸多自然元素，比如海岸线、河网、树皮、星系等的分形维数，并且科学家也可以利用这些数值做出预测。但物理学家想要知道更多。45 他们想要知道为什么。大自然中还有许多型相（不是可见的形式，而是隐藏在运动的机理当中的形状）有待揭示。
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45比如，利奥·卡达诺夫就追问“分形的物理学在哪里”（Physics Today, February 1986, p. 6），并随后自己给出了一个新的“多分形”思路（Physics Today, April 1986, p. 17），引发了曼德尔布罗特的一个强调自己发现在先的典型回应（Physics Today, September 1986, p. 11）。曼德尔布罗特写道，卡达诺夫的理论“让我充满了一名父亲的自豪——很快又要成为一名祖父？”。
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