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图1-4-4 爱因斯坦广义相对论预言的时空弯曲及黑洞
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爱因斯坦与万物之理：统一路上人和事 [:1700970755]
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爱因斯坦与万物之理：统一路上人和事 5．突破维数的疆界
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爱因斯坦的广义相对论，成功地用几何将惯性、引力，以及时间、空间统一在一起。这给了物理学家和数学家很大的启发，都想扩展和延续这种想法。大家首先想到的是，能否将电磁场也统一进来？这其中也包括了爱因斯坦自己，以及他为之奋斗后半生的统一场论。
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统一理论所追求的，本来就是美妙的数学形式。相对论将时间空间统一成四维，以解决引力问题。如果要求得更大的统一，势必要再次突破维数的疆界，使用更高维空间的概念。我们在此先简单介绍一下爱因斯坦引力场方程以及几个与四维时空（或更高维空间）有关的数学概念。
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（1）标量、矢量和张量
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爱因斯坦广义相对论的中心是引力场方程。引力场方程是一个张量方程。张量的概念是矢量概念的扩展，学过中学物理的人都知道标量和矢量。标量是只用一个数值就能表示的物理量，比如温度、面积、体积这些量。矢量是既有大小又有方向的物理量。空间的一个矢量需要3个数值来表示，比如说，力、速度、加速度、位移等，都是矢量。如果将矢量的概念再推广，某些物理量需要更多的数值来表征的话，就被称为“张量”。或者说，三维空间中的标量是0阶张量（1个值），矢量是1阶张量（3个值），推广下去，三维空间中的2阶张量就需要（9个值）来表示。
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图1-5-1中显示了各阶张量。气象预报时报告的某一时间的温度只有一个数值，是0阶张量，用3个数值表示的矢量则是1阶张量。某些物理量需要用9个数表示，是2阶张量，实际上也就是一个3×3的矩阵。此外，还有3阶以及更高阶的张量。
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图1-5-1 阶数不同的张量
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图1-5-1所举的是三维空间中张量的例子。相对论中，时间和空间被统一在一个四维的闵可夫斯基时空中，三维空间的张量也代之以四维空间中的张量。四维空间中的0、1、2、3阶张量分别需要1、4、16、64个数来表示。比如说，一个物体的动量，原来是三维空间的矢量，用3个数值来表示，它们分别是动量在x，y，z 3个方向的分量：px，py，pz。动量等于速度与质量的乘积。在四维时空中的动量应该有4个分量，也就是说，对应于时空坐标（t，x，y，z）的动量矢量成为（p0，px，py，pz），其中的（px，py，pz）是原来动量的3个空间分量，对应于时间坐标的p0又是什么呢？它正好等于一个粒子的总能量除以光速c：（p0＝E/c）。这里的总能量E又是什么呢？除了粒子的动能之外，还包括粒子在静止状态的总能量E0。因为爱因斯坦在狭义相对论中得到过一个著名的质能关系式：E0＝m0c2。只要有静止质量m0，就有与其相对应的一份能量。因此，四维动量的时间分量（p0＝E/c＝m0c），与物体的质量和能量有关。
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除了四维动量之外，原来三维空间的所有矢量（或者高阶张量）都有可能扩充到四维，至于与时间相关的那些分量所代表的物理意义是什么，就要具体问题具体分析了。比如电磁场中的磁矢势和标量电势，构成一个统一的四维电磁势A，今后我们便使用这个四维势：
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（2）度规张量
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现在我们可以举出一个2阶张量的例子：度规张量。
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度规，就像是量度空间大小的一把尺子，用它来度量空间中的弧长（或称“距离”），可以写成一个2阶张量，也就是看起来像一个矩阵的形式。欧几里得空间的度规表达式很简单，可以从勾股定理得到。在上一节的图1-4-3中，我们实际上已经使用了二维欧几里得空间的度规（ds2＝dy2＋dx2），和二维闵可夫斯基空间的度规（ds2＝dt2-dx2）。这里的s就是弧长。图中所示的矩阵，就分别是两种度规的矩阵表示。
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一般的n维黎曼流形上的弧长平方如何计算呢？将上面两种度规表示推广一下，可以表达为一个一般的二项式：
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ds2＝gijdxidxj （1-1）
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注意，这里使用了一上一下的重复指标i和j，意思是表示对i和j从1到n求和。用上下指标重复来表示“求和”，而省略了求和的符号，使得表达式看起来简单明了，这是理论物理学中的一种约定，被称为“爱因斯坦约定”。
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式（1-1）中的gij便是度规。指标i和j可以取不同的数值。比如说，在三维空间中，因为两个指标都可以取3个不同的数字，所以度规便有9个数值。这意味着，一般来说，三维空间的弧长平方（ds2）可以写成如下形式：
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ds2＝gxxdx2＋gxydxdy＋gxzdxdz＋gyxdydx＋gyydy2＋gyzdydz＋gzxdzdx＋gzydzdy＋gzzdz2
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