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除了用于描述电子自旋或者磁场，自旋波函数在其他方面也大有用武之地，它可以用来描述任何具有两个组态的量子系统。这样的例子有很多，比如，分子两种不同的结构之间的转换，线圈中顺时针或者逆时针的电流，原子中两能级系统，光子水平或垂直方向的极化，放射性的原子核的状态，等等。最简单的波函数都能够恰当描述类似的系统。由于自旋波函数十分简单，在大学开设的量子力学初级课程中，它逐渐取代了费曼的双缝干涉波函数。
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用表格的形式，电子自旋是用2×2的矩阵来描述的，这是最小的方阵（一个1×1的矩阵不应该被称为矩阵，它只是一个数字，而且并不能展示出量子叠加）。
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和电子自旋相似的系统无所不在，因此它们获得了专有的名字。任何只有两种可能态的量子系统被称为一个量子位（qubit，英文发音为cubit）。英文单词qubit是quantum bit（量子比特）的缩写，而bit（比特）这个英文单词是binary digit（二进制码）的缩写。经典的比特（bit）表示一个可以取值0或1的量，是从拨动开关开和关的状态抽象出来的符号。而一个量子位是一个真实的量子力学的物体或者系统，它指代具体的事物而非一个符号。
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但是要注意的是，量子位这个词与本书的主题量子贝叶斯理论（QBism）没有关系。有趣的是，英文单词qubit和QBism都有一个同音异意词cubit（腕尺）和Cubism（立体主义），它们分别指古时候一种测量长度的方式和20世纪初艺术的一个流派。不仅这两个同音异意词完全没有关系，而且qubit和QBsim也是毫不相关。qubit和QBsim的第一个字母q意义是一样的，都是指quantum（量子），但是qubit的小写字母b指的是binary（二进制的），而QBsim的大写字母B则指的是Thomas Bayes（托马斯·贝叶斯），他是18世纪的一个牧师。有时候混乱的科学术语会产生一些奇怪的组合。
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一个量子位的数学表达方式被称为量子位波函数（qubit wavefunction）。为了区分量子位和量子位波函数，本书中我将用斜体的量子位来表示量子位波函数。这种字体是为了强调两者的区别，因为在学术文献中柯日布斯基的警告经常被忽略[3]。
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对于特定的实验系统，通常可以用球面上的一个点来代表量子位。球面上的任意点都对应着一个概率。不管实验测量的结果是什么，在球面的两个极点分别被记为0和1，在这些极端点之间则表示这两个值的混合或者叠加。例如，在球面赤道上的点对应的量子位表示结果为0的概率为50%，就像抛硬币时正面向上的情况。在北半球的纬线代表着实验结果是0的概率要大于1，在南半球则相反（见图1.13）。
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图1.13
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和纬线不同，球面上点的经线并没有经典对应。这完全是量子力学的变量，代表着相位，对应着想象的抽象空间的角度。球面上两个相邻的量子位更倾向于干涉加强（两个波函数波峰遇波峰，波谷遇波谷），然而球体相互对立的两个点则干涉减弱（波峰遇波谷）。相位是效仿经典波，它最显著的一个特性就是叠加，量子力学最初就是由此受到启发，并在波函数中沿用了“波”字。
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因此，这个量子位球面直观展现了叠加现象，以及相应的概率解释。除了两个极点，球面其他地方的点并不能预言出单次测量的结果。重复进行一模一样的实验将得到一串随机的0和1组成的数字。点所在的纬度则预示着0和1在这一串数字中出现的概率。
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比较特殊的是两个极点，它们不是叠加的状态，没有相位，这反映了量子力学的不连续性。就像量子谐振子或者一个原子的能级是分立的、可数的，而非连续的，其他的很多测量结果的个数也都是可数的。电子的自旋就是如此，量子位有两种可能的结果，极点代表确定的状态。总之，这两个极点组成一个比特（bit）。
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或许量子位最引人注目的信息并不是我们看到的球面。它并不是一个电子的照片或者玻尔的氢原子模型。它存在于我们想象的三个维度中，而非我们现实的世界。这个球面的点隐含着实验测量结果出现的概率，但是当我们做出测量之后，系统将跳到0或者1。这种跳跃就是“臭名昭著”的波函数塌缩。
