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吕埃勒之前没有处理流体流的经验，但就像他的许多最终败下阵来的前辈，他也没有因为这一点而却步。“非专业领域的研究者总能发现一些新东西，”他这样说道，“目前还没有一个关于湍流的深层的、合乎自然的理论。而你所能问的关于湍流的所有问题都多少涉及湍流的一般性质，因而非专业领域的研究者也可以加入。”14 我们很容易看出来为什么湍流难以处理。流体流的方程组是非线性偏微分方程组，除了在一些特殊情况下，一般是不可解的。尽管如此，吕埃勒还是找出了一个替代朗道图景的抽象方案，其中借用了斯梅尔的语言，并将空间想象成一种柔软的物质，可被压缩、拉伸和折叠成像马蹄那样的形状。他与正在访问 IHES 的荷兰数学家弗洛里斯·塔肯斯合写了一篇论文，并在 1971 年发表。15 论文的风格再明显不过是数学化的，（物理学家们，可要小心！）也就是说，一些段落会开宗明义标明这一段是“定义”“命题”或“证明”，然后紧跟着论述的要点：“设……”
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14吕埃勒。
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15“On the Nature of Turbulence.”
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命题（5.2） 设 是一个定义于希尔伯特空间 上的 向量场的单参数族，使得……
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但论文的标题声言了自己与现实世界的联系：《论湍流本质》，一个对朗道的著名标题《论湍流问题》的有意呼应。因此，吕埃勒和塔肯斯的讨论不限于数学；他们明显旨在提出一个新理论，以取代湍流发生的传统观点。他们提出，只需要三个相互独立的运动就可以生成湍流的全部复杂性，而不需要逐个堆叠频率，直至用到无穷多个相互独立、相互叠加的运动。就数学而言，他们的有些逻辑后来被证明是难懂的、错误的、借鉴他人的，或者三者兼有——十五年后，人们对此仍然意见不一。16
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16他们很快发现，自己的有些思想早已见于苏联的文献；“另一方面，我们对于湍流的数学诠释看上去仍然是我们应该对它负全责的。”他们这样强调道。“Note Concerning Our Paper ‘On the Nature of Turbulence,’”Communications in Mathematical Physics 23 (1971), pp. 343–344.
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但他们的洞见、评论、注释以及这篇论文所结合的物理学使得它成为一篇影响深远的杰作。而其中最吸引人的莫过于一个被两位合作者称为“奇怪吸引子”的概念。这个说法具有某种精神分析上的“暗示性”，吕埃勒后来这样感觉到。17 而它在混沌研究中的地位，使得他和塔肯斯在友好的表面下不免暗暗较劲，竞争该说法提出者的荣誉。真相是，两个人都记得不太真切，但塔肯斯，这位身材高大、肤色通红的典型北欧人，可能会说：“你会问上帝是否是他创造了这个该死的世界吗？……我记不得了。……我常常创造却不记得它们。”18 而吕埃勒，这位论文合作者中的年长者，则会轻描淡写地说：“当时碰巧塔肯斯在 IHES 访问。不同的人有不同的工作方式。有些人会尝试独自撰写论文，这样他自己就可以占有所有功劳。”19
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17吕埃勒。
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18“Strange Attractors,”p. 131.
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19吕埃勒。
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奇怪吸引子存在于相空间，而后者是现代科学最威力强大的发明之一。相空间给出了一个手段来将数值作成图，从而从一个（不论是机械的，还是流体的）运动系统中抽象出每一点信息，并生成一幅揭示其所有可能走向的灵活的路线图。物理学家已经见过两种较简单的“吸引子”：定点和极限环，它们分别代表系统最后达到一个定态或最终不断重复自己。
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在相空间中，关于一个动力系统在某一瞬间的状态的所有知识浓缩成了一个点。这个点就是那个动力系统——但只是在那一瞬间的。在下一瞬间，系统会发生改变（哪怕是微小的改变），点也因而会随之移动。该系统历时变化的整个历史就可以通过这个运动的点画出来，也就是它在相空间中随时间移动所形成的轨线。
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那么关于一个复杂系统的所有信息如何能够存储在一个点中？如果这个系统只有两个变量，答案就很简单。它就是中学时所学的直角坐标系——一个变量在横轴，另一个在纵轴。比如，如果这个系统是一个摆动时不受摩擦力影响的单摆，那么一个变量是位置，另一个是速度，并且这个点连续变化，形成一条闭曲线，周而复始，不断重复自己。相同的系统在更高的能量下会摆动得更快、更远，但在相空间中仍然会形成类似的一条闭曲线，只是现在更大一些。
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描述单摆的另一种方式
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相空间中的一个点（右图）包含了确定一个动力系统在任意时刻的状态（左图）所需的所有信息。对于一个简单的单摆，我们只需要知道两个数（速度和位置）。
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但只要加入一点儿现实色彩，比如摩擦力，整个图景就将发生改变。我们不需要运动方程组也能想象得出一个单摆在受到摩擦力影响时的最终归宿。每条轨线必定最后结束于同一个地方——原点，届时位置为 0，速度为 0。这个中央的定点“吸引着”这些轨线。因此，它们不再绕圈转个不停，而是螺旋向内收敛。摩擦力耗散了系统的能量，而在相空间中，这样的耗散体现为一种趋向中心的吸引力，从外围的高能量区指向内围的低能量区。这样的吸引子（所有吸引子中最简单的）就好像是嵌在橡胶垫中的一小块磁铁。
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相空间中的这些点构成了一条轨线，而后者提供了一种方式将一个动力系统的长期行为可视化。一条周而复始的闭曲线代表这个系统以规则的周期不断重复自己。
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如果周期性行为是稳定的，就像在摆钟中那样，那么这个系统在受到微小扰动后仍会回到这个极限环。在相空间中，极限环附近的轨线都趋向它；极限环是一个吸引子。
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