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图1.13
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和纬线不同，球面上点的经线并没有经典对应。这完全是量子力学的变量，代表着相位，对应着想象的抽象空间的角度。球面上两个相邻的量子位更倾向于干涉加强（两个波函数波峰遇波峰，波谷遇波谷），然而球体相互对立的两个点则干涉减弱（波峰遇波谷）。相位是效仿经典波，它最显著的一个特性就是叠加，量子力学最初就是由此受到启发，并在波函数中沿用了“波”字。
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因此，这个量子位球面直观展现了叠加现象，以及相应的概率解释。除了两个极点，球面其他地方的点并不能预言出单次测量的结果。重复进行一模一样的实验将得到一串随机的0和1组成的数字。点所在的纬度则预示着0和1在这一串数字中出现的概率。
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比较特殊的是两个极点，它们不是叠加的状态，没有相位，这反映了量子力学的不连续性。就像量子谐振子或者一个原子的能级是分立的、可数的，而非连续的，其他的很多测量结果的个数也都是可数的。电子的自旋就是如此，量子位有两种可能的结果，极点代表确定的状态。总之，这两个极点组成一个比特（bit）。
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或许量子位最引人注目的信息并不是我们看到的球面。它并不是一个电子的照片或者玻尔的氢原子模型。它存在于我们想象的三个维度中，而非我们现实的世界。这个球面的点隐含着实验测量结果出现的概率，但是当我们做出测量之后，系统将跳到0或者1。这种跳跃就是“臭名昭著”的波函数塌缩。
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球面上的点可能一直保持位置不变，也可以沿着某条规定的路径移动。例如，设想在某时刻产生一个有辐射性的原子核，我们可以用量子位的值来表示该原子核的状态。如果它已衰变分裂或者发射出某种辐射，那么将之记为1，反之则记为0。最初球面上的点在北极点，对应着0。随着时间的推移，该原子核已衰变的概率也在慢慢增加，所以对应的球面上的点也将向下逐渐滑向南极点。不管怎样，只要我们不观测原子核，球面上的点也绝不会到达南极点。如果你确实观测了原子核的状态，那么你会发现它已衰变或者仍保持稳定。这时，量子位将塌缩到其中一个极点。未观测前球面上点的路径是可以通过量子力学精确地预言出来的，但是量子力学却无法解释瞬时跳跃回北极点或者向下跳到南极点的情况。测量之后量子位将限定在一个比特的取值0或者1，但是测量前它并不对应一个比特的取值。
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量子位球的图像并没有解释叠加、概率、离散性或波函数塌缩，也不能展示它所代表的数学方程，但是它能够栩栩如生地展示量子力学最基本的要素。虽然它看起来和波没有丝毫关系，但我们仍称之为最简单的波函数图像。
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[1]一般情况下一个物体的转动程度是由角动量衡量的，而角动量依赖于物体的质量、形状和旋转速度。让人惊讶的是角动量的单位和普朗克常数h是一样的，这一巧合也启发了玻尔建立旧的氢原子模型。
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[2]“Raff i niert ist der Herr Gott,aber boshaf t ist Er nicht”,Alice Calaprice,The Expanded Quotable Einstein(Prince ton,NJ:Prince ton University Press,2000),241.
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[3]柯日布斯基为波兰裔美国学者，他发展了普通语义学。——译者注
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概率的烦恼：量子贝叶斯拯救薛定谔的猫 [:1700964154]
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概率的烦恼：量子贝叶斯拯救薛定谔的猫 第二章 概率
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概率的烦恼：量子贝叶斯拯救薛定谔的猫 [:1700964155]
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第9节 概率的烦恼
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量子力学的规则在构建波函数的时候如同水晶一般给出了清晰的指示。有时，在解答的过程中也许会遇到数学和计算上的困难，但是物理学家很少对做什么有疑问，只有如何做才会让他们抓耳挠腮。最终，在一番辛勤劳作之后，他们得到了波函数，并准备将它应用在实验中。
