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谢弗还计算了其李雅普诺夫指数，并尝试了庞加莱映射。“更重要的是，”谢弗说道，“如果你仔细看看跃入眼帘的图像，你就会说，‘天哪，这根本就是一回事’。”21 尽管吸引子是混沌的，但鉴于模型的决定论性质，某种程度的可预测性变得可能。某一年的麻疹高发病率后面会跟着下一年的发病率骤降。而在某一年的中等发病率之后，下一年的发病水平只会出现略微变化。某一年的低发病率则会导致最大的不可预测性。谢弗的模型也预测到了通过大规模接种疫苗来增加动力系统的阻尼所导致的后果——这些后果原本在标准的流行病学模型中是无法得到预测的。
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21谢弗。
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在集体层面上与在个人层面上，混沌的思想是以不同的方式逐步推进的，也是以不同的理由诱发改变的。对于谢弗来说，就像其他很多人一样，从传统科学到混沌的转变来得出人意料。谢弗是罗伯特·梅在 1975 年大声疾呼的理想对象，但谢弗读过梅的论文，然后就把它抛在了脑后。他当时觉得，其中的数学思想对于应用生态学家想要研究的那类系统来说完全不切实际。想来奇怪，他对生态学了解得这么深，以至于他反而把握不到梅的主旨。他觉得，这些思想是一维映射——它们对那些连续变化的系统能有什么用处？所以当一位同事告诉他，“去读读洛伦茨”时，他把文献信息记在了一张纸条上，然后就没有再费劲去找它。
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多年以后，谢弗转到了位于沙漠边上的亚利桑那州图森市，每到夏天，他就前往市区以北的圣卡塔利娜山脉，在那里的灌木丛带，相较于沙漠地表的炙烤，天气还好只是热而已。22 在六七月的灌木丛间，趁着春花烂漫刚过而夏天雨季未到，谢弗带领着他的研究生考察不同种类的蜂和花。这个生态系统容易测量，尽管其存在年际变化。谢弗统计每根花梗上吸引的蜂的数量，用移液管吸取花朵来测量花粉数量，然后通过数学方法分析数据。熊蜂与蜜蜂竞争，蜜蜂与木蜂竞争，然后谢弗给出了一个令人信服的模型来试图解释这些种群的数量波动。
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22谢弗；also William M. Schaffer,“A Personal Hejeira,”unpublished.
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到了 1980 年，他知道肯定哪里出了问题。他的模型坏掉了。事实上，花蜜争夺战中还有一个重要选手，那就是一直被他忽视的蚂蚁。有些同事猜测异常的冬季天气也会有影响，其他同事则猜测是异常的夏季天气。谢弗考虑过加入更多变量来让自己的模型变得更复杂，但他屡屡受挫。于是，在研究生之间出现了这样的说法：这个夏天跟谢弗一起在山上的日子大概会不好过。再然后，一切发生了转变。
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他碰巧读到了一份预印本，讲的是在一个复杂的实验室实验中的化学混沌，而他感到那篇论文的作者们当初遇到的正是他此刻遇到的问题：监测一个容器里的数十种不断波动的反应产物几乎是不可能的，就像监测亚利桑那的山脉中数十种物种的数量变化那样。但他们在自己失败的地方成功了。于是他开始去了解重构相空间。他终于开始阅读洛伦茨的作品，然后是约克的，还有其他人的。当时在亚利桑那大学有一个系列讲座，讲“混沌里的秩序”。哈里·斯温尼也来了，并且斯温尼知道如何谈论这些实验。当他开始解释化学混沌，展示出一张奇怪吸引子的幻灯片，然后说“这是些实实在在的数据”时，谢弗不禁感到脊梁一阵发冷。
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“突然之间，我知道自己的宿命就在于此。”谢弗这样说道。他接下来有一年的学术休假机会。于是他撤回了原来向国家科学基金会提出的资助申请，转而去申请奖金可以自由支配的古根海姆奖。他现在知道了，在山间，蚂蚁的数量随着季节而发生变化。蜜蜂时而悬停，时而飞驰，发出动态的嗡嗡声。云彩飘过天边，变化万千。他无法再以旧的方式工作了。
