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达西·汤普森当时可用的数学无法让他证明他想要证明的。他最多所能做的是，比如，在一个正交坐标系和一个变形的坐标系上画出不同物种的颅骨，以表明一个简单的几何变换就可以将一种变成另一种。对于一些简单生物（它们的形状如此容易让人联想到液体射流、液滴飞溅，以及流的其他表现），他怀疑是重力和表面张力之类的动力因在起作用，但它们实际上并无法完成他要求它们做到的形塑工作。那么为什么阿尔贝·利布沙贝在开始他的流体实验时想到了《生长和形态》一书呢？
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达西·汤普森对于形塑生物的力的直觉，比主流生物学中的任何东西都更接近动力系统的视角。他将生命视为生命，总是在变动，总是在回应韵律——“生长的深层次韵律”，他相信，正是这种韵律造成了生物形态上的相似之处。17 他认为自己的研究对象应该不仅包括事物的物质形态，也包括它们的动力学——“透过力的概念，诠释能量的运作方式”。18 他身为数学家足够够格，知道将形状分门别类证明不了任何东西。但他身为诗人也足够够格，深信不论是出于偶然，还是出于目的，都无法解释那些他在观察自然的漫长岁月里所搜罗的形态之间的惊人普适性。物理定律必定能够解释这一点，以尚不为我们所理解的方式控制着其中的力和生长。此时，柏拉图再次现身。在具体的、可见的物质形状背后必定存在作为不可见模板的、难以捉摸的型相。处在运动当中的型相。
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17On Growth and Form, p. 267.
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18Ibid., p. 114.
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利布沙贝选择在自己的实验中使用液氦。液氦的黏度极低，使得它受到极小的推动就会翻滚。使用一种中等黏度流体（比如，水或空气）的相同实验将需要用到一个大得多的盒子。借助液氦的低黏度，利布沙贝使得他的实验对加热更为敏感。为了在这个毫米级的液氦室中生成对流，他只需在上下部之间创造出千分之一度的温差。这也是为什么对流室需要如此之微小。在一个更大的盒子中，液氦会有更多空间可供翻滚，生成对流因而需要用到更少的加热，事实上，少太多。在一个各方向上都大十倍（因而体积大一千倍），大致为一粒葡萄大小的盒子中，只要存在百万分之一度的温差，对流就会开始。这样细微的温度变化是根本无法控制的。
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在规划、设计和制作这个盒子的过程中，利布沙贝和他的工程师始终致力于消除任何可能引发纷乱的因素。事实上，他们竭尽所能去消除自己打算研究的那种运动。流体的运动，从层流到湍流，被认为是空间上的变化。其复杂性看上去是一种空间复杂性，其扰动和涡旋看上去是一种空间上的混沌。但利布沙贝试图找寻的是那些随着时间变化而显露出来的韵律。时间现在是球场，是标尺。他将空间挤压成近乎一个一维的点。这时，他是将他在流体实验上的前辈曾经使用过的一种方法推到了一个极端。大家都知道，一种闭合式的流（比如，盒子里的瑞利–贝纳尔对流，或圆筒之间的泰勒–库埃特流）比起一种开放式的流（比如，海浪或空气）要守规矩得多。在开放式的流中，边界层仍然不受限制，复杂性于是扶摇直上。
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由于在一个长方形盒子里的对流会生成像热狗（或者在这里，像芝麻）一样的涡卷，因此利布沙贝精心选择对流室的大小，使得它刚好可以容纳两个涡卷。中间的液氦会受热膨胀上升，达到顶部，然后分向左右两边，沿着对流室的侧壁下沉。这是一个动弹不得的几何学。晃动会受到限制。光滑的壁面和精心选择的比例会消除任何额外的扰动。利布沙贝就这样将空间冻结住了，使得他可以开始操弄时间。
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一旦实验开始，液氦便开始翻滚起来，利布沙贝需要通过某种方式看到在液氦浴里的真空容器里的对流室里发生了什么。他在对流室的顶部的蓝宝石中嵌入了两枚微型温度探针。它们的输出然后会被一部笔式绘图仪连续记录下来。这样他就可以监控两个涡卷顶部各一个点的温度。这不禁让另一位物理学家感叹，设计如此灵敏、如此巧妙，使得利布沙贝成功骗过了大自然。19
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19坎贝尔。
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这个精密的微型杰作耗费了两年时间才全部完成，但按照利布沙贝的说法，它是绘制自己画作的合适画笔，没有太过宏大或复杂。他最终看到了一切。经过夜以继日、时复一时地运行自己的实验，利布沙贝找到了一个湍流发生的行为模式，比他所能设想的还要更为精致。完整的倍周期分岔级联过程出现了。利布沙贝限制了流体在受热后的运动，并从中提炼精华。这个过程的一开始是第一次分岔，即随着底部高纯度铜片受热到一定程度，流体足以克服自身保持静止的倾向，运动开始出现。在高于绝对零度几度的情况下，仅仅千分之一度的温差就足够了。底部的液体受热膨胀，变得比上面较冷的液体更轻。为了让较热的液体上升，较冷的液体必须下沉。很快，为了让这两种运动都能实现，液体内便出现了一对翻滚的圆柱体。涡卷达到一个恒定的速度，整个系统从而最终进入一个稳定状态——一个动态的稳定状态，其中热量稳步地被转化成运动，然后由于摩擦力而不断被耗散，被转化回热量，并经由较冷的顶部铜片流出系统。
