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最诡异的是公式中的p（+），它反映的是在人群中做化验后结果为阳性的概率。0.5%的人确实患有该癌症，因此他们的化验结果极有可能为阳性。但是健康人群（整个人群的绝大多数）中的1%会不幸得到一个错误的化验结果——假阳性，因此整个人群的化验结果为阳性的比例p（+）≈1.5%。
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将上面的数字带入等式，左右两边同时除以p（+）。那么在知道你的化验结果为阳性时，你患病的概率为p（+→L）≈0.5%×100%/1.5%=100%/3≈33%。（注意中间一步分子分母中出现的两个%消掉了）。贝叶斯定理告诉你患病的概率只有大约1/3。统计数据告诉你患该病的概率是0.5%，而化验结果本身则暗示你患病的概率是100%，但贝叶斯定理的结果则是一个合理的折中。真叫人宽慰！你需要明智地再做一次化验。由于不太可能恰好两次都是假阳性，重复化验会极大地降低不确定性——更好的结果或者更坏的结果。
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图2.2
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下面这个被奇怪分割的饼状图描绘的是群体数为1万人的真实统计数据，从中你可以得到（大概）的百分比。被标记49和99的那两部分都是化验结果是阳性的人群。由于你在这两类中的其中一种内，但是你并不知道在哪个人群中（见图2.2），因此你患病的概率是1/3，这正是贝叶斯定理预言的结果。对于更一般的情况，+可以用I代替，意思是新的信息，表情符号L用E，意思是某事件。做了这些替换之后，再将等式两边同时除以P（I），我们就得到了贝叶斯定理的常见的形式：
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p（I→E）=p（E）×p（E→I）/p（I）
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在某种程度上来说，这两个条目组成了汉堡的牛排和芝士，而另外两个则组成了汉堡的小面包。等式右边第一项p（E）指没考虑新的信息I时事件E发生的概率。由于这个原因p（E）也被称为先验概率（prior probability）。有时它只是开始不知情状况下的一个猜想，我们期待着反复使用贝叶斯定理可以不断改善它。等式左右边的p（I→E）指事件E在获取新的信息I之后修正过的新（或者后验）概率。另外两项则影响着修正过程。通过简单的规则不断修正先验概率是贝叶斯概率的核心[3]。
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在上面那个癌症例子中，接到医生的电话之前你自己对患病概率的估计——先验概率——是0.5%。知道化验结果之后，你担心自己患病概率几乎上升为100%，这也是不正确的。贝叶斯定理显示这个概率被修正为33%。
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贝叶斯定理的强大之处在于它能够将不同来源的信息组合起来。频率论除了对一些均匀的数据集合外很难做到这一点。上面的例子中先验概率源于人群中大规模的统计研究，然而癌症化验的准确性大概是基于一些特定的临床试验。贝叶斯定理的计算不仅可以利用一些数据资料，甚至历史或者直觉都能帮助代理人选择先验概率然后不断修正。上一节那个会堂中的赌徒例子，据说他连续100次都是正面向上，因此我才会决定不和他赌博，这说明了现实生活中引入新的信息并改变相应的概率估计是非常有用的，只要把概率定义为置信程度。
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相比于频率论，贝叶斯理论更普遍，逻辑清楚，且用途广泛，因此它渐渐被接纳为概率基本的解释。气候学对唯一的大气层做出预测，需要从各种各样的来源收集证据和信息，贝叶斯概率理论则是经常被用到的数学工具。其他学科，包括社会科学、生物学、药学和工程学，都在用贝叶斯概率。频率论中简单的公式“事件发生次数除以总试验次数”可以得到概率的数值，但是贝叶斯理论提供了这些数字的真正的含义。下面这个测量一张奇怪形状纸的面积的例子能展现测定和定义的本质差别：虽然面积可以通过纸的重量（单位：克）除以密度（单位：克/平方米）得到，但面积的含义是完全几何的，与重量和密度无关。
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前面我们已经知道，量子力学在根本上也是依赖于概率的，让我们拭目以待，当贝叶斯概率遇上量子力学会碰撞出什么火花？
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[1]英文Bayes’是Bayes’s和Bayes折中后的形式。
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[2]可参考W.T.Eadie,D.Drijard,F.E.James,M.Roos,and B.Sadoulet,Statistical Methods in Experimental Physics(Geneva,Switzerland:CERN,1971)。
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[3]需要指出的是，当先验概率是0或者1时，新的信息并不会改变它。
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概率的烦恼：量子贝叶斯拯救薛定谔的猫 [:1700964157]
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概率的烦恼：量子贝叶斯拯救薛定谔的猫 第三章 量子贝叶斯理论
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概率的烦恼：量子贝叶斯拯救薛定谔的猫 [:1700964158]
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第11节 量子贝叶斯理论使事情明晰
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就像水面宽阔的河流在流向大海的过程中是通过吸收很多小溪小河逐渐变大一样，科学也在兼收并蓄着各种新的数据和知识的细流中前进。形成鲜明对比的是，量子贝叶斯理论则是汇聚了两条大的支流。21世纪初，作为一门古老而又复杂的学科，量子力学和始于18世纪、最近复兴的数学分支——贝叶斯概率结合起来，形成各种已经确定的知识的汇集。量子贝叶斯理论的创造者既没有创造Q也没有发明B，而是将它们结合在一起，不仅对量子力学本身，而且对一般的科学世界观也有着深远的影响。
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量子贝叶斯理论的基本论点很简单：量子概率是个人置信程度的数值衡量。
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如果你不曾听过贝叶斯概率，那么这个命题看上去会很奇怪。科学的整个关键不就是排除主观性而支持一般性吗？难道信念不是知识的对立面，因而也是科学的对立面吗？这是在看到发表于2012年的量子贝叶斯理论奠基文章时大部分物理学家的反应，也是在闻知它的时候我的感受。这篇文章开门见山地在文章名字“量子概率作为贝叶斯概率”中宣告了它那令人吃惊的结论。
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从频率论转换到贝叶斯概率的解释，这个决定是源于某种成本/效益的分析。一方面，询问下面这个问题是很公平的：在这个变化中你得到了什么？另一方面，它的副作用是什么？采取这种飞跃的代价是什么？
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采用量子贝叶斯理论的代价并没有它看上去那么大，因为贝叶斯理论有充分的根据。以个人对打赌胜算来解释概率，尽管对大部分人来说最初会感到不安，但是它不仅比频率概率更早，也在大部分不相同的领域中逐渐被越来越多的科学家和工程师采用。它已经存续了数个世纪，且在数不清的重大应用中都经受住了检验。对它熟悉之后，它就一点也不奇怪了。
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从积极的方面说，量子贝叶斯理论提供了相当多的益处，其中最令人信服的莫过于解决了令人烦恼的波函数塌缩问题。在传统量子力学中，波函数塌缩的直接原因一直悬而未决。它在时间与空间中是如何发生的，并没有数学描述，而在经典物理中，其他的每一个过程都有这种描述。力学的、电的、磁的、光的、声的以及热的扰动是如何从一个点传播到另一个点，以及影响附近和远处的物体，都能以非常严谨的数学方程展现出来。即使将我们束缚在一起的引力效应，也可以通过广义相对论烦琐的数学方程，从我们这里开始逐步地到达某个星体然后再传播回来理解。但是波函数的塌缩依旧是不可思议的，如同扎在数学物理中的一根刺。