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此后，玻尔的论证被分为两个部分。[6]一方面他说明了带电粒子和原子电子间的远距离交会仅会产生较少的能量转移。通过傅里叶（Fourier）对抛射电场的分析，玻尔证明了他的观点，即他展示了如何将电场视为简易平面波的总和。若认为原子电子被束缚于其原子核中，如同简谐振子一般，则问题将简化为经典电动力学的运动。玻尔可以将各个平面波分量的能量转移作为带电谐振子进行计算。通过对各个平面波的贡献进行求和，玻尔说明了远距离交会引起的总的能量转移量较小。
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玻尔又分析了抛射体和原子电子间的近距离交会。假设抛射体与电子近距离交会，则在这短暂的时间里电子不会出现明显的移动。问题被简化为了抛射体对自由电子的影响作用。仅当抛射经过时间短于电子振荡时间时，这一估计是有效的，即：
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图3.6 高速抛射和原子电子间近距离交会的示意图。
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其中γ=（1-β）-1/2，β≡v/c，c表示光速，v表示抛射速度，ω为电子轨道频率，bmax为近距离交会的外边界。图3.6对这一问题进行了阐释。碰撞参量b是抛射体与电子间的最近距离；e和m表示电子的电荷和质量，ez、M和v分别表示抛射体的电荷、质量和速度。
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在近距离交会中，若电子在抛射体经过过程中没有大幅度移动，则抛射开始和结束的方向上所受拉力相等，沿抛射运动方向的动量传递将为零。因此，受垂直于抛射运动的电场E⊥的作用后，电子开始加速。粒子与电子间距离最近（距离b）时，E⊥取极大值，因此得出结果：
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我们将抛射体对电子的有效影响时间Δt大致等同于抛射经过距离b所用的时间：
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则传递至原子电子的动量Δp为：
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据此得到：
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b为零时该等式结果为无穷大。为了避免这一情况，我们使用了同估算相一致的较低的截止点；电子在Δt时间内反冲程度大大小于b时，我们的估算才能继续有效。因此，若Δp/2m表示电子碰撞时的平均速度，且Δt约等于b/vγ，表示碰撞时间，则：
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用替换1/b2，则ΔE为有穷数。若N表示原子密度，Z为单个原子中的电子数，我们可以对b的所有允许值进行积分。
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则
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