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冯·诺伊曼的错误
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1969年诺贝尔物理奖得主盖尔曼后来调侃地说：“玻尔给整整一代的物理学家洗了脑，使他们相信，事情已经最终解决了。”
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约翰·贝尔则气愤地说：“德布罗意在1927年就提出了他的理论。当时，以我现在看来是丢脸的一种方式被物理学界一笑置之，因为他的论据没有被驳倒，只是被简单地践踏了。”
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谁能想到，就连像冯·诺伊曼这样的天才，也有阴沟里翻船的时候。他的证明不成立！冯·诺伊曼关于隐变量理论无法对观测给出唯一确定解的证明建立在5个前提假设上，在这5个假设中，前4个都是没有什么问题的，关键就在第5个那里。我们都知道，在量子力学里，对一个确定的系统进行观测，我们是无法得到一个确定的结果的，它按照随机性输出，每次的结果可能都不一样。但是我们可以按照公式计算出它的期望（平均）值。假如对于一个确定的态矢量Ψ我们进行观测X，那么我们可以把它坍缩后的期望值写成〈X，Ψ〉。正如我们一再强调的那样，量子论是线性的，它可以叠加。如果我们进行了两次观测X，Y，它们的期望值也是线性的，即应该有关系：
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〈X+Y，Ψ〉＝〈X，Ψ〉＋〈Y，Ψ〉
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但是在隐变量理论中，我们认为系统光由态矢量Ψ来描述是不完全的，它还具有不可见的隐藏函数，或者隐藏的态矢量H。把H考虑进去后，每次观测的结果就不再随机，而是唯一确定的。现在，冯·诺伊曼假设：对于确定的系统来说，即使包含了隐变量H之后，它们也是可以叠加的。即有：
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〈X+Y，Ψ，H〉＝〈X，Ψ，H〉＋〈Y，Ψ，H〉
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这一步大大地有问题。对于前一个式子来说，我们讨论的是平均情况。也就是说，假如真的有隐变量H的话，那么我们单单考虑Ψ时，它其实包含了所有H的可能分布，得到的是关于H的平均值。但把具体的H考虑进去后，我们所说的就不是平均情况了！相反，考虑了H后，按照隐变量理论的精神，就无所谓期望值，而是每次都得到唯一的确定的结果。关键是，平均值可以相加，并不代表一个个单独的情况都能够相加！
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我们这样打比方：假设我们扔骰子，骰子可以掷出1－6点，那么我们每扔一个骰子，平均得到的点数是3.5。这是一个平均数，能够按线性叠加，也就是说，假如我们同时扔两粒骰子，得到的平均点数可以看成是两次扔一粒骰子所得到的平均数的和，也就是3.5+3.5=7点。再通俗一点，假设A、B、C三个人同时扔骰子，A一次扔两粒，B和C都一次扔一粒，那么从长远的平均情况来看，A得到的平均点数等于B和C之和。
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但冯·诺伊曼的假设就变味了。他其实是假定，任何一次我们同时扔两粒骰子，它必定等于两个人各扔一粒骰子的点数之和！也就是说只要三个人同时扔骰子，不管是哪一次，A得到的点数必定等于B加C。这可大大未必，当A掷出12点的时候，B和C很可能各只掷出1点。虽然从平均情况来看，A的确等于B加C，但这并非意味着每回合都必须如此！
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冯·诺伊曼的证明建立在这样一个不牢靠的基础上，自然最终轰然崩溃。首先挑战他的人是大卫·玻姆（David Bohm），当代最著名的量子力学专家之一。玻姆出生于宾夕法尼亚，他曾在爱因斯坦和奥本海默的手下学习和工作（事实上，他是奥本海默在伯克利所收的最后一个博士生）。爱因斯坦的理想也深深打动着玻姆，使他决意去追寻一个回到严格的因果律，恢复宇宙原有秩序的理论。1952年，玻姆复活了德布罗意的导波，成功地创立了一个完整的隐变量体系。全世界的物理学家都吃惊得说不出话来：冯·诺伊曼不是已经把这种可能性彻底排除掉了吗？现在居然有人举出了一个反例！
