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理论家争相从基本物理原理出发去解释辐射曲线。普朗克在这个问题上花费了数年时间，却只取得部分成功。在19世纪即将结束的几个月里，他尝试着采用统计的手段，而这正是他之前所鄙夷的。
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山形曲线在概率论和统计领域是很常见的。举个例子，考虑多次掷一对骰子，并且画出你掷出2点、3点、4点一直到12点的次数。图1.2横轴代表掷的值（两个骰子点数之和）——从2到12，纵轴则代表着每个值出现的次数。可以肯定的是，你将最终得到一座小山，尽管并不是很完美对称的，但是在两端会很低，而在靠近中间逐步上升直至在中间的时候取得最大值，即在等于7的地方。关于这个形状的解释是基于如下思想，即实现给定的掷得点数方式的数目。只有一种方式获得2点（1，1），也只有一种方式获得12点（6，6）。
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但是7点则能以不超过六种的方式获得：（1，6），（6，1），（2，5），（5，2），（3，4）和（4，3）。中间值3，4，5和6以及8，9，10和11也是一样，每个值获得的方式都少于6种。当各种组合都是平等出现的时候，获得方式最多的点数将会赢，因此图像中间的峰，即在7点处，就可以很合理地得到解释。
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图1.2
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普朗克开始对辐射曲线做类似的事情。为此，他不得不把一个连续性问题转换成一个离散问题。骰子试验中横轴和纵轴都涉及数量，即两者都测量为简单整数。与此相反，在辐射曲线中，光的频率则被测量为从0到无穷的实数［彩虹并不只是由赤、橙、黄、绿、青、蓝、紫组成，如罗伊·G.毕夫（Roy G.Biv）所言，而是由无穷的不可数的色彩构成］。辐射曲线的纵轴也有很多问题。发热物体的能量同样是可测量但是不可数的。想数出大小，普朗克不得不将光滑的辐射曲线近似为类似于墨西哥金字塔一样的阶梯状。如果他让这些阶梯足够小，使这些阶梯小到难以感知到，这些锯齿形轮廓就可以被替换成光滑曲线。
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尽管普朗克和同时代的一些科学家一样不相信原子的存在，但是他想象力丰富。他知道一个炽热物体的热能是一些不可见运动的某种表现形式。我们所感知到的热，事实是物体内部物质的不可见摇晃或者振荡（你可以利用摩擦手掌或者用电钻钻一个硬物将运动转换成热）。基于这种理解，普朗克提出了一个天才的模型，在该模型中，频率和能量都是可数的。
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最简单的储能以及以确定频率振荡的设备是谐振子（这个迷人的“谐”字源于产生乐音的振荡）。一个谐振子或者简写成“振子”的例子是：一个重物系在弹簧上，放在无摩擦的表面上，弹簧另一端固定在墙上（见图1.3）。
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其他例子如音叉、音乐设备和钟摆。当弹簧松开的时候，振子既无动能也无储存在张开或压缩的弹簧中的势能。但是，当施加一些推力之后，它的能量将从动能慢慢转换成势能。反过来，这个过程的频率是固定的，大小用f表示。如果没有摩擦，它的总能量是一个常数，优雅的振动将一直持续下去。
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图1.3
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作为权宜之计，拼接一些数学技巧，普朗克把炽热物体（如一个装有正在燃烧的气体的小球）的总热能想象成物体内部分布着大量的没有特定结构的微小振动，这些振动的功能仅仅是通过固定频率振动来储存能量，以及一直以相同频率释放或者吸收光。它们并不是用来模拟其他数不尽的气体性质，如化学成分、密度和电阻等。普朗克的模型难以捉摸，但是却富有远见。
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随后事实越发清晰，即普朗克想象的小玩意儿确实是真的。这些谐振子就是组成发光球中振动的原子和分子，且事实上它们也释放和吸收光（虚构的模型中这个坚硬的墙代表的是大质量的气体分子，使原子差不多保持在其附近振动）。毫无疑问的是，原子的数量是巨大的，但是依旧可数且具有确定的数目（尽管在实际操作中数出它们的个数并不现实）。另外，正如他所言，普朗克谐振子“是单纯形式上的假设，并没有赋予它太多的意义”。类似于掷骰子从2到12这11个分立的数字，普朗克这个想象力上的大飞跃意义在于将一个范围内连续分布的频率分解成一系列分立、可数的频率。
