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24“Deterministic Nonperiodic Flow,”p. 137.
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这个吸引子是稳定的、低维度的和非周期的。它永远不会自相交，因为不然的话，它就回到了一个已经访问过的点，而这意味着它接下来的运动会重复自己，周而复始。这样的事情永远不会发生——这也正是这个吸引子的美丽之处。这些曲线和螺旋有着无穷的深度，并且永远不会无限接近，永远不会相交。但它们又处于一个有限的空间中，局限于一个盒子之内。这如何能够做到？无穷多的路径如何能够存在于有限的空间中？
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在那个曼德尔布罗特的分形图案充斥科学市场之前的时代，如何构建这样一个形状的细节是当时之人难以想象出来的，洛伦茨也承认在他的尝试性描述中存在一个“看似的矛盾”。“很难调和两个平面（它们各包含一个螺旋）的重叠与两个轨迹不能相交的事实。”他这样写道。25 但他看出了一个精妙到无法透过自己计算机有限的计算能力呈现出来的答案。他意识到，在两个螺旋看上去要相交的地方，两个表面必定是要分开的，就像千层酥中借由奶油隔开的两片酥皮那样。“我们看到，每个表面实际上是两个表面，使得在它们看上去重叠的地方实际上有四个表面。继续这个过程，再绕一周，我们看到那里实际上有八个表面，如此等等，直到最终我们得出结论，那里实际上有无穷多个表面，每个都极其靠近这两个看似重叠的表面中的其中一个。”难怪当时 1963 年的气象学家会将这样的大胆猜想弃之一旁，也难怪当吕埃勒在此十年后最终了解到洛伦茨的工作时，他会感到又惊又喜。他后来拜访过一次洛伦茨，并带着一点儿失望而归，因为他们没有机会更多谈论他们在科学上的交集。26 生性内敛的洛伦茨将这次会面当成了一次社交应酬，而且他们当时还是与自己的妻子一起去参观一家美术馆。
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25Ibid., p. 140.
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26吕埃勒。
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探索吕埃勒和塔肯斯所揭示的方向的努力采取了两条思路。一条是在理论上尝试将奇怪吸引子可视化。洛伦茨吸引子是否具有典型性？还有其他哪些形状也是可能的？另一条则是通过实验确认或否认这样一个不那么高度数学化的信仰之跃，即相信奇怪吸引子也见于现实中的混沌行为。
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©Edward N. Lorenz
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第一个奇怪吸引子
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对于自己的简单对流模型，爱德华·洛伦茨在 1963 年只能计算出其奇怪吸引子的开始一小部分。但他已经能够看出，两个螺旋交错的地方必定在极小的尺度上有着不寻常的结构。
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在日本，通过研究行为类似弹性系统（但要快得多）的非线性电路，上田睆亮发现了一类极其美丽的奇怪吸引子。（他也从自己的同事那里收到了吕埃勒曾经面对过的冷淡回应：“你的结果不过是一种接近于周期性的振荡。你不要自以为是地认为那是定态。”27）在德国，奥托·勒斯勒尔，一位在研究混沌之前曾先后涉足化学和理论生物学领域的非临床医学博士，以他的独特才能，开始将奇怪吸引子当作哲学对象看待，让数学家只能跟在后面。勒斯勒尔的名字后来与一类特别简单的吸引子联系在一起；这类吸引子形似一条带子被折叠了一下，因其容易绘制而得到大量研究，但他也设想过它们在更高维度上的结构——“一根香肠在另一根香肠在另一根香肠在另一根香肠里，”他会这样说，“把它取将出来，折叠一下，压缩一下，然后放将回去。”28 确实，空间的折叠、压缩和拉伸是构建奇怪吸引子的一个关键，或许也是生成它们的现实系统的动力学的一个关键。勒斯勒尔感到，这些形状体现了我们世界的一个自组织原理。他设想了某种类似机场上的风向袋的东西——“一只末端有一个孔的开口袜子，然后风灌将进去，这样风就被困在里面，”他说道，“尽管有违其意志，能量还是做出了某种有益的事情，就像中世纪历史上的魔鬼。这里的原理是，自然做出了某种有违其意志的事情，并通过自相缠结，生成了大美。”
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27上田睆亮在下述综述中从非线性电路的角度回顾了他的早期发现，并在文后的附言中给出了对于自己的研究动机以及同事的冷淡回应的个人叙述：“Random Phenomena Resulting from Nonlinearity in the System Described by Duffing’s Equation,”in International Journal of Non - Linear Mechanics 20 (1985), pp. 481–491. 另见，斯图尔特，个人通信。
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28勒斯勒尔。
