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我们不妨把结果整个算出来：
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哇，真的非常不同，每个数字都不一样，Ⅰ×Ⅱ ≠ Ⅱ×Ⅰ！唉，这可真让人惋惜，原来我们还以为这种表格式的运算至少有点创意的，现在看来浪费了大家不少时间，只好说声抱歉。但是，慢着，海森堡还有话要说，先别为我们死去的脑细胞默哀，它们的死也许不是完全没有意义的。
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大家冷静点，大家冷静点，海森堡摇晃着他那漂亮的头发说，我们必须学会面对现实。我们已经说过了，物理学必须从唯一可以被实践的数据出发，而不是靠想象和常识习惯。我们要学会依赖数学，而不是日常语言，因为只有数学才具有唯一的意义，才能告诉我们唯一的真实。我们必须认识到这一点：数学说什么，我们就得接受什么。如果数学说Ⅰ×Ⅱ ≠Ⅱ×Ⅰ，那么我们就得这么认为，哪怕世人用再嘲讽的口气来讥笑我们，我们也不能改变这一立场。何况，如果仔细审查这里面的意义，也并没有太大的荒谬：先搭乘Ⅰ号线，再转Ⅱ号线，这和先搭乘Ⅱ号线，再转Ⅰ号线，导致的结果可能是不同的，有什么问题吗？
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好吧，有人讽刺地说，那么牛顿第二定律究竟是F＝ma，还是F＝am呢？
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海森堡冷冷地说，牛顿力学是经典体系，我们讨论的是量子体系。永远不要对量子世界的任何奇特性质过分大惊小怪，那会让你发疯的。量子的规则并不一定要受到乘法交换率的束缚。
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他无法做更多的口舌之争了，1925年夏天，海森堡被一场热病所感染，不得不离开哥廷根，到北海的一个小岛赫尔格兰（Helgoland）去休养。但是他的大脑没有停滞，在远离喧嚣的小岛上，海森堡坚定地沿着这条奇特的表格式道路去探索物理学的未来。而且，他很快就获得了成功。事实上，只要把矩阵的规则运用到经典的动力学公式里去，把玻尔和索末菲旧的量子条件改造成新的由坚实的矩阵砖块构造起来的方程，海森堡可以自然而然地推导出量子化的原子能级和辐射频率。而且这一切都可以顺理成章从方程本身解出，不再需要像玻尔的旧模型那样，强行附加一个不自然的量子条件。海森堡的表格的确管用！数学解释一切，我们的想象是靠不住的。
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虽然，这种古怪的不遵守交换率的矩阵乘法到底意味着什么，无论对于海森堡，还是当时的所有人来说，都还仍然是一个谜题，但量子力学的基本形式却已经得到了突破进展。从这时候起，量子论将以一种气势磅礴的姿态向前迈进，每一步都那样雄伟壮丽。接下来的3年是梦幻般的3年，是物理史上难以想象的3年，理论物理的黄金年代，终于要放射出它最耀眼的光辉，把整个20世纪都装点得神圣起来。
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海森堡后来在写给荷兰学者范德沃登（Van der Waerden）的信中回忆道，当他在那个石头小岛上的时候，有一晚忽然想到体系的总能量应该是一个常数。于是他试着用他那规则来解这个方程以求得振子能量。求解并不容易，他做了一个通宵，但求出来的结果和实验符合得非常好。于是他爬上一个山崖去看日出，同时感到自己非常幸运。
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是的，曙光已经出现，太阳正从海平线上冉冉升起，万道霞光染红了海面和空中的云彩，在天地间流动着奇幻的辉光。在高高的石崖顶上，海森堡面对着壮观的日出景象，他脚下碧海潮生，一直延伸到无穷无尽的远方。是的，他知道，这是属于自己的时刻，他已经做出了生命中最重要的突破，而物理学的黎明也终于到来。
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饭后闲话：矩阵
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我们已经看到，海森堡发明了这种奇特的表格，Ⅰ×Ⅱ ≠ Ⅱ×Ⅰ，连他自己都没把握确定这是个什么怪物。当他结束养病，回到哥廷根后，就把论文草稿送给老师波恩，让他评论。波恩看到这种表格运算大吃一惊，原来这不是什么新鲜东西，正是线性代数里学到的“矩阵”！回溯历史，这种工具早在1858年就已经由一位剑桥的数学家Arthur Cayley所发明，不过当时不叫“矩阵”而叫作“行列式”（determinant，这个单词后来变成了另外一个意思，虽然还是和矩阵关系很紧密）。发明矩阵最初的目的，是简洁地求解某些微分方程组（事实上直到今天，大学线性代数课还是主要解决这个问题）。但海森堡对此毫不知情，他实际上不知不觉地“重新发明”了矩阵的概念。波恩和他那精通矩阵运算的助教约尔当随即在严格的数学基础上发展了海森堡的理论，进一步完善了量子力学，我们很快就要谈到。