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接下来，普朗克将纵轴，即辐射能量或者亮度分解成离散的阶梯，对应于骰子的每个值出现的次数。最后他做了一个闻所未闻的奇怪假设，即每个谐振子只能储存少量且等额的原子能量，即普朗克所言的“能量单元”。这是比仅仅分解纵轴更具意义的假设。对于每个谐振子，他将其分为能量包，并认为能量包可能有不同大小，且依赖于频率。假如能量包的能量为e，那么谐振子能储存的总能量为0、e、2e、3e，等等。这个序列不会趋向于无穷，因为炙热的球的能量只有那么多，谐振子储存的能量最多是球的总能量，不可能更多。这个微妙之处最终使计算变得不一样。这使计算很优雅且有限，而不是趋向于无穷。
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为了预测实际实验的辐射曲线，普朗克必须弄明白e的值。一个想象中的能量包的能量有多大？由已知的知识，当振幅不变时，能量和频率成正比，普朗克假设单个包的能量和谐振子的频率（由f表征）成正比（振荡越快，能量越大）。数学上看来，就是基本的能量包等于一个可调整的常数h乘以频率（这个可调整的常数被称为参数，可以微调以与环境相匹配）。公式表达即为：
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e=hf
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想象中充斥着储存在超大谐振子集合中的天文数字般的能量包，普朗克依旧能够计算出总能量在谐振子中分布方式的个数，并且画出气体球能量与频率的分布曲线。如同在掷骰子实验中一样，曲线的左端和右端最终比中间部分要低很多。通过改变h的数量级以及调整它的大小，普朗克以令人震惊的准确度重现了实验测量的辐射曲线。
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尽管这个成就使他获得了诺贝尔奖，但是他长久以来希望他的能量包只不过是计算上的应急之举，而一个新的改良的模型能够修复未破缺的连续性。他不能简单地忽略常数h或者让它消失，因为这个常数出现在了实验室测量的真实辐射曲线对应的最终表达式中，但是他希望这些小的谐振子和它们的微能量包仅仅是一个工具——就像将发光的网格线投影到纸上，这只是用来辅助绘画，最终还是要把它关掉。
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但是普朗克在计算谐振子和能量包上都犯了错。谐振子，如我之前提到的，是原子和分子。能量包，则被称为量子（quanta，量子的复数，拉丁文中意为“数量”）。现在被命名为普朗克常数的参数h，已经是量子力学领域最基本的组成单元。普朗克绝望之下的小技巧最终被证实是现代物理学诞生的开山之举。
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在爱因斯坦那里，普朗克的小小的公式e=hf变成了量子力学的象征，就像E=mc2是相对论的象征一样。这两个方程中，后者的名声更大，但是e=hf却更加强大。相对论中能量和质量的关系是从更基本的相对性原理推出的，与之不同的是，普朗克关于能量和频率之间的理论在早期量子力学中则是一个没有解释的公理。现在，它被认为是量子力学的结果，而量子力学则依赖于更基本的原理。
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在标准单位制下，h的现代值[4]为：
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h=0.000000000000000000000000000000000662606957焦耳/秒
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毫无疑问，科学计数法下表示为h≈6.63×10-34焦耳/秒更方便，但是写出代表许多个10的34个0的全部排列更直观地告诉我们在感官上无法触及原子的世界。我们视觉上能够触及的范围，从100千米或者说是1.0×105米，到一个小头发丝的宽度1微米，或者说是1.0×10-5米。超出了这10的11个因子范围的尺度，我们需要用望远镜和显微镜形式的机械性帮助。但是即使这样的机械性帮助仍旧无法抵达普朗克计算所需要的难以想象的极小尺度。量子王国是通过理性思辨，而不是直接由感官，甚至都不是由我们的测量仪器去揭秘的。
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普朗克如此不喜欢他的能量包，以至于他错过了他那小小公式的巨大意义。它的内在意义留给了爱因斯坦。仅5年后，他推动了量子从便利的数学虚构物向可测量的实在转变。爱因斯坦着手研究的是，能量是否如同光一样在传播中保持分立性的特点。作为一个巴伐利亚诞生的人，他曾经把这个问题用通俗的话表达出来：“尽管啤酒是一品脱一品脱[5]地卖，但这并不意味着它是由不可分的品脱单位组成[6]。”普朗克认为物质内部有类似的单元组分，爱因斯坦则表示光本身就是由许多能量包组成的，而这个组成成分被称为量子，随后被命名为光子。