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理论和实验之间的联系最终被证明是概率：要么是波函数预测了各种可能结果的概率，实验室则提供数据来检验它；要么反过来，实验上测定的概率引导物理学家计算出相应的波函数，由此可能得到其他实验的信息，并对那些实验做出预测。初看上去，概率是如此基本以至于直观上看显得平淡无奇。几乎每一个足球队长都知道，在掷硬币的时候，出现正面的概率是多少？1/2或者50%。掷一对骰子时，摇到6点或者7点概率哪个更大？我们计算下可能的方式。一共有6×6=36种可能的投掷方式，但是只有少数几个方式产生6点和7点：（1，5），（5，1），（2，4），（4，2）和（3，3）与（1，6），（6，1），（2，5），（5，2），（3，4）和（4，3）。这两个概率分别为5/36≈13.9%和6/36≈16.7%，因此得到7点的概率比6点的概率大约高3个百分点，掷骰子赌博的赌徒也一定从经验中留意到了这一点。
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简单来说，一个事件出现的概率等于想得到的结果的数目（举例而言，出现6点）除以所有可能事件的数目（如之前提到的36）。即使事件的数目不可数，这个公式也行之有效。例如，一个被蒙着眼的孩子向海报上投掷针，假设针落到海报每个区域的概率是随机的，那么她扎到海报上的一头驴的概率是多少呢？只要把驴的面积除以整个海报的面积就可以了。结果是分布在0和1之间的实数——一个合理的概率，以分数或者百分比表示出来。
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这样计算出来的概率是理论上的抽象数字。在复杂的情形下，它们是如何相加或者组合在一起是纯数学分支中一个被称为概率论的学科研究的问题。这个理论处理的概率并不比欧几里得几何中细线、无维的点以及完美的圆更真实。概率论和欧几里得几何的抽象之处是否有现实中的应用不是一个逻辑上的问题，而是关乎实验和观测——这是一个科学问题。我们或许觉得抛硬币或者掷骰子是如此简单以致我们关于它们的直觉无须验证，但是就像生活中的许多事一样，真理往往妙不可言。面对惊喜最好还是提前做好准备！
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考虑一个被称为方块工厂（cube factory）的悖论，它是由哲学家巴斯·冯·弗拉森（Bas van Fraassen）基于一些古老问题中类似的困惑而提出的（这个例子在量子贝叶斯框架下似乎特别恰当）。想象一个陶瓷工厂，它生产出一大堆小的陶瓷立方体，它们边长随机分布在0到1厘米。你随机捡起一块并且检测它，那么你所测量的立方体的边长介于0到0.5厘米的概率是多少？一个非常诱人的答案是0.5，因为期望的结果区间正好是所有可能的区间的一半。但是，等等！注意到，立方体的每一面的面积都是在0到1cm2。那么，在你手上它的一面测量的结果在0到0.5cm×0.5cm或0.25cm2的概率是多少？既然0.25是总的分布区间的1/4，那么你的立方体落入这个区间的概率也应该是“1/4”。情况会变得更糟糕。如果你测量的是立方体的体积而不是边长或者一个面的面积，体积的变化则从0到1cm3，然后问题就变成：你测得0到0.5cm×0.5cm×0.5cm=0.125cm3的概率是多少？答案是“1/8”。对于同一个简单问题却存在三个不同的答案，这就是我们要说的悖论。那么哪一个是正确的呢？
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从数学上来讲，这个问题没有答案。在现实情况下，通过考虑实际生产过程，或许能挑出其中一个答案。在机器内部的某一部分一定存在着一些随机的过程。是否有一个卡尺在随机地测量0到1厘米？如果是这样，那么第一个答案是对的。或者是一个天平在称量黏土的重量？使相应的体积在0到1立方厘米随机分布，而这团黏土随后会被塑造成一个完美的立方体。在这种情况下，第三个答案是对的。或者说这个随机化也可能以另外一种不同的方式发生，相应地也就产生了冯·弗拉森问题的第四个答案。
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方块工厂给我们强有力的提醒：概率是一种非常尖锐的数学工具，在现实应用它时，需要倍加小心。
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不仅仅在逻辑和数学中，就连自然本身也会产生出惊奇的事情。考虑两个球，被画成白色和黑色，分别被随机地存储在不同的壶中。只有四种方案去分配它们：（白黑，0），（白，黑），（黑，白）和（0，白黑）。发现两个球在一个壶里面的概率显然是2/4或者1/2。这种决定概率的方式是数个世纪以来标准的计算方法，而且看上去非常明显。在划分两个候选人的选区或者计算出扑克牌的胜算时它也是非常有效的方法，但是在量子世界中，它则被证实是错误的。
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光子并不像壶里面的球。它们表现了量子力学的另外一种特性，这种特性在现实中是不曾见到的：相同频率（相同颜色）的光子彼此是完全不可区分的。新的硬币看上去彼此相似，但在微观尺度，它们高低不平的表面很容易被区分。即使在我们当前技术能分辨的层次上硬币是一模一样，不论它们去向何方，它们在穿越时空的时候总可以被追踪到并且以此去区分它们。硬币可以根据它们的历史还有它们的样子去区分，“这是美分A，另一个是美分B”通常是正确、可靠的说法。然而对于光子来说，却无法那样去标记它们。一旦彼此靠近，它们将表现出波的特征，叠加在一起，然后失去原来的特点。与硬币不同的是，它们在根本上就是不可区分的。
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