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奇怪的是，发现冯·诺伊曼的错误并不需要太高的数学技巧和洞察能力，但它硬是在30年的时间里没有引起注意。David Mermin揶揄道，真不知道它自发表以来是否有过任何专家或者学者真正研究过它。贝尔在访谈里则毫不客气地说：“你可以这样引用我的话：冯·诺伊曼的证明不仅是错误的，更是愚蠢的！”
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看来我们在前进的路上仍然需要保持十二分的小心。
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饭后闲话：第五公设
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冯·诺伊曼栽在了他的第五个假设上，这似乎是冥冥中的天道循环，2000年前，伟大的欧几里得也曾经在他的第五个公设上小小地绊过一下。
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无论怎样形容《几何原本》的伟大也不会显得过分夸张。它所奠定的公理化思想和演绎体系，直接孕育了现代科学，给它提供了最强大的力量。《几何原本》把几何学的所有命题推理都建筑在一开头给出的5个公理和5个公设上，用这些最基本的砖石建筑起了一幢高不可攀的大厦。
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对于欧氏所给出的那5个公理和前4个公设（适用于几何学的它称为公设），人们都可以接受。但对于第五个公设，却觉得有些不太满意。这个假设原来的形式比较冗长，人们常把它改成一个等价的表述方式：“过已知直线外的一个特定的点，能够且只能够画一条直线与已知直线平行。”长期以来，人们对这个公设的正确性是不怀疑的，但觉得它似乎太复杂了，也许不应该把它当作一个公理，而能够从别的公理中把它推导出来。但2000年过去了，竟然没有一个数学家做到这一点（许多时候有人声称他证明了，但他们的证明都是错的）！
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非欧几何
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欧几里得本人显然也对这个公设感到不安：相比其他4个公设，第五公设简直复杂到家了(7) 。在《几何原本》中，他小心翼翼地尽量避免使用这一公设，直到没有办法的时候才不得不用它，比如在要证明“任意三角形的内角和为180度”的时候。
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长期的失败使得人们不由得想，难道第五公设是不可证明的？如果我们用反证法，假设它不成立，那么假如我们导出矛盾，自然就可以反过来证明第五公设本身的正确性。但如果假设第五公设不成立，结果却导致不出矛盾呢？
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俄国数学家罗巴切夫斯基（N. Lobatchevsky）正是这样做的。他假设第五公设不成立，也就是说，过直线外一点，可以画一条以上的直线与已知直线平行，并以此为基础进行推演。结果他得到了一系列稀奇古怪的结果，可是它们却是一个自成体系的系统，它们没有矛盾，在逻辑上是自洽的！一种不同于欧几里得的几何——非欧几何诞生了！
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从不同于第五公设的其他假设出发，我们可以得到和欧几里得原来的版本稍有不同的一些定理。比如“三角形内角和等于180度”是从第五公设推出来的，假如过一点可以画一条以上的平行线，那么三角形的内角和便小于180度了。反之，要是过一点无法画已知直线的平行线，结果就是三角形的内角和大于180度。对于后者来说容易想象的就是球面，任何看上去平行的直线最终必定交会。比方说在地球的赤道上所有的经线似乎都互相平行，但它们最终都在两极点相交。如果你在地球表面画一个三角形，它的内角和会超出180度，当然，你得画得足够大才测量得到。传说高斯曾经把三座山峰当作三角形的三个顶点来测量它们的内角和，但似乎没有发现什么。不过他要是在星系间做这样的测量，其结果就会很明显了，星系的质量造成了空间的可观弯曲。
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罗巴切夫斯基假设过一点可以画一条以上的直线与已知直线平行，另一位数学家黎曼则假设无法画这样的平行线，创立了黎曼非欧几何。他把情况推广到n维，彻底奠定了非欧几何的基础。更重要的是，他的体系被运用到物理中去，并最终孕育了20世纪最杰出的科学巨构——广义相对论。
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