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第9节 概率的烦恼
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量子力学的规则在构建波函数的时候如同水晶一般给出了清晰的指示。有时，在解答的过程中也许会遇到数学和计算上的困难，但是物理学家很少对做什么有疑问，只有如何做才会让他们抓耳挠腮。最终，在一番辛勤劳作之后，他们得到了波函数，并准备将它应用在实验中。
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理论和实验之间的联系最终被证明是概率：要么是波函数预测了各种可能结果的概率，实验室则提供数据来检验它；要么反过来，实验上测定的概率引导物理学家计算出相应的波函数，由此可能得到其他实验的信息，并对那些实验做出预测。初看上去，概率是如此基本以至于直观上看显得平淡无奇。几乎每一个足球队长都知道，在掷硬币的时候，出现正面的概率是多少？1/2或者50%。掷一对骰子时，摇到6点或者7点概率哪个更大？我们计算下可能的方式。一共有6×6=36种可能的投掷方式，但是只有少数几个方式产生6点和7点：（1，5），（5，1），（2，4），（4，2）和（3，3）与（1，6），（6，1），（2，5），（5，2），（3，4）和（4，3）。这两个概率分别为5/36≈13.9%和6/36≈16.7%，因此得到7点的概率比6点的概率大约高3个百分点，掷骰子赌博的赌徒也一定从经验中留意到了这一点。
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简单来说，一个事件出现的概率等于想得到的结果的数目（举例而言，出现6点）除以所有可能事件的数目（如之前提到的36）。即使事件的数目不可数，这个公式也行之有效。例如，一个被蒙着眼的孩子向海报上投掷针，假设针落到海报每个区域的概率是随机的，那么她扎到海报上的一头驴的概率是多少呢？只要把驴的面积除以整个海报的面积就可以了。结果是分布在0和1之间的实数——一个合理的概率，以分数或者百分比表示出来。
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这样计算出来的概率是理论上的抽象数字。在复杂的情形下，它们是如何相加或者组合在一起是纯数学分支中一个被称为概率论的学科研究的问题。这个理论处理的概率并不比欧几里得几何中细线、无维的点以及完美的圆更真实。概率论和欧几里得几何的抽象之处是否有现实中的应用不是一个逻辑上的问题，而是关乎实验和观测——这是一个科学问题。我们或许觉得抛硬币或者掷骰子是如此简单以致我们关于它们的直觉无须验证，但是就像生活中的许多事一样，真理往往妙不可言。面对惊喜最好还是提前做好准备！
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考虑一个被称为方块工厂（cube factory）的悖论，它是由哲学家巴斯·冯·弗拉森（Bas van Fraassen）基于一些古老问题中类似的困惑而提出的（这个例子在量子贝叶斯框架下似乎特别恰当）。想象一个陶瓷工厂，它生产出一大堆小的陶瓷立方体，它们边长随机分布在0到1厘米。你随机捡起一块并且检测它，那么你所测量的立方体的边长介于0到0.5厘米的概率是多少？一个非常诱人的答案是0.5，因为期望的结果区间正好是所有可能的区间的一半。但是，等等！注意到，立方体的每一面的面积都是在0到1cm2。那么，在你手上它的一面测量的结果在0到0.5cm×0.5cm或0.25cm2的概率是多少？既然0.25是总的分布区间的1/4，那么你的立方体落入这个区间的概率也应该是“1/4”。情况会变得更糟糕。如果你测量的是立方体的体积而不是边长或者一个面的面积，体积的变化则从0到1cm3，然后问题就变成：你测得0到0.5cm×0.5cm×0.5cm=0.125cm3的概率是多少？答案是“1/8”。对于同一个简单问题却存在三个不同的答案，这就是我们要说的悖论。那么哪一个是正确的呢？
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从数学上来讲，这个问题没有答案。在现实情况下，通过考虑实际生产过程，或许能挑出其中一个答案。在机器内部的某一部分一定存在着一些随机的过程。是否有一个卡尺在随机地测量0到1厘米？如果是这样，那么第一个答案是对的。或者是一个天平在称量黏土的重量？使相应的体积在0到1立方厘米随机分布，而这团黏土随后会被塑造成一个完美的立方体。在这种情况下，第三个答案是对的。或者说这个随机化也可能以另外一种不同的方式发生，相应地也就产生了冯·弗拉森问题的第四个答案。
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方块工厂给我们强有力的提醒：概率是一种非常尖锐的数学工具，在现实应用它时，需要倍加小心。