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混沌：开创一门新科学 补记
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（补记的注释为译者所加，供参考。）
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即便在现在，“混沌理论”（chaos theory）听上去仍然是一个有点儿自相矛盾的说法。在 20 世纪 80 年代，“混乱”（chaos）和“理论”（theory）还是两个看上去风马牛不相及的单词，更别说放在同一个句子里了。当初朋友们听说我正在收集材料，准备写作一本讲“混乱”的书（并且是一本讲科学的书）时，他们不免又惊讶又困惑。多年以后，就有个朋友告诉我，她当时以为我在写作有关“瓦斯”（gas）的东西。正如本书副书名所说的，混沌在那时是一门新科学——奇怪得不似此间之物，令人激动却难以接受。
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在过去几十年间，发生了怎样的变化啊！混沌的思想已经不仅为主流科学，也为整个文化所接受并加以内化。尽管如此，即便现在，仍有大量科学家觉得混沌奇怪得不似此间之物，令人激动却难以接受。
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今天，我们所有人都听说过混沌，至少多少有一点儿。“我到现在还不是很清楚混沌是什么。”在 1993 年的电影《侏罗纪公园》中，劳拉·德恩饰演的角色这样说道，从而给了杰夫·戈德布卢姆饰演的角色（他自称是一位“混沌学家”）一个机会在女士面前表现一番：“它简单来说就是处理复杂系统中的不可预测性……一只蝴蝶在亚马孙河扇动翅膀，然后得克萨斯州的天气就从原来可能的晴天变成了雨天。”在那个时候，蝴蝶效应已然踏上了最终沦为一种大众文化的陈词滥调的不归路：它催生出了至少两部电影、《巴特利特名言录》里的一个条目、一段音乐录影带，以及数以千计的网站和博客。〔只不过地点在不断变化：那只蝴蝶在法国巴黎、秘鲁、美国加利福尼亚州、波利尼西亚塔西提岛和南美洲扇动翅膀，然后在得克萨斯州、佛罗里达州、纽约、内布拉斯加州、堪萨斯州和中央公园就出现了降雨（或飓风、龙卷风、风暴）。〕经过 2005 年的飓风季后，《今日物理》杂志上就出现了一篇题为《与蝴蝶效应战斗到底》的文章，装作一本正经地将一切归罪于一些纠集队伍的蝴蝶：“不免让人脑海中突然浮现一些‘鳞翅目恐怖分子训练营’的样子。”1
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1F. Alex Nava,“Battling the Butterfly Effect,”Physics Today 59 (2006), p. 14.
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混沌的一些方面（通常是不同的方面）已经一边被现代投资管理研究者，另一边被后现代文学理论研究者所借鉴。这两帮人都已经为像“有序的无序”这样的说法找到用武之地，尤其常见于博士论文的题目中。一些吸引人的文学人物，比如莎士比亚笔下的克利奥帕特拉，就被视为“奇怪吸引子”。金融市场中的一些图形模式也是如此。而在我看来，这些思想最有力的艺术呈现来自汤姆·斯托帕德的话剧《世外桃源》，该剧是在《侏罗纪公园》首映的前几个月在伦敦首演的。它也塑造了一位醉心于混沌的数学家。“这种古怪东西，”他这样说道，“正逐渐得到证明，它才是自然界的数学。”2 斯托帕德则进一步从有序的无序延伸到了在英式花园景观与原野之间、在古典主义与浪漫主义之间的张力。他代为说出了本书中的一些声音，而在这里引用他的话，无异于要陷入一种反馈回路，但我终究无法忍住。他把握到了如此多年轻研究者在发现混沌之时的那种兴奋和喜悦。他看到了正在打开的大门以及远处的景色。
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2Tom Stoppard, Arcadia (London: Faber and Faber, 1993), p. 45.
