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这里面,横坐标是起点站,纵坐标是终点站。现在这张表格里的每一个数字都是实实在在可以观测和检验的了。比如第三行第一列的那个1.5,它的横坐标是A,表明从A站出发。它的纵坐标是C,表明到C站下车。那么,只要某个乘客真正从A站坐到了C站,他就可以证实这个数字是正确的:这个旅途的确需要1.5块钱车费。
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海森堡的表格和玻尔的不同,它没有做任何假设和推论,不包含任何不可观察的数据。但作为代价,它采纳了一种二维的庞大结构,每个数据都要用横坐标和纵坐标两个变量来表示。正如我们不能用νx ,而必须用νx,y 来表示电子频率一样。更关键的是,海森堡争辩说,所有的物理规则也要按照这种表格的方式来改写。我们已经有了经典的动力学方程,现在我们必须全部把它们按照量子的方式改写成某种表格方程。许多传统的物理变量,现在都要看成是一些独立的矩阵来处理。在玻尔和索末菲的旧原子模型里,用傅里叶级数展开的电子运动方程,也必须用矩阵重新加工,把不可观察的泥沙剔除出去,注入混凝土的坚实基础―可实际检验的物理量。
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但是难题来了,我们现在有一个变量p,代表电子的动量;还有一个变量q,代表电子的位置。本来这是两个经典变量,我们应该把它们相乘,大家都没有对此表示任何疑问。可现在,海森堡把它们改成了矩阵的表格形式,这就给我们的运算带来了麻烦。p和q变成了两个“表格”!请问,你如何把两个“表格”乘起来呢?
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或者我们不妨先问自己这样一个问题:把两个表格乘起来,代表了什么意义呢?
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为了容易理解,我想让大家做一道小学生水平的数学练习:乘法运算。只不过这次乘的不是普通的数字,而是两张表格:Ⅰ和Ⅱ。它们的内容如下:
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那么,各位同学,Ⅰ×Ⅱ等于几?这道题就当是今天的家庭作业,现在我们暂时下课。
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饭后闲话:男孩物理学
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1925年,当海森堡做出他那突破性的贡献的时候,他刚刚24岁。尽管在物理上有着极为惊人的天赋,但海森堡在别的方面无疑还只是一个稚气未脱的大孩子。他兴致勃勃地跟着青年团去各地旅行,在哥本哈根逗留期间,他抽空去巴伐利亚滑雪,结果摔伤了膝盖,躺了好几个礼拜。在山谷田野间畅游的时候,他高兴得不能自已,甚至说“我连一秒种的物理都不愿想了”。这种政治和为人处世上的天真在后来的岁月里也一再地显露出来。
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量子论的发展几乎就是年轻人的天下。爱因斯坦1905年提出光量子假说的时候,也才26岁。玻尔1913年提出他的原子结构的时候,28岁。德布罗意1923年提出相波的时候,31岁(还应该考虑到他并非科班出身)。而1925年,当量子力学在海森堡的手里得到突破的时候,以及后来在历史上闪闪发光的那些主要人物也几乎都和海森堡一样年轻:泡利25岁,狄拉克23岁,乌仑贝克25岁,古兹密特23岁,约尔当23岁。和他们比起来,38岁的薛定谔和43岁的波恩简直算是老爷爷了。量子力学被人们戏称为“男孩物理学”,波恩在哥廷根的理论班,也被人叫作“波恩幼儿园”。
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不过,这只说明量子论的锐气和朝气。在那个神话般的年代,象征了科学永远不知畏惧的前进步伐,开创出一个前所未有的大时代来。“男孩物理学”这个带有传奇色彩的名词,也将成为科学史上一段永远令人遐想的佳话吧。
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Part. 3
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好了各位同学,我们又见面了。上次我们布置了一道练习题,不知大家有没有按时完成作业呢?不管怎样都好,现在我们一起来把它的答案求解出来。
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出于寓教于乐的目的,我们还是承接上一节,用比喻的方式来解答这个问题。大家还记得每张表格代表了一种海森堡式的车费表,那么现在我们的Ⅰ和Ⅱ就分别成了两条路线的旅游巴士,在两个城市之间来往,只不过收费有所不同而已。我们把它们称为巴士Ⅰ号线和巴士Ⅱ号线。为了再形象化一点,我们假设这两个城市是隔着罗湖桥毗邻的深圳和香港。
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这样的话,我们的表格就有了具体的现实意义。如前面已经说明的那样,表的横坐标是出发站,纵坐标是终点站。所以对于巴士Ⅰ号线来说,在深圳市内游玩需要1块钱车费,从深圳出发到香港则要7块钱。反过来,从香港出发回深圳要8块钱,而在香港市内观光则需3块钱(2) 。Ⅱ号表格里的数字与此类似。
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好吧,到目前为止一切都不错,可是,这到底有什么意思呢?Ⅰ×Ⅱ到底是多少呢?这种运算代表什么意义呢?和我们的巴士旅游线又有什么关系呢?暂且不急,让我们一步一步地来解决这个问题。
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车费表的乘法
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首先要把握大方向。Ⅰ是一个2×2的表格,Ⅱ也是一个2×2的表格。那么,我们有理由去猜测它们的乘积应该也是一个2×2的表格。
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