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球面上的点可能一直保持位置不变，也可以沿着某条规定的路径移动。例如，设想在某时刻产生一个有辐射性的原子核，我们可以用量子位的值来表示该原子核的状态。如果它已衰变分裂或者发射出某种辐射，那么将之记为1，反之则记为0。最初球面上的点在北极点，对应着0。随着时间的推移，该原子核已衰变的概率也在慢慢增加，所以对应的球面上的点也将向下逐渐滑向南极点。不管怎样，只要我们不观测原子核，球面上的点也绝不会到达南极点。如果你确实观测了原子核的状态，那么你会发现它已衰变或者仍保持稳定。这时，量子位将塌缩到其中一个极点。未观测前球面上点的路径是可以通过量子力学精确地预言出来的，但是量子力学却无法解释瞬时跳跃回北极点或者向下跳到南极点的情况。测量之后量子位将限定在一个比特的取值0或者1，但是测量前它并不对应一个比特的取值。
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量子位球的图像并没有解释叠加、概率、离散性或波函数塌缩，也不能展示它所代表的数学方程，但是它能够栩栩如生地展示量子力学最基本的要素。虽然它看起来和波没有丝毫关系，但我们仍称之为最简单的波函数图像。
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[1]一般情况下一个物体的转动程度是由角动量衡量的，而角动量依赖于物体的质量、形状和旋转速度。让人惊讶的是角动量的单位和普朗克常数h是一样的，这一巧合也启发了玻尔建立旧的氢原子模型。
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[2]“Raff i niert ist der Herr Gott,aber boshaf t ist Er nicht”,Alice Calaprice,The Expanded Quotable Einstein(Prince ton,NJ:Prince ton University Press,2000),241.
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[3]柯日布斯基为波兰裔美国学者，他发展了普通语义学。——译者注
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概率的烦恼：量子贝叶斯拯救薛定谔的猫 [:1700964154]
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概率的烦恼：量子贝叶斯拯救薛定谔的猫 第二章 概率
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概率的烦恼：量子贝叶斯拯救薛定谔的猫 [:1700964155]
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第9节 概率的烦恼
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量子力学的规则在构建波函数的时候如同水晶一般给出了清晰的指示。有时，在解答的过程中也许会遇到数学和计算上的困难，但是物理学家很少对做什么有疑问，只有如何做才会让他们抓耳挠腮。最终，在一番辛勤劳作之后，他们得到了波函数，并准备将它应用在实验中。
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理论和实验之间的联系最终被证明是概率：要么是波函数预测了各种可能结果的概率，实验室则提供数据来检验它；要么反过来，实验上测定的概率引导物理学家计算出相应的波函数，由此可能得到其他实验的信息，并对那些实验做出预测。初看上去，概率是如此基本以至于直观上看显得平淡无奇。几乎每一个足球队长都知道，在掷硬币的时候，出现正面的概率是多少？1/2或者50%。掷一对骰子时，摇到6点或者7点概率哪个更大？我们计算下可能的方式。一共有6×6=36种可能的投掷方式，但是只有少数几个方式产生6点和7点：（1，5），（5，1），（2，4），（4，2）和（3，3）与（1，6），（6，1），（2，5），（5，2），（3，4）和（4，3）。这两个概率分别为5/36≈13.9%和6/36≈16.7%，因此得到7点的概率比6点的概率大约高3个百分点，掷骰子赌博的赌徒也一定从经验中留意到了这一点。
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简单来说，一个事件出现的概率等于想得到的结果的数目（举例而言，出现6点）除以所有可能事件的数目（如之前提到的36）。即使事件的数目不可数，这个公式也行之有效。例如，一个被蒙着眼的孩子向海报上投掷针，假设针落到海报每个区域的概率是随机的，那么她扎到海报上的一头驴的概率是多少呢？只要把驴的面积除以整个海报的面积就可以了。结果是分布在0和1之间的实数——一个合理的概率，以分数或者百分比表示出来。
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