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我们可以这样来打比方。如果你在中学里好好地听过物理课，你应该知道势能的转化。一个体重100公斤的人从1米高的台阶上跳下来，他/她会获得1000焦耳的能量，当然，这些能量会转化为落下时的动能。但如果情况是这样的：我们通过某种方法得知，一个体重100公斤的人跳下了若干级高度相同的台阶后，总共释放出了1000焦耳的能量，那么我们关于每一级台阶的高度可以说些什么呢？
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量子化的台阶高度
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明显而直接的计算就是，这个人总共下落了1米，这就为我们台阶的高度加上了一个严格的限制。如果在平时，我们会承认一级台阶可以有任意的高度，完全看建造者的兴趣。但如果加上我们这个条件，每一级台阶的高度就不再是任意的了。我们可以假设总共只有一级台阶，那么它的高度就是1米。或者这个人总共跳了两级台阶，那么每级台阶的高度是0.5米。如果跳了3次，那么每级就是1/3米。如果你是间谍片的爱好者，那么大概你会推测每级台阶高1/39米。但无论如何，我们不可能得到这样的结论，即每级台阶高0.6米。道理是明显的：高0.6米的台阶不符合我们的观测（总共释放了1000焦耳能量）。如果只有一级这样的台阶，那么它带来的能量就不够；如果有两级，那么总高度就达到了1.2米，导致释放的能量超过了观测值。如果要符合我们的观测，必须假定总共有12 /3 级台阶，而这无疑是荒谬的，因为小孩子都知道，台阶只能有整数级。
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在这里，台阶数“必须”是整数，就是我们的量子化条件。这个条件就限制了每级台阶的高度只能是1米，或者1/2米，或者1/3米……而不能是这其间的任何一个数字。
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原子和电子的故事在道理上基本和这个差不多(9) 。我们还记得，在卢瑟福模型里，电子像行星一样绕着原子核运行。当电子离核最近的时候，它的能量最低，可以看成是在“平地”上的状态。但是，一旦电子获得了特定的能量，它就获得了动力，向上“攀登”一级或几级台阶，到达一个新的轨道。当然，如果没有了能量的补充，它又将从那个高处的轨道上掉落下来，一直回到“平地”状态为止，同时把当初的能量再次以辐射的形式释放出来。
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关键是，我们现在知道，在这一过程中，电子只能释放或吸收特定的能量（由光谱的巴尔末公式给出），而不是连续不断的。玻尔做出了合理的推断：这说明电子所攀登的“台阶”，它们必须符合一定的高度条件，而不能像经典理论所假设的那样，是连续而任意的。连续性被破坏，量子化条件必须成为原子理论的主宰。
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玻尔现在清楚了，氢原子的光谱线代表了电子从一级特定的台阶跳跃到另一级台阶所释放的能量。因为观测到的光谱线是量子化的，所以电子的“台阶”（或者轨道）必定也是量子化的，它不能连续而取任意值，而必须分成“底楼”“一楼”“二楼”等。在两层“楼”之间，是电子的禁区，它不可能出现在那里，正如一个人不能悬在两级台阶之间飘浮一样。如果现在电子在“三楼”，它的能量用W3 表示，那么当这个电子突发奇想，决定跳到“一楼”（能量W1 ）的期间，它便释放出了W3 －W1 的能量。我们要求大家记住的那个公式再一次发挥作用，W3 －W1 ＝hν。所以这一举动的直接结果就是，一条频率为ν的谱线出现在该原子的光谱上。
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玻尔所有这些思想转化成理论推导和数学表达，并以三篇论文的形式最终发表。这三篇论文（或者也可以说，一篇大论文的三个部分），分别题名为“论原子和分子的构造”（On the Constitution of Atoms and Molecules），“单原子核体系”（Systems Containing Only A Single Nucleus）和“多原子核体系”（Systems Containing Several Nuclei），于1913年3月到9月陆续寄给了远在曼彻斯特的卢瑟福，并由后者推荐发表在《哲学杂志》（Philosophical Magazine ）上。这就是在量子物理历史上划时代的文献，亦即伟大的“三部曲”。
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玻尔原子中的电子跃迁
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这确确实实是一个新时代的到来。如果把量子力学的发展史分为三部分，1900年的普朗克宣告了量子的诞生，那么1913年的玻尔则宣告它进入了青年时代。一个完整的关于原子的理论体系第一次被建造起来，虽然我们将会看到，这个体系还留有浓重的旧世界的痕迹，但它的意义却是无论如何不能低估的。量子第一次使全世界震惊于它的力量，虽然它的意识还有一半仍在沉睡中，虽然它自己仍然置身于旧的物理大厦之内，但它的怒吼已经无疑使整个旧世界摇摇欲坠，并动摇了延绵几百年的经典物理根基。神话中的巨人已经开始苏醒，那些藏在古老城堡里的贵族，颤抖吧！
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(1) 如W. Hallwachs、J.J. Thomson、P. Lenard等。
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(2) 很久之后，科学史家们才发现，在汉斯出生之前，其实爱因斯坦和玛利奇还曾生过一个小女儿，名叫丽莎。但由于经济状况捉襟见肘，两人无力抚养这个女儿，不得不把她送了人。寻找丽莎的下落成为科学史界最为关注的话题之一，不过至今我们仍然对她知之甚少。很多人的推测是，丽莎在被送人后不久，就因为热病而去世了。
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(3) 正式写完是17日，杂志社收到论文是18日。
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(4) 第1篇是1901年发表的关于毛细现象的文章，随后1902年有两篇，1903年和1904年各有一篇。
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(5) 对于更严肃的科学史的读者来说，这里需要指出，爱因斯坦的理论和普朗克的理论出发点是非常不同的。爱因斯坦并非从普朗克的黑体公式出发得到他自己的光量子理论，相反，他甚至一度认为普朗克的黑体公式与光量子是不相容的，于是刻意使用了不同于普朗克h常数的表达方法。但是量子的概念则的确是从普朗克那里继承的。
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(6) 不过，牛顿1666年在引力方面的思想进展是有限的。我们在史话的后面会讨论这个问题。
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(7) 当然，许多人会争论说，牛顿在1665年和1666年的成就其实不相上下，所以1665年也是奇迹年。
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(8) 见1911年10月23日致爱因斯坦的信件。德文的Hexensabbat，是指中世纪传说中女巫与妖魔每年一度的大聚会。
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(9) 当然，事实上要复杂得多，在原子里每级“台阶”并不是一样高的。
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上帝掷骰子吗？：量子物理史话（升级版） [:1700958609]
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上帝掷骰子吗？：量子物理史话（升级版） 4 Into the Mist 白云深处
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