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相空间中的这些点构成了一条轨线，而后者提供了一种方式将一个动力系统的长期行为可视化。一条周而复始的闭曲线代表这个系统以规则的周期不断重复自己。
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如果周期性行为是稳定的，就像在摆钟中那样，那么这个系统在受到微小扰动后仍会回到这个极限环。在相空间中，极限环附近的轨线都趋向它；极限环是一个吸引子。
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©Adolph E.Brotman
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吸引子也可以是一个定点。对于一个因摩擦力而渐渐耗尽能量的单摆，所有轨线螺旋向内，趋向一个代表一个定态的点——在这里，定态就是静止不动。
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将系统的状态转换成空间中的点，这样做的优点之一是，它让改变更清晰易见。随着系统的变量连续变动，代表这个系统的点也不断移动，就仿佛是在房间中飞来飞去的一只苍蝇。如果变量的有些组合从来不会出现，那么科学家可以将房间的那个部分简单想象成出界区域。苍蝇永远不会飞到那里。如果系统具有周期性，在几个状态之间周而复始，那么苍蝇就会在这几个状态之间不断绕圈飞行。物理系统的相空间画像可以揭示出原本不容易看出来的运动模式，就像红外线风景照片可以揭示出肉眼所无法看到的模式和细节一样。当科学家端详这样一张相空间画像时，他可以动用他的想象力，回想出这个系统本身的模样。这条闭曲线对应于那种周期性。这处曲折对应于那个改变。这片空白对应于那些物理上的不可能性。
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即便在二维空间中，相空间画像也已经多有惊喜，仅靠台式计算机，科学家也能够很容易就演示它们中的一些，将方程组转化为彩色的运动轨线。有些物理学家还开始制作动画和视频给他们的同事看，加利福尼亚州的几位数学家则出版图书，其中配有绿色、蓝色和红色线条的卡通风格插图 20——“混沌漫画”，他们的有些同事不无恶意地这样说道。但二维空间无法承载物理学家所需研究的所有系统。他们需要用到不止两个变量，而这意味着更多维数。动力系统中每一个可以独立变化的因素都是一个额外的变量，一个额外的自由度；而每一个自由度都要求相空间中的一个额外维度，以确保每一个点都包含足够的信息去唯一确定系统的状态。罗伯特·梅所研究的简单方程是一维的——这时单单一个（可能代表温度或种群数量的）数就够用了，这个数定义了一个点在一条一维直线上的位置。洛伦茨的简化对流模型是三维的——不是因为流体在三维空间中流动，而是因为它需要三个相互独立的数来唯一确定流体在任意时刻的状态。
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20Ralph H. Abraham and Christopher D. Shaw, Dynamics: The Geometry of Behavior (Santa Cruz: Aerial: 1984).
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四维、五维或更高维空间将超出哪怕最思维敏捷的拓扑学家的视觉想象能力。但复杂系统终究具有许多相互独立的变量。数学家不得不承认，那些拥有无穷多自由度的系统（毕竟不羁的大自然就体现在湍急的瀑布或莫测的人脑中）需要用到一个无穷多维的相空间。但谁能把握这样一个东西？它是一只九头蛇，凶猛而不受控制；它是湍流的朗道图景：它有无穷多个频率，无穷多自由度，无穷多维。
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科学家有很好的理由不喜欢一个让自然几乎没有变得明晰多少的模型。利用非线性的流体运动方程组，即便世界上最快速的超级计算机也 无法精确预测哪怕一立方厘米的湍流在几秒钟后的行为。这无疑要归咎于自然，而非朗道，但即便如此，朗道的图景还是有点儿违背人们的直觉。哪怕自己还毫无头绪，一位物理学家仍然可以猜测，可能这一切都是因为某个自然原理还未被发现。伟大的量子理论学家理查德·P. 费曼就这样表达过这种感觉：“这一直让我困惑不已，根据我们今天所理解的定律，一部计算机器需要经过无穷多步的逻辑运算才能找出在无论多小的一片空间和无论多短的一段时间里所发生的事情。在那么小的空间里如何能够进行所有这些计算？又为什么需要无穷多数量的逻辑才能找出在一小块空间–时间里将会发生什么？”21
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21Richard P. Feynman, The Character of Physical Law (Cambridge, Mass.: The M.I.T. Press, 1967), p. 57.