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为奇怪吸引子作图并不是一件轻而易举的事情。通常情况下，运动轨迹会由于折叠、压缩和拉伸而在三维或更高维的空间中变得越来越复杂，从而在空间中形成一团黑乎乎的乱麻，其内部结构根本无法从外部看出来。为了将这些三维乱麻转换成二维图像，科学家首先使用了投影技术，试图将吸引子投射在一个平面上的影子画出来。但对于复杂的奇怪吸引子，投影不过是将细节统统破坏而留下一块无法解读的污渍。一个更有效的技术是进行一次返回映射，或所谓的庞加莱映射：简单来说，就是选择一个适当的位置将一个吸引子一刀切开，然后观察其运动轨迹与截面相交的截点的分布规律，就像病理学家在显微镜下观察组织切片一样。
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庞加莱映射将一个吸引子降低了一个维度，将一条连续的线变成了一个离散的点的集合。在进行庞加莱映射时，科学家暗含地假设，这样的重构可以保留下原来运动的大部分实质。比如，他可以设想一个奇怪吸引子就存在于他的眼前，而其轨线忽上忽下、忽左忽右、来来回回地穿过他的计算机屏幕。每次轨线穿过屏幕，它就在相交的地方留下一个闪亮的光点，然后，这些点的集合要么形成一片随机的光斑，要么开始形成某种闪亮的形状。
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这个过程也对应于对一个系统的状态进行间歇地，而非连续地采样。以什么时间间隔进行采样（在哪些位置将一个奇怪吸引子切开），这个问题给了研究者某种灵活性。能够提供最有用信息的时间间隔可能对应于动力系统的某个物理特征：比如，庞加莱映射可以在一个钟摆每次经过最低点时对其速度进行采样。或者，研究者也可以自行选择一定的时间间隔，借着一只想象的频闪灯的有规则闪光，观察和记录下动力系统的一系列状态。不论采用哪种方法，由此得到的图像最终开始揭示出爱德华·洛伦茨当初猜想的精细分形结构。
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©James P. Crutchfield / Adolph E. Brotman
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揭示吸引子的结构
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上图的奇怪吸引子（先是一条轨迹，然后十条，然后一百条）表现了一个转子（摆动幅度为一整圈的一个单摆）在受到一个外力的有规则驱动下的混沌行为。等到画出 1000 条轨迹的时候（下图），整个吸引子已经变成了一团看不明白的乱麻。
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为了揭示其中的结构，我们可以通过计算机对这个吸引子做出一个切片，一个所谓的庞加莱截面。这个技术将一个三维图像变成了二维的。运动轨迹每次穿过这个截面，它就在上面留下一个截点，然后慢慢地，一个拥有细部细节的图案开始浮现出来。右下图的图案由超过 8000 个点构成，而每个点都代表了吸引子中的一条轨迹。实际上，这也相当于以一定时间间隔对系统进行“采样”。在这个过程中，一种信息丢失了，同时另一种得到了突显。
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最给人以启迪的奇怪吸引子（只因为它是其中最简单的），来自一个似乎与湍流和流体动力学领域风马牛不相及的人。29 他是一位天文学家——来自法国南海岸的尼斯天文台的米歇尔·埃农。当然，在某种意义上，当初正是天文学推动了人们对于动力系统的研究——行星的机械运动验证了牛顿的理论，也为拉普拉斯提供了灵感。但天体力学在一个关键层面上不同于大多数地球上的系统。由于摩擦力而损耗能量的系统被称为耗散系统，天体系统则不属于此：它们是保守系统，或者说哈密顿系统。实际上，在一个近乎无穷小的尺度上，哪怕天体系统也受到某种曳力拖曳，包括恒星不断辐射能量，潮汐摩擦使得自转的天体不断损耗某些动能；但就实际应用而言，天文学家的计算可以将这样的耗散忽略不计。而没有了耗散，相空间就不会出现生成无穷的分形结构所需的折叠和体积收缩，奇怪吸引子也就无从出现。那么混沌还有可能出现吗？
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29埃农；他所构造的映射参见：“A Two - Dimensional Mapping with a Strange Attractor,”in Communications in Mathematical Physics 50 (1976), pp. 69–77, and Michel Hénon and Yves Pomeau,“Two Strange Attractors with a Simple Structure,”in Turbulence and the NavierStokes Equations, ed. R. Teman (New York: Springer - Verlag, 1977).
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许多天文学家即使从来没有考虑过动力系统，也能取得卓有成效的成绩，但埃农跟他们不一样。他于 1931 年出生在法国巴黎，比洛伦茨小十多岁，但跟洛伦茨一样，他也对数学始终有着某种未了的情怀。埃农喜欢那些不大但有现实意义的数学问题——“不像人们今天所做的那类数学”，他会这样说。当计算机变得小型化，得以飞入寻常的爱好者家中时，埃农也入手了一台，那是一套由希思公司出品的、需要在家中自己组装的计算机散件。不过，在那之前很久，他就研究过一个尤其令人望而生畏的动力学问题。它涉及球状星团——大量恒星（有时甚至高达一百万颗）聚集在一起，因引力作用而向中心集中，从而形成球状；它们构成了夜空中最古老、也有可能最摄人心魄的景象。球状星团有着惊人之高的恒星密度，因而它们如何维持在一起，以及如何随时间演化的问题长久以来一直困扰着 20 世纪的天文学家。