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3补记的一些补记：洛伦茨于 2008 年 4 月 16 日去世，享年 90 岁；曼德尔布罗特于 2010 年 10 月 14 日去世，享年 85 岁；费根鲍姆于 2019 年 6 月 30 日去世，享年 74 岁；梅于 2020 年 4 月 28 日去世，享年 84 岁。四川大学纳米生物医学技术与膜生物学研究所下设八个实验室，其中便包括 Benoit Mandelbrot 生物数学与计算生物学实验室。——译者注
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大门现在不只是被打开，而是洞开，并且新一代的科学家已经跟上，带着一套对于自然的运作方式的更稳健的假设。他们知道，一个复杂系统可以变得非常古怪。他们也知道，当这确实发生时，你仍然可以与它对视，并战而胜之。跨越学科分野进行交流，分享有关标度模式或网络化行为的方法论，到现在即便还不是新的常规，至少也不再是例外了。
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整体上看，当初的混沌先驱者们都已从江湖回归庙堂，并在科学建制中享有一席之地。爱德华·洛伦茨，作为一位备享殊荣的 MIT 荣休教授，在耄耋之年仍被看到回学校工作，并从他在 54 号楼高层的办公室里观察天气。米切尔·费根鲍姆后来加入美国洛克菲勒大学，并在那里建立了一个数理物理学实验室。罗伯特·梅后来成为英国皇家学会主席以及英国首相的首席科学顾问，并在 2001 年受封为“牛津的梅男爵”。至于贝努瓦·曼德尔布罗特，他放在自己耶鲁大学的个人主页上的一份 2006 年“学术简历”就列出了二十四项奖项和奖励、两项奖章、十九个“名誉学位及类似荣誉”、十二个学术团体的会员资格、十五个编委会的编委身份，以及其他一些带有他的名字的东西，包括一棵位于匈牙利小镇巴拉顿菲赖德的湖边公园的“诺贝尔小径边上的树”、一家在中国的实验室和一颗小行星。4
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4Arcadia, p. 48.
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他们当初发现的原理以及他们当初发明的概念一直在继续演化——首先便是“混沌”这个词本身。到了 20 世纪 80 年代中期，这个词已然被许多科学家定义得相当狭隘（参见第十一章，大家对这个词的说法），他们用它特指由诸如“复杂系统”这样的更一般用语所指的那类现象的一个特殊子集。不过，敏锐一些的读者或许可以体会到，我当时其实更偏好约瑟夫·福特那个没有太多限定的定义（“从秩序和可预测性的枷锁中最终解放出来的动力学……”），并且现在仍然如此。但一切终究还是朝着专业化的方向演进了，因而严格说起来，“混沌”今天已是一种非常特定的东西。当亚尼尔·巴亚姆在撰写一部近千页的教科书《复杂系统的动力学》时，他在第一章第一节就讲完了“混沌”本身。5（“我必须说，第一章有 300 页之多，好不好？”他这样说道。）接下去他就开始讲起随机过程，建模和模拟，元胞自动机，计算理论和信息论，标度、重整化和分形，神经网络和吸引子网络，均相系统和非均相系统，如此等等。
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5Yaneer Bar - Yam, Dynamics of Complex Systems (Reading, MA: Addison - Wesley, 1997).
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作为一位高能物理学家的儿子，巴亚姆原本一直研究的是凝聚态物理学，并已经在波士顿大学挣得了工程学副教授之职，但他在 1997 年离开学校，自己创立了新英格兰复杂系统研究所。他长久以来关注斯蒂芬·沃尔弗拉姆的元胞自动机研究以及罗伯特·德瓦尼的混沌研究，并最终发现自己对聚合物和超导体的兴趣日减，而对神经网络以及人类文明的性质（他在这样说时，并无装腔作势之感）兴趣日增。“思考文明，”他说道，“也最终促进我开始思考复杂性作为一个实体的问题。你该如何将文明与别的什么东西相类比？它是像黄铜？还是像一只青蛙？你该如何回答这个问题？这正是驱动复杂系统的动力。”
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不卖关子了，文明更像一只青蛙而非黄铜。一个原因是，它在不断演化——对于任何一样如此复杂，以至于无法被有效分解成不同独立部分的东西来说，各种演化适应过程正是设计和生成它的关键。社会经济系统就像生态系统。事实上，它们就是生态系统。借着计算机建模，巴亚姆一直在研究的课题之一是民族冲突的全局模式，以期找出可能导致冲突的人口混居和文化边界的模式。6 归根结底，这里研究的其实还是模式生成。而他可以进行这个研究项目，这一点正好说明了，科学界对于什么才算一个正经的科学问题的理解，在过去几十年里已经发生了深刻的转变。“让我给你把这个过程简单描述一下。”他这样说道。他接着说了一个寓言：
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6例见：May Lim, Richard Metzler, and Yaneer Bar - Yam,“Global Pattern Formation and Ethnic/Cultural Violence,”Science 317(2007), pp. 1540–1544.