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像其他很多开始研究混沌的人一样，达维德·吕埃勒也猜测，湍流中所见的那些模式（自相缠结的直线、螺旋转动的涡旋，以及在眼前出现又消失的漩涡）必定反映了深层的一些模式，而它们可由尚未被发现的定律加以解释。22 在他看来，湍流中的能量耗散必定仍然会导致一种相空间的体积收缩，一种趋向一个吸引子的运动。这种吸引子无疑不会是定点，因为湍流永远不会趋向静止。能量在不断耗散的同时，也在持续注入系统。那么它究竟是怎样一种吸引子？根据当时的正统理论，剩下只有另一种吸引子，一种周期性的吸引子，即所谓的极限环——一条闭曲线，附近的轨线都为它所吸引。如果一个单摆在因摩擦力失去能量的同时通过弹簧获得能量，也就是说，如果单摆在做有阻尼的受迫振动，它的稳定轨线可能是相空间中的一条闭曲线，而这对应于比如落地钟钟摆的规则摆动。不论单摆从什么位置开始摆动，它最终都将落在那条轨线上。但真是这样吗？对于有些初始条件（只具有极少能量的那些），单摆仍会最终停止摆动，所以这个系统实际上有两个吸引子，一个是闭曲线，另一个是定点。每个吸引子各有其“吸引域”，就像相邻的两条河流各有其集水区。
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22吕埃勒。
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短期而言，相空间中的任意一点都可以代表动力系统的一个可能行为。但长期来看，唯一的可能行为是吸引子本身。所有其他运动都是暂时性的。根据定义，吸引子具有一个重要性质，即稳定性——在一个现实系统中，尽管其运动部件受到了现实世界噪声的扰动，其运动仍然倾向于最终回归到吸引子。一个扰动可能让轨线短暂出现偏离，但由此产生的暂时性运动会逐渐停息。即便是猫咪拍打落地钟，钟也不会变成一分钟有六十二秒。但湍流是完全另一个层次上的行为，其中永远不会只有单一一个频率。事实上，湍流的一个显著特征是，所有可能的频率同时存在。它就像白噪声，或所谓静态噪声。这样一种东西怎么能从一个简单的、决定论式的方程组中生成？
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吕埃勒和塔肯斯想知道是否存在其他某种吸引子，它恰好具有某些性质。稳定性——它是一个动力系统在一个充斥着噪声的世界里最终会达到的状态。低维度——它是处于一个低维相空间（可能是一个矩形或一个盒子）中的轨线，只有少量几个自由度。非周期性——它永远不会重复自己，永远不会最终落入一个落地钟般、一板一眼的频率。从几何的角度看，这是这样一个难题：什么样的轨线可以在一个有限的空间里画出来，并使得它永远不会重复自己，也永远不会自相交？——因为一旦一个系统回到它之前经过的一个状态，它就必定要重复同样的路径。而为了生成所有可能的频率，这样的轨线应该是一条在一个有限面积里的无穷长曲线。换言之，它应该是分形的（尽管这个说法当时还没有被发明出来）。
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通过数学推理，吕埃勒和塔肯斯提出，这样一种东西必定存在。他们尚未见到一个实例，也没有自己画出一个。但对他们来说，这样一个论断已经足够了。后来，事隔多年，在波兰华沙举办的国际数学家大会的一次全会发言上，吕埃勒得以更冷静地给出评估：“当时科学界对于我们的理论提议的反应是相当冷淡的。特别是，认为有限维空间里的运动就可以生成频率的连续统的思想被当时的许多物理学家视为异端。”23 但当时也正是物理学家（当然，为数不多）意识到了他们 1971 年的这篇论文的重要性，并开始深入研究其意涵。
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23“Turbulent Dynamical Systems,”p. 275.
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实际上，等到 1971 年，科学文献中已经有一小幅曲线图，其中表现的正是吕埃勒和塔肯斯试图证明其存在但又设想不出其模样的那种怪物。爱德华·洛伦茨当初将它放进了他 1963 年讨论决定论式混沌的论文中。24 这幅图的右部只有两条曲线，其中一条在另一条里面，左部则有五条曲线。为了画出这七条曲线，需要在计算机上进行 500 次连续计算。而沿着这个轨迹运动、沿着这些曲线绕圈的一个点，正表现了洛伦茨的三方程对流模型所描述的流体的混沌行为。由于这个系统有三个相互独立的变量，因此这个吸引子存在于一个三维相空间中。尽管洛伦茨只画出了它的一小部分，但他已经能够看出还没有画出来的内容：这是某种双螺旋，就像一对有着无限敏捷身手的蝴蝶翅膀。当这个系统中的升腾热量驱动流体朝一个方向流动时，点的轨迹停留在右边的翅膀上；当流动逐渐停止并出现反转时，轨迹就会一下子跳到另一边的翅膀上。
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24“Deterministic Nonperiodic Flow,”p. 137.
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这个吸引子是稳定的、低维度的和非周期的。它永远不会自相交，因为不然的话，它就回到了一个已经访问过的点，而这意味着它接下来的运动会重复自己，周而复始。这样的事情永远不会发生——这也正是这个吸引子的美丽之处。这些曲线和螺旋有着无穷的深度，并且永远不会无限接近，永远不会相交。但它们又处于一个有限的空间中，局限于一个盒子之内。这如何能够做到？无穷多的路径如何能够存在于有限的空间中？
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在那个曼德尔布罗特的分形图案充斥科学市场之前的时代，如何构建这样一个形状的细节是当时之人难以想象出来的，洛伦茨也承认在他的尝试性描述中存在一个“看似的矛盾”。“很难调和两个平面（它们各包含一个螺旋）的重叠与两个轨迹不能相交的事实。”他这样写道。25 但他看出了一个精妙到无法透过自己计算机有限的计算能力呈现出来的答案。他意识到，在两个螺旋看上去要相交的地方，两个表面必定是要分开的，就像千层酥中借由奶油隔开的两片酥皮那样。“我们看到，每个表面实际上是两个表面，使得在它们看上去重叠的地方实际上有四个表面。继续这个过程，再绕一周，我们看到那里实际上有八个表面，如此等等，直到最终我们得出结论，那里实际上有无穷多个表面，每个都极其靠近这两个看似重叠的表面中的其中一个。”难怪当时 1963 年的气象学家会将这样的大胆猜想弃之一旁，也难怪当吕埃勒在此十年后最终了解到洛伦茨的工作时，他会感到又惊又喜。他后来拜访过一次洛伦茨，并带着一点儿失望而归，因为他们没有机会更多谈论他们在科学上的交集。26 生性内敛的洛伦茨将这次会面当成了一次社交应酬，而且他们当时还是与自己的妻子一起去参观一家美术馆。
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25Ibid., p. 140.
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26吕埃勒。
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探索吕埃勒和塔肯斯所揭示的方向的努力采取了两条思路。一条是在理论上尝试将奇怪吸引子可视化。洛伦茨吸引子是否具有典型性？还有其他哪些形状也是可能的？另一条则是通过实验确认或否认这样一个不那么高度数学化的信仰之跃，即相信奇怪吸引子也见于现实中的混沌行为。
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