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那些构成我们生活的日常尺寸的事物、那些人们为之写诗的东西（云彩、水仙、瀑布，以及当倒入稀奶油时，在一杯咖啡里所发生的情形），所有这些事物都充满奥秘，在我们看来就像天体之于古希腊人那样神秘。……未来是无序的。像这样的一扇大门，自我们直立行走以来，已经被打开过五六次。这是你能遇上的最好的时代，因为几乎每一样你原本以为自己知道的东西其实都是错误的。3
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3补记的一些补记：洛伦茨于 2008 年 4 月 16 日去世，享年 90 岁；曼德尔布罗特于 2010 年 10 月 14 日去世，享年 85 岁；费根鲍姆于 2019 年 6 月 30 日去世，享年 74 岁；梅于 2020 年 4 月 28 日去世，享年 84 岁。四川大学纳米生物医学技术与膜生物学研究所下设八个实验室，其中便包括 Benoit Mandelbrot 生物数学与计算生物学实验室。——译者注
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大门现在不只是被打开，而是洞开，并且新一代的科学家已经跟上，带着一套对于自然的运作方式的更稳健的假设。他们知道，一个复杂系统可以变得非常古怪。他们也知道，当这确实发生时，你仍然可以与它对视，并战而胜之。跨越学科分野进行交流，分享有关标度模式或网络化行为的方法论，到现在即便还不是新的常规，至少也不再是例外了。
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整体上看，当初的混沌先驱者们都已从江湖回归庙堂，并在科学建制中享有一席之地。爱德华·洛伦茨，作为一位备享殊荣的 MIT 荣休教授，在耄耋之年仍被看到回学校工作，并从他在 54 号楼高层的办公室里观察天气。米切尔·费根鲍姆后来加入美国洛克菲勒大学，并在那里建立了一个数理物理学实验室。罗伯特·梅后来成为英国皇家学会主席以及英国首相的首席科学顾问，并在 2001 年受封为“牛津的梅男爵”。至于贝努瓦·曼德尔布罗特，他放在自己耶鲁大学的个人主页上的一份 2006 年“学术简历”就列出了二十四项奖项和奖励、两项奖章、十九个“名誉学位及类似荣誉”、十二个学术团体的会员资格、十五个编委会的编委身份，以及其他一些带有他的名字的东西，包括一棵位于匈牙利小镇巴拉顿菲赖德的湖边公园的“诺贝尔小径边上的树”、一家在中国的实验室和一颗小行星。4
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4Arcadia, p. 48.
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他们当初发现的原理以及他们当初发明的概念一直在继续演化——首先便是“混沌”这个词本身。到了 20 世纪 80 年代中期，这个词已然被许多科学家定义得相当狭隘（参见第十一章，大家对这个词的说法），他们用它特指由诸如“复杂系统”这样的更一般用语所指的那类现象的一个特殊子集。不过，敏锐一些的读者或许可以体会到，我当时其实更偏好约瑟夫·福特那个没有太多限定的定义（“从秩序和可预测性的枷锁中最终解放出来的动力学……”），并且现在仍然如此。但一切终究还是朝着专业化的方向演进了，因而严格说起来，“混沌”今天已是一种非常特定的东西。当亚尼尔·巴亚姆在撰写一部近千页的教科书《复杂系统的动力学》时，他在第一章第一节就讲完了“混沌”本身。5（“我必须说，第一章有 300 页之多，好不好？”他这样说道。）接下去他就开始讲起随机过程，建模和模拟，元胞自动机，计算理论和信息论，标度、重整化和分形，神经网络和吸引子网络，均相系统和非均相系统，如此等等。
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5Yaneer Bar - Yam, Dynamics of Complex Systems (Reading, MA: Addison - Wesley, 1997).
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