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不仅仅在逻辑和数学中，就连自然本身也会产生出惊奇的事情。考虑两个球，被画成白色和黑色，分别被随机地存储在不同的壶中。只有四种方案去分配它们：（白黑，0），（白，黑），（黑，白）和（0，白黑）。发现两个球在一个壶里面的概率显然是2/4或者1/2。这种决定概率的方式是数个世纪以来标准的计算方法，而且看上去非常明显。在划分两个候选人的选区或者计算出扑克牌的胜算时它也是非常有效的方法，但是在量子世界中，它则被证实是错误的。
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光子并不像壶里面的球。它们表现了量子力学的另外一种特性，这种特性在现实中是不曾见到的：相同频率（相同颜色）的光子彼此是完全不可区分的。新的硬币看上去彼此相似，但在微观尺度，它们高低不平的表面很容易被区分。即使在我们当前技术能分辨的层次上硬币是一模一样，不论它们去向何方，它们在穿越时空的时候总可以被追踪到并且以此去区分它们。硬币可以根据它们的历史还有它们的样子去区分，“这是美分A，另一个是美分B”通常是正确、可靠的说法。然而对于光子来说，却无法那样去标记它们。一旦彼此靠近，它们将表现出波的特征，叠加在一起，然后失去原来的特点。与硬币不同的是，它们在根本上就是不可区分的。
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以两种不同极化方式（相当于经典例子中的壶）分布，用两个星号代表光子，分配两个全同光子的可能方案是（**，0），（*，*），（0，**）。现在，发现两个光子在同一个极化态则由1/2上升到2/3。这一变化看上去并不多，但是当我们在现实应用中重复数万亿次时，它从根本上改变了光子的统计。印度物理学家萨特延德拉·纳特·玻色（Satyendra Nath Bose）率先得到这种非同寻常的计数方式，通过研究光子而非假设的谐振子，他成功地重新得到普朗克辐射定律。作为创造光子这一概念的人，爱因斯坦也惊讶于这种计算并对它印象深刻。他确保其他物理学家都知道了玻色的结果，之后他将玻色统计方式推广到有质量粒子。80年后的2001年，诺贝尔物理学奖授予了由若干原子展示的玻色—爱因斯坦统计的实验观测。
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电子同样彼此不可区分，但是它们遵循第三种统计方式，与传统的版本以及玻色的版本也不一样。电磁表现出与光子相反的特性。光子倾向于彼此挤在一起，而电子则尽可能彼此分离。如果两个壶替代为原子中的能态或者两个自旋相反方向，量子力学中一个被称为不相容原理（exclusion principle）的规则禁止两个电子占据同一个状态。因此，态（**，0）和（0，**）是严格被禁止的，只有（*，*）是被允许的。如果这个规则被突然之间神奇地终止了，那么原子中所有的电子将落在最低能态，化学品之间的区别将因此而消失，所有的物质将会塌缩。
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计数方式的两个简单改变，修改了潜在的概率，接下来决定了粒子的量子统计以及导致了物质和辐射行为的深远结果。事实上，这个结果不仅仅深远——它们关乎存在。没有玻色—爱因斯坦凝聚或者不相容原理，我们所熟知的世界将不复存在。
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试图按照你对大理石的分类方法对基本粒子进行分类，同样会引起不恰当的问题，而在之前我们就遇到的波粒二象性以及旋转点的概念，现在再次发生了。基本粒子并不按人类常识期待的那样表现。
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当量子物理学家第一次引用概率时，像方块工厂或者粒子统计这些理论和实验上的惊奇之处应当引起他们足够的注意，但是他们并没有注意。尽管这么去思考事情更加周密，但他们并没有这么做，部分原因在于物理学家对哲学的猜疑，甚至接近于蔑视。事实上，概率不仅是生活常见的、每天都会涉及的概念，甚至小孩子都会用到，而且也是多个世纪以来学者争论不休的学科。在任何情况下，不论是什么原因，当理论和实验最终相匹配的时候，量子物理学家降低了他们的防备，放弃了他们批判性的才能，并且想都不想地附和长盛不衰的概率的定义——“期望的样本除以所有的样本”。
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因为它是基于计算事件出现的次数，在这种解释的情况下，概率的含义被称为频率概率。从19世纪中期到20世纪上半叶，它已经被发展成严格的数学定律，并且在学校中作为一种不证自明的真理去教导。它被定义为数字的比例，并且在观测中也可以做到，频率概率呈现出一种客观的样子。掷硬币中的50%概率展示了硬币真实且内在的属性，如同质量和尺寸一样是可测量的属性。
