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当然，安妮·欧克丽或许并不觉得太惊讶。如果考虑到空气的影响，枪的某些不确定的特性，甚至她自身脉搏的跳动，那么她击中硬币上的点的位置也将是随机分布的。她或许会想：“我不可能比这更精准了。”然而，经典物理学家则坚持认为，假如给定各种因素的细节，子弹的路径是可以预测的，并且可以达到任何想要的精度。在经典物理中，这只是统计的随机性，往往源于我们对某些微小的细节的忽略或者无知。我称之为安妮·欧克丽随机性。原则上经典力学并没有随机性。例如，硬币抛掷，其结果通常被认为是完全随机的，但是利用力学，每次的结果也是可以被预测的。安妮·欧克丽随机性是可以通过适当的方式消除的，虽然不能完全根除，但是可以无限接近你想要的精度。
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与之截然不同，电子的随机性则是不可避免的。即使我们把电子枪的尺寸和电子的速度都控制在足够的精度范围内，波函数传播仍有不可避免的随机性。在创立量子力学的早期，物理学家很难接受这种量子随机性。其中爱因斯坦一直没有接受这种观念，因为这与他辉煌且硕果累累的一生中所理解的物理完全不同。他察觉到其中的矛盾。虽然他对量子力学做出了非常重要的贡献，而且量子力学以惊人的速度获得了成功，但是他相信自己敏锐的物理直觉并不会欺骗他，因此他毫不忌讳地表达出自己对这个刚出生的量子理论的怀疑。他机智地提出各种异议，有些在他逝世多年之后才被证明是错的。爱因斯坦错了，量子随机性确实存在，但是一批爱因斯坦最忠诚的拥护者仍希望最终可以证明他是正确的。
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量子随机性（也被称为本质的或者固有的随机性）撼动了自亚里士多德以来的物理学的一块基石——因果律。任何一种现象或者事物都必然有其原因。虽然我们很难确定相应的起因，但通常假设它必然存在。如果安妮·欧克丽总是射中硬币上的字母L而不是Y，可以想象，经过足够多的努力我们肯定能够得到其中的原因。另外，电子由于遵循量子法则，则否定了这种可能性。对于一个像爱因斯坦那样的经典物理学家来说，抛弃因果律就等同于破坏了整个物理学。后面我们会讨论量子贝叶斯如何将物理学置于一个新的、更有弹性的基础之上，并使之能与固有的随机性自洽。
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电子枪绘出的图案为理解波函数的意义指明了方向。如果碰撞的点是完全无法预测的，那么这些不规则的点会覆盖整个屏幕，对电子的路径我们便一无所知。但是我们确实对此知道一些——事实上知道很多。波函数精准描绘出圆形的、对称的形状，而且点集中在中心，并且点的密度随着离中心的距离越大而递减。因此，电子枪给我们提供了一个随机却内含部分信息的例子（见图1.10）。
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科学现象往往遵循着类似的规则。通常一些现象很少能完全展示出所包含的信息或者完全不包含任何信息。例如，误差总是和测量形影相随。即使在生活中，绝对的确定性或者完全的随机性也很少出现，天气预报或者交通模式就是最好的例子。这两个例子的共同特点就是我们可以给出很多预测却不能百分之百的准确。数学中的概率便是用来处理类似情况的。概率这个概念在量子力学中与普朗克常数h同等重要。但是引入这个概念的结果则是十分微妙的。
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图1.11
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电子枪绘出的图案暗示着波函数并不是用来描述电子本身而是反映概率的。尤其是电子即将碰撞屏幕时的波函数决定了电子最终到达屏幕上任意点的概率。
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通过概率来解释波函数是量子力学带给物理学的重大改变[3]。
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在第3节我们讨论了光的双缝干涉实验，实验结果向我们展示了随机和规则是如何交融在一起的。两个分离的源发射出的光波干涉之后形成条纹状的图案，而每个光子则被记录为那些随机分散在照片底板上的点。
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1965年我刚刚开始教物理，同年，理查德·费曼（Richard Feynman）出版了他著名的教科书《费曼物理学讲义》。在书中他详细阐述了电子双缝干涉的理想实验进而讨论量子力学。设想左边是一个电子枪，中间是两个极小的双缝，而右边放置着荧光屏，当电子击中荧光屏时会产生一个斑点。2002年，该实验被一个英国的杂志《物理世界》评为“最优美的物理学实验”。
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在费曼的书出版之前，物理学家就已经做过该实验的简化版。但是直到2013年，技术上才足够成熟，费曼在半个世纪之前描述过的实验才能真正付诸实践。除了创造和探测单个电子的困难之外，另一个让人却步的现实阻碍就是双缝的尺度。用现在的说法，这些缝是纳米（nm）量级的（1nm=10-9m=十亿分之一米=百万分之一毫米），这么一个精密的工程是不可能在家中通过电线和绝缘胶带完成的。看到那些随机出现的点逐渐绘出条纹状的图案，我们犹如正在看量子力学是如何工作的，这一定是一种让人着迷的体验[4]。
