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23吉尔摩。
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24茨维塔诺维奇。
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在数学家当中，同样普遍存在一种保留态度，主要因为费根鲍姆未曾提供一个严谨的证明。事实上，后来直到 1979 年，奥斯卡·兰福德才给出了一个可为数学家接受的证明。25 费根鲍姆常常回忆起，当初自己在 1976 年 9 月洛斯阿拉莫斯的那次会议上向一帮杰出数学家汇报自己理论时的情形。他才刚刚开始描述自己的工作，知名数学家马克·卡茨就起身问道：“先生，你是打算给出一个数值计算，还是一个证明？”26
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25即便这样，这个证明仍属非正统，因为它仰赖于大量数值计算，使得人们如果不借助一部计算机，就无法对它加以推演或检验。兰福德；Oscar E. Lanford,“A Computer - Assisted Proof of the Feigenbaum Conjectures,”Bulletin of the American Mathematical Society 6 (1982), p. 427; also, P. Collet, J. P. Eckmann, and O. E. Lanford,“Universal Properties of Maps on an Interval,”Communications in Mathematical Physics 81 (1980), p. 211.
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26费根鲍姆；“The Discovery of Universality,”p. 17.
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“较前者有余而较后者不足。”费根鲍姆答道。
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“那么它是否可被任何有理智的人视为一个证明？”
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费根鲍姆表示，这需要听众自己做出判断。在报告结束后，他主动询问卡茨的意见，而对方不无嘲笑地答道：“是的，这确实是一个有理智的人的证明。其细节可以留给严谨的数学家去处理了。”
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但一个运动已经兴起，而普适性的发现进一步为它快马加鞭。1977 年夏，两位物理学家约瑟夫·福特和朱利奥·卡萨蒂组织了第一场旨在讨论一门称为混沌的科学的学术会议。27 它在意大利北部科莫的一所别致的别墅中举办。这座小城因坐落在科莫湖畔而得名，后者则由意大利阿尔卑斯山脉积雪的融水汇集而成，湖光山色，景色迷人。与会者达到一百人——大多数是物理学家，但也有来自其他领域的感到好奇的科学家。“米切尔发现了普适性，并揭示了它如何进行尺度变换，并找到一种办法生成那些吸引人的混沌，”福特说道，“这是第一次我们有了一个大家都可以理解的清晰模型。
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27福特，费根鲍姆，莱博维茨。
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“并且它也适逢其会。从天文学到动物学，来自不同领域的许多人一直在做着同样的事情，并在各自小众的学科刊物上发表文章，完全没有意识到周围还有其他同伴。他们以为自己在孤军奋战，而他们在各自领域都被视为有点儿古怪。他们已经穷尽了想得出来的简单问题，并开始操心那些稍微复杂一点儿的现象。而这些人此时欣喜地发现原来自己并不孤单。”28
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28福特。
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后来，费根鲍姆搬进了一处不事装饰的房子，一个房间放一张床，另一间放一部计算机，第三间则放着三件黑色的电子设备，用来播放他数量可观的德国古典音乐唱片。他对于家居装饰的一个实验最终以失败而告终：他在意大利时购买的一张昂贵的大理石咖啡桌，在远渡重洋后变成了一包大理石碎块。墙上的书架堆满了纸张和图书。他说话很快，棕色的长发梳拢到头后，现在已经夹杂几丝灰发。“某种戏剧化的事情在 20 世纪 20 年代发生了。不知怎么地，物理学家偶然得到了一个对于周遭世界的、本质上正确的描述——因为量子力学理论在某种意义上是本质上正确的。它告诉你如何利用沙子做出计算机。这是我们用来操控宇宙的方式。这也是诸如塑料等化学品被制造出来的方式。我们知道如何利用这种方式进行计算。这是一个超级棒的理论——除了有一点，在某个层次上，它说不太通。