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到那时为止，利布沙贝只是在重现一个流体力学中再熟悉不过的实验，熟悉得几乎不值一提。“这是经典物理学，”他说道，“不幸的是，这意味着它很古老，而这就意味着它没有什么意思。”20 这也恰好正是洛伦茨当初用他的三方程系统加以建模的流。但就收集数据而言，相较于简单通过一部计算机生成数值，一个现实世界中的实验（真实的液体、由一位机械师切割而成的一个盒子、受到巴黎交通的振动干扰的一个实验室）不可避免要麻烦得多了。
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20利布沙贝。
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像利布沙贝这样的实验科学家使用一部简单的笔式绘图仪记录下温度，后者则经由嵌入对流室顶部的探针测得。在第一次分岔之后的定态运动中，随着涡卷翻滚，探针测得的每一个点的温度都是大致稳定的，绘图笔于是记录下一条直线。但随着进一步加热，更多的失稳加入了进来。在每个涡卷上都出现了一个扭曲，并且这个扭曲稳步地来回移动。这样的摆动体现在探针上，就是一个不断变化的温度，在两个极值之间上下起伏。绘图笔现在画出的是一条连绵不断的波形曲线。
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从一条连续不断变化并受到实验噪声干扰、破坏的简单温度曲线中，我们不可能读出新的分岔出现的确切时机，或推导出其性质。这条曲线起伏飘忽不定，看上去几乎就如同一幅股票走势图那般随机。利布沙贝分析这样一些数据的方法是，将它们转化成一幅频谱图。利用实验数据绘制一幅频谱图，就像为构成交响乐里的一个复杂和弦的每个声音频率作图。图的底部始终是一条参差的曲线——那是实验噪声。占据主导的音体现为竖向的凸起：声音越响，凸起越高。类似地，如果实验数据生成了一个占据主导的频率（比如，一个每隔一秒钟重复的节奏），那个频率就会体现为频谱图上的一个凸起。
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事实上，在利布沙贝的实验中，第一个出现的波形的波长是大约两秒钟。下一次分岔则带来了一种微妙的改变。涡卷继续扭曲摆动，辐射热计记录下的温度继续围绕着一个占据主导的节奏起起伏伏。但在奇数周期里，温度的极大值较之前的值还要高一点儿，而在偶数周期里则要低一点儿。也就是说，温度的极大值一分为二，使得现在有两个不同的极大值和两个不同的极小值。绘图笔画出的曲线，尽管难以阅读，其实是在一条波形曲线之上叠加了另一条波形曲线——一个超级摆动。在频谱图上，这一点就看得更加清楚。旧的频率仍然赫然在目，毕竟温度仍然每隔两秒钟重复一次。但现在，一个新的频率出现在刚好是旧的频率一半的地方，因为这个系统已经发展出一个每隔四秒钟重复一次的构成元素。21 随着分岔继续，我们就有可能看出一个奇怪但一致的模式：新的频率以倍数相继出现，出现在旧的频率的四分之一、八分之一、十六分之一处，有点儿像高低护杆交错的栅栏。
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21“A Rayleigh Bénard Experiment.”此外，茨维塔诺维奇的引言也给出了一个清晰的概述。
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© Predrag Cvitanović / Adolph E. Brotman
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看待分岔的两种方式
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当一个像利布沙贝的对流室这样的实验生成一种稳定的振荡时，其相空间描述是一个环，表明它以规则的间隔重复自己（左上图）。而一名分析数据中的频率的实验科学家会在一幅频谱图上看到代表这个节奏的显著凸起。在经过一次倍周期分岔后，这个系统在环绕两次后才会重复自己（中上图），于是实验科学家现在看到了一个新的节奏，其频率是原频率的一半（周期则翻倍）。后续的倍周期分岔将在频谱图上添加更多的凸起。
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© Albert Libchaber
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来自现实世界的数据印证了理论
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利布沙贝的频谱图形象地呈现了理论所预测的倍周期模式。代表新的频率的凸起显著高出实验噪声。费根鲍姆的标度理论不仅预测了新的频率会在何时以及何处出现，它还预测了它们会有多强，也就是它们的幅度。