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除了演示波粒二象性和量子随机性，这个实验也毫无疑问地展示了波函数的传播。每一个细缝仅有60纳米左右的宽度。这个数字说明我们可以忽略电子在发射点横向的具体位置，而屏幕上显示的条纹的宽度大概有300毫米。为了让波函数的两部分发生干涉，必须把双缝到屏幕之间的宽度增加5000倍。这显然说明了波函数扩散得非常开。
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仔细思考这个实验，我们很容易误入歧途！思考一束光从激光发射器到双缝，向前传播、干涉，最终产生条纹图案。当我们把光换成电子之后，似乎就变得不那么自然。这是因为我们知道电子只能一个接一个地通过双缝。更进一步，如果考虑在2013年那个实验中将双缝板和屏幕移开，将电子枪指向窗户，那么电子将会像蹒跚学步的小鸭子一样排成一排向前传播，但是在传播大约2000千米之后，它们就会分离开来。每一个电子都独立传播。双缝只是将波函数而不是电子本身分成两个可干涉的部分。而对于每个电子来说，在没有其他电子干扰的情况下，却莫名其妙地设法避免碰撞到那些条纹的暗区，就像有一股神秘的力量在操纵它一样。
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做双缝干涉的那个实验组基于他们的测量仪器、相关误差等仔细地计算了电子的波函数。实际的运算要比费曼书中考虑的理想化计算要复杂、冗长。测量成千上万个电子在屏幕上的位置之后，他们将结果与量子力学的预言比较。屏幕上展示的正是前面我们说到的条纹图案而不是随机的点。实验组最后简洁地评论道：“我们看到的结果正是量子力学所预言的。”他们艰辛的努力是值得的。
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[1]马克斯·普朗克得到的谐振子的能级稍微有点差别，与之不同，尼尔斯·玻尔用他自己的力学模型得到的氢原子能级是完全正确的，大约12年之后才有波函数的概念。
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[2]F=ma，其中m是物体的质量，a是它的加速度，F是引起物体加速的净外力的大小。
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[3]数学上描述波通常包括正值和负值，分别代表波的高度在x轴的上方或者下方。但是概率却不能为负值：它们是0和1之间的实数。更糟糕的是波函数通常包含虚数，如-1的根号。因此波函数的数值不能等价于概率。正确的数学描述是这样的：“概率密度等于波函数和它的复数共轭相乘。”我会简化为一些惯用语，例如，“波函数得出概率”。
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[4]关于这个实验可参考《费曼双缝干涉实验取得重大突破》（“Feynman’s Double-Slit Experiment Gets a Make over”）这篇文章，Physicsworld.com,March 14,2013,其中还有相关的视频，参考网址：http://physicsworld.com/cws/article/news/2013/mar/14/feynmans-double-slit-experiment-gets-a-makeover。
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概率的烦恼：量子贝叶斯拯救薛定谔的猫 [:1700964151]
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概率的烦恼：量子贝叶斯拯救薛定谔的猫 第6节 见证奇迹的时刻
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如果见证单独的电子逐渐在屏幕上绘出条纹图案是一段让你不安的经历，那么将其解释为波函数塌缩会让你更加困惑。为了帮助理解，我们仍将电子枪类比于一杆真正的枪。子弹从枪膛发射出之后以不变的速度运动，最终击中目标并且停下来。同样地，电子的波函数也根据量子力学的规则向前传播，最终突然改变它的特性转变为屏幕上的一个斑点。虽然这两种情况有相似的地方，但是它们的不同之处也是显著的，只是现在还不能明显看出来。
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子弹在任意时刻都是严格遵循牛顿运动定律的。
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而电子则表现得有些反叛。在电子碰撞到屏幕之前，它的波函数随时间演化，像平静湖面上的涟漪一样扩散。它的演化由量子力学的运动定律决定。相应地，在某特定点找到电子的概率也在空间中迅速扩展开。但是，当电子在屏幕上停止的时候，描述它的波函数也会立刻、彻底地改变它的特性。波函数塌缩了，同时概率也转变为（几乎完全）确定的信息——电子的位置。塌缩的过程没有任何规则、规律。它确实发生了。波函数塌缩的原因及方式自从90年前量子力学诞生开始就一直是物理学家争论的话题。