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但是即使最坚定的频率学家也并没有走得更远。他们宣称客观的特征仅仅是从一系列掷硬币的过程中得到的，而不是来自一次对硬币的检验或者一次投掷行为。他们对概率的定义被发掘出来都类似如此：“在大量掷一个两面平衡的硬币时，正面的概率是50%，所以投掷出正面的概率接近1/2。”但是数学家并不满足于模糊的字眼，如大概、大约、近似于这些词。因此他们假设一个无穷次的掷硬币过程作为替代。相应的，正面出现的概率达到了50%，因此概率是1/2。不幸的是，这种假设同样失去了它的客观性——它是假设且实验上并未验证。
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频率概率所面临的另外一个问题是公平（fair）这个词。有必要做出如下假设：硬币是完美对称且每一次投掷的行为是完全一样的。事实上，这是一桩美事。假如在每一次都非常仔细地完全一样地掷硬币，就像假设的那样，至少在牛顿的经典决定性世界中，结果总会是一模一样的。没有正面和反面的随机序列，那么掷硬币也不会遵从概率论。因此实验处理的是关于硬币和掷硬币的有限信息——有限到允许一些变化但是还不足以阻止如定律般的统计规律的出现。
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正经的数学概率学家面对这些担忧往往选择隔岸观火，并且只是假设概率有些精确的数字（如假设的掷骰子中的1/6）并且把无限次执行当作原始的公理，以此把现实世界中的应用留给了赌徒、民意调查专家、医药统计学家以及物理学家。数学家对凌乱的现实应用避而远之。明知道一个硬币不可能被掷无限次，数学家还是精确定义了它并使之成为一个公理，然后证明他们关于完美的硬币、无偏的掷硬币以及无限耐心的定理。但是物理学家没有这么奢侈。
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概率的频率解释中最有成效的一个原理也是最有效地将数学和现实世界经验分开的一个原理。它声明概率用于多次实验而对单个实验或者事件只字未提。对频率论者来说，“单个事件”概率是毫无意义的，就如同对一个单独的数字讲“差值”或者对一个孤立粒子谈“吸引”。
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无法理解这一限制就会得到赌徒谬论（gambler’s fallacy），这是学校老师最担心被问到的问题。硬币已经出现正面100次之后，出现反面的概率肯定高于50%，因为出现101次正面是极其不可能的事。特别是，赌徒谬论暗示掷硬币、摇骰子、发牌、转轮盘已有的结果（大量的结果可以定义概率）对下一次的结果毫无预测能力。这个规则被灌输进学校孩子的脑中，并被当作广为接受的智慧。
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频率概率对于物理学家在处理精细控制下的多次实验时是有帮助的，但是它排除了概率与我日常所见的单个案例的概率的相关性。在频率概率论的框架下，诸如“今天下午有30%的概率会下雨”“牛奶可能变坏了”和“她也许喜欢我”，是毫无意义的。
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这里有一个故事可以凸显出课本上的概率论和日常经验所用的概率之间存在的巨大鸿沟。在朋友的陪伴下，你进入了一个礼堂，在台上，一个赌徒正在掷硬币并且邀请你加入。“我和你打赌一块钱，结果是正面，”他说道，“正面的话你给我1元钱，反面的话我给你1元钱。就是这么简单！”相信赌徒谬论，并且想体验一把刺激，你觉得有必要试试运气。但当你张嘴准备说话的时候，你的朋友在你耳边耳语说：“前100把他扔出来的都是正面！”
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那么问题来了：下一步你怎么做？请不要把这个故事变成一个枯燥的教科书问题：硬币是否有偏差？你的朋友得到的消息是否有谬误？这个赌徒会不会出千？仅仅让这些流于表面吧，考虑下什么会真实发生。请竭力去把它想象成现实中的含混之处和不确定性。对我来说，答案非常清晰：我将屈服于不足信的赌徒谬误，相信过去的事情会影响现在的概率，拒绝频率概率论，并且相信我的直觉。即使连续出现100次正面理论上是可能出现的，并且不会影响下一次的投掷结果，但是我仍然不会打这么一个赌。
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一个统计学家也许通过如下假设去定义他的理论：如果硬币确实是公平的，而且投掷的行为确实是公正的，并且你的朋友和赌徒都是诚实的，然后我就应该打这个赌。没有更多的证据，我就不愿意冒这个险，即使仅仅1元钱。那么你呢？
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