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数学在某种意义上来说总是领先的。Cayley创立矩阵的时候，自然想不到它后来会在量子论的发展中起到关键作用。同样，黎曼创立黎曼几何的时候，又怎会料到他已经给爱因斯坦和他伟大的相对论提供了最好的工具。
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乔治·盖莫夫写过一本极受欢迎的老科普书《从一到无穷大》（One,Two,Three…Infinity ），这本书如此风靡全球，以致最近还出了一个新的中文版。盖莫夫在书里说，目前数学只有一个大分支还没有派上用场（除了做做智力体操之外），那就是数论。不过盖莫夫说这话时却没有想到，随着计算机革命的到来，古老的数论已经以惊人的速度在现代社会中找到了它的位置，开始大显身手。基于大素数原理的加密、解密和数字签名算法（如著名的公钥算法RSA）已经成为电子安全不可缺少的部分。我们每天上网和进行电子交易的时候，全靠它们的保护才使得黑客无法顺利地窃取你的隐私信息。我们在史话后面谈到量子计算机的时候还会回到这个话题。
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到今天为止，数论领域里已经有许多著名的难题被解开，比如四色问题，费马大定理。当然也有哥德巴赫猜想等，至今悬而未决。天知道，这些理论和思路是不是也会在将来给某个物理或者化学理论开道，打造出一片全新的天地。
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上帝掷骰子吗？：量子物理史话（升级版） [:1700958619]
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Part. 4
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从赫尔格兰回来后，海森堡找到波恩，请求允许他离开哥廷根一阵，去剑桥讲课。同时，他也把自己的论文给了波恩过目，问他有没有发表的价值。波恩显然被海森堡的想法给迷住了，正如他后来回忆的那样：“我对此着了迷……海森堡的思想给我留下了深刻的印象，对我们一直追求的那个体系来说，这是一次伟大的突破。”于是当海森堡去英国讲学的时候，波恩就把他的这篇论文寄给了《物理学杂志》，并于7月29日发表。这无疑标志着新生的量子力学在公众面前的首次亮相。
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波恩Max Born 1882—1970
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但海森堡古怪的表格乘法无疑也让波恩困扰，他在7月15日写给爱因斯坦的信中说：“海森堡新的工作看起来有点神秘莫测，不过无疑是很深刻的，而且是正确的。”但是，有一天波恩突然灵光一闪，他终于想起来这是什么了。海森堡的表格正是他从前在布雷斯劳大学读书时所学过的那个“矩阵”！
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但是对于当时全欧洲的物理学家来说，矩阵几乎是一个完全陌生的名字，甚至连海森堡自己，也不见得对它的性质有完全的了解。波恩决定为海森堡的理论打一个坚实的数学基础，7月19日，在去往一个学术会议的火车上，他遇到了泡利，并表达了希望与之合作的想法。可是泡利对此持有强烈的怀疑态度，他以他标志性的尖刻语气对波恩说：“是的，我就知道你喜欢那种冗长和复杂的形式主义，但你那一文不值的数学只会损害海森堡的物理思想。”
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一个毛头小伙居然对自己以前的导师说出这样的话，在许多人看来一定是狂妄和不可一世的。不过话又说回来，不狂妄自大的泡利，还能是那个名垂青史的伟大的泡利吗？
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波恩的涵养倒也相当之好，大概没人比他更了解泡利的性格了。无端端地碰了一鼻子灰后，他只好摇头苦笑，自认倒霉，转向自己另外一位年轻助教：帕斯库尔·约尔当。约尔当和泡利相比几乎是两个极端：他害羞而内向，公开说话都缺少勇气，基本上泡利所有的性格指数乘以－1就是约尔当的写照了。但在学术上，约尔当也毫不含糊，他和波恩两人欣然合作，很快写出了著名的论文“论量子力学”（Zur Quantenmechanik），发表在《物理学杂志》上。在这篇论文中，两人用了很大的篇幅来阐明矩阵运算的基本规则，并把经典力学的哈密顿变换统统改造成矩阵的形式。传统的动量p和位置q这两个物理变量，现在成为两个含有无限数据的庞大表格，而且正如我们已经看到的那样，它们并不遵守传统的乘法交换率：p×q ≠ q×p。
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