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“整个图景仍然缺少点什么。如果你问这些方程究竟意味着什么，这个理论所给出的对于世界的描述又是什么，你就会发现这并不是一个需要用到你对于世界的直觉的描述。你不能将一个粒子想象成沿着一个轨迹运动。这个理论不允许你以这种方式将它可视化。如果你开始问一些越来越精微的问题，（比如，这个理论所描述的世界是什么样子的？）最终你会发现，它与你通常看待事物的方式大相径庭，多有抵牾。可能世界真是这个样子的。但你也不好说就不存在另一种组合所有这些信息的方式，而它不需要如此巨幅地偏离你对于事物的直觉。
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“物理学中存在这样一个根本性的推定，即你理解世界的方式应该是，逐个分析其构成部分，直到你理解了某种你认为是真正根本性的东西。然后你推定其他你所不理解的东西都不过是细节。这里的假设是，存在少量基本原理，你可以通过观察处在最基本状态的事物而找出它们（这就是真正的分析思维），然后你想方设法将这些原理以更复杂的方式组合在一起，从而解决一些更贴近现实的问题——如果你做得到的话。
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“但最终，为了理解这一切，你需要改换挡位。你需要重新梳理哪些是你认为重要的事情。你可以尝试对一个流体系统模型进行计算机模拟。这种事情最近才开始变得可能。但这将只是浪费时间，因为真正重要的东西与一种特定流体或一个特定方程根本没有关系。真正重要的是一种对于众多各不相同的系统在一再重复时会发生什么的一般性描述。而这要求一种不同的思考问题的方式。
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“当你环视这个房间，看到一堆零碎东西在那边，一个人坐在这边，还有门在那边时，你被认为应该可以借助物质的基本原理，写出波函数来描述它们。好吧，这不是一个可行的想法。可能上帝可以做到，但对于理解这样一个问题，分析思维的解法并不存在。
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“‘一朵云彩接下来会发生什么’的问题已经不再是一个学术问题。但人们很想知道答案——因为这当中有利可图。刚才的问题基本上属于物理学领域，而这个问题大体上也是如此。你面对的是某种非常复杂的东西，而目前解决这一问题的方法是，检视尽可能多的点，多到足以描述这朵云彩在哪里、暖空气在哪里、它们的速度又如何等。然后你将它输入你负担得起的最强大的机器，并试图得到一个对它接下来的行为的估计。但这种做法并不是非常现实的。”29
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29费根鲍姆。
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他按灭一支香烟，接着又点了一支。“我们需要寻找不同的思考方式。我们需要寻找那些标度结构——也就是大尺度上的细节如何与小尺度上的细节联系在一起。你看流体扰动，看到在这些复杂结构中，复杂性通过一个持续不断的过程不断涌现。在某种层次上，它们并不怎么关心这个过程的大小——它可以是一颗绿豆大，或者一个篮球大。这个过程并不关心自己位于何处，也不在意自己已经进行了多久。在某种意义上，唯一有能够普适化的东西是那些标度化的东西。
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“在某个意义上，艺术是一种关于人类看待世界的方式的理论。很明显，我们并不非常清楚自己周围世界的细节。而艺术家已经做到的是，他们意识到其中只有一小部分是真正重要的，然后专注于弄清它们。所以他们可以替我完成一些我的研究。当你观看一幅凡·高的晚期作品时，你会看到其中放进去了数量惊人的细节，他的绘画总是包含异常丰富的信息。显然他意识到了，你必须放进去少无可少的这种数量的细节。或者，你也可以研究 1600 年左右的荷兰钢笔素描作品中的风景，其中的树木和牛群显得非常真实。如果你仔细观察，你还会发现这些树木具有某种叶状的参差边缘，但仅有这个是不够的——边缘上还长着小小的、枝状的东西。这些更细腻的肌理与那些有着更确定线条的东西之间毫无疑问存在一种互动。不知怎么地，它们两相结合就给人以正确的感知。如果你观察勒伊斯达尔和透纳刻画变化多端的水面的方式，你会发现它明显是以一种不断迭代的方式实现的。先画一层东西，然后在上面再画一层，再然后对此进行修整。对于这些画家来说，湍急的水流里面总是包含一个尺度的概念。
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“我诚心想要知道如何描述云彩。但说这片云彩有着如此这般的密度，然后旁边这片有着这般如此的密度——逐步积累这种程度细节的信息，我觉得是错误的。这无疑不是一个人观察这些事物的方式，也不是一位艺术家观察它们的方式。在有些地方，写出偏微分方程并不意味着就大功告成了。
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“可以说，世界的奇妙之处正在于，其中有许多美丽的东西、许多奇妙而吸引人的东西，而由于你的职业的缘故，你想要理解它们。”他按灭香烟。余烟从烟灰缸里升起，一开始是一道细细的烟柱，然后（作为一种向普适性的致意）消散成大小不一的涡旋，袅袅飘向天花板。
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