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假设人们正在一个果园里采收果实，明白吗？底下的好果实先采，并被送到市场，然后你开始采收高处的果实。它们要更难摘一点儿，并且可能要小一点儿，品相也没那么好。于是你做了一些梯子，爬上树，并够到了高处的果实。然后你不断把果实给人们送下去。
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而我对自己当时所做的事情的感觉是，就像是我在树上环顾四周，并看到那里有一道篱笆，而在篱笆外面有另一个果园，在许多许多树上结着好果实。于是我出去了，找到了一个果实，然后穿过篱笆返回，把它展示给人们看。但他们说：“这不是一个果实！”他们不再能够认出果实了。
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他感到，现在要更好沟通一些了。各科学学科都已经意识到，要把关注重点放在理解复杂性和尺度、模式以及与模式相关联的集体行为上。这也是果实。
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在令人振奋的早期岁月中，研究者们将混沌描述成，继相对论和量子力学之后，这个世纪物理学的第三次革命。而到今天，事情已经变得很清楚，混沌与相对论和量子力学密不可分。其实只有一种物理学。
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广义相对论的基本方程组是非线性的——我们如今就都很清楚，这已经是表明混沌藏身其中的一个信号。“人们不总是对相对论的方法论有透彻的理解。”来自美国哥伦比亚大学巴纳德学院的天体物理学家兼宇宙学家詹娜·莱文如是说。“特别是，理论物理学建基在各种基本的对称性的概念之上，”她这样指出道，“因此，我认为这是理论物理学一直难以接受的一个范式转换。”对称性和对称群倾向于生成一些可解的方程组——这正是它们如此有效的原因。前提是，当它们有效时。
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作为一名相对论研究者，莱文处理的是其中最大的问题。（比如，这个宇宙是无限的，还是只是非常大？她的研究表明，宇宙可能是有限的，或者如果我们想要使用技术用语，可以说它在拓扑上是紧致的、多连通的。）在研究宇宙的起源时，莱文发现自己不免要处理混沌，还会意外为此遭到抗拒。“当初我第一次拿出这项工作，我遇到了惊人激烈的负面反应。”她这样回忆道。人们当时觉得，混沌是很好，但它只“适用于那些复杂的、脏乱的、物理的系统，而不属于理论物理学这个纯理论的、不复杂的、抽象的天地”。
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我们当时在研究在广义相对论中，在这个不可能有任何脏乱的纯理论世界中的混沌，而这是一个非常非常小众的事业——试图在早期宇宙的一种可能状态中，或在坍缩成一个黑洞的过程中，又或在绕着一个黑洞运转的轨道中找到混沌。人们并不觉得这是个令人生畏的词，但当他们看到混沌在某种干净如一个纯相对论系统（没有原子，没有任何垃圾）的东西中都发挥作用时，他们还是不免感到吃惊。
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天文学家其实早已在太阳表面的剧烈活动中、在小行星带的间隙中，以及在大尺度上的星系分布中发现了混沌的踪迹。莱文及其同事则在大爆炸发生后的早期宇宙以及在黑洞中发现了它们。7 他们还做出预测，为一个黑洞所吸引的光线可以进入不稳定的混沌轨道，然后朝随机方向散射，从而使这个黑洞变亮，哪怕只是短暂瞬间。是的，混沌可以让黑洞变得可见。“它们在我看来就像有理数那样真实——那些分形集以及所有那些实在美丽的序列，”她这样说道，“所以一方面，人们感到惊恐，另一方面，他们也被迷住了。”她处理的是弯曲时空中的混沌。爱因斯坦天上有灵，想必也会引以为豪吧。
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7例见：Neil J. Cornish and Janna J. Levin,“The Mixmaster Universe is Chaotic,”Phys. Rev. Lett. 78 (1997), p. 998–1001; Janna J. Levin,“Chaos May Make Black Holes Bright,”Phys.Rev.D 60 (1999) 064015.
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至于我，我再没有重回混沌的主题，但读者可能已经在这本书中注意到了我之后所有书的发端。当初我对理查德·费曼几乎一无所知，但他在本书中露过一次面（参见第五章）。艾萨克·牛顿则不只是露个面：他看上去是混沌的反英雄，又或是要被推翻的神。只是在后来，在阅读过他的笔记和书信后，我才发现自己一直错得多么离谱。在这几十年里，我还一直在追寻当初最早由罗伯特·肖告诉我的一条线索，关于混沌与那个由克劳德·香农发明的信息论。混沌创造出信息——另一个似是而非的悖论。这条线索接上了贝尔纳多·休伯曼的一个观察：他正在见证一些复杂行为出人意料地从信息网络中涌现出来。8 某种东西正在到来，而我们最终得以开始目睹它的真面目。
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8例见：Bernardo A. Huberman, The Laws of the Web (Cambridge, MA: The MIT Press, 2001).
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詹姆斯·格雷克
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2008 年 2 月
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于佛罗里达州基韦斯特
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