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1700971166 图1-4-4 爱因斯坦广义相对论预言的时空弯曲及黑洞
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1700971171 爱因斯坦与万物之理:统一路上人和事 [:1700970755]
1700971172 爱因斯坦与万物之理:统一路上人和事 5.突破维数的疆界
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1700971174 爱因斯坦的广义相对论,成功地用几何将惯性、引力,以及时间、空间统一在一起。这给了物理学家和数学家很大的启发,都想扩展和延续这种想法。大家首先想到的是,能否将电磁场也统一进来?这其中也包括了爱因斯坦自己,以及他为之奋斗后半生的统一场论。
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1700971176 统一理论所追求的,本来就是美妙的数学形式。相对论将时间空间统一成四维,以解决引力问题。如果要求得更大的统一,势必要再次突破维数的疆界,使用更高维空间的概念。我们在此先简单介绍一下爱因斯坦引力场方程以及几个与四维时空(或更高维空间)有关的数学概念。
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1700971178 (1)标量、矢量和张量
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1700971180 爱因斯坦广义相对论的中心是引力场方程。引力场方程是一个张量方程。张量的概念是矢量概念的扩展,学过中学物理的人都知道标量和矢量。标量是只用一个数值就能表示的物理量,比如温度、面积、体积这些量。矢量是既有大小又有方向的物理量。空间的一个矢量需要3个数值来表示,比如说,力、速度、加速度、位移等,都是矢量。如果将矢量的概念再推广,某些物理量需要更多的数值来表征的话,就被称为“张量”。或者说,三维空间中的标量是0阶张量(1个值),矢量是1阶张量(3个值),推广下去,三维空间中的2阶张量就需要(9个值)来表示。
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1700971182 图1-5-1中显示了各阶张量。气象预报时报告的某一时间的温度只有一个数值,是0阶张量,用3个数值表示的矢量则是1阶张量。某些物理量需要用9个数表示,是2阶张量,实际上也就是一个3×3的矩阵。此外,还有3阶以及更高阶的张量。
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1700971187 图1-5-1 阶数不同的张量
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1700971189 图1-5-1所举的是三维空间中张量的例子。相对论中,时间和空间被统一在一个四维的闵可夫斯基时空中,三维空间的张量也代之以四维空间中的张量。四维空间中的0、1、2、3阶张量分别需要1、4、16、64个数来表示。比如说,一个物体的动量,原来是三维空间的矢量,用3个数值来表示,它们分别是动量在x,y,z 3个方向的分量:px,py,pz。动量等于速度与质量的乘积。在四维时空中的动量应该有4个分量,也就是说,对应于时空坐标(t,x,y,z)的动量矢量成为(p0,px,py,pz),其中的(px,py,pz)是原来动量的3个空间分量,对应于时间坐标的p0又是什么呢?它正好等于一个粒子的总能量除以光速c:(p0=E/c)。这里的总能量E又是什么呢?除了粒子的动能之外,还包括粒子在静止状态的总能量E0。因为爱因斯坦在狭义相对论中得到过一个著名的质能关系式:E0=m0c2。只要有静止质量m0,就有与其相对应的一份能量。因此,四维动量的时间分量(p0=E/c=m0c),与物体的质量和能量有关。
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1700971191 除了四维动量之外,原来三维空间的所有矢量(或者高阶张量)都有可能扩充到四维,至于与时间相关的那些分量所代表的物理意义是什么,就要具体问题具体分析了。比如电磁场中的磁矢势和标量电势,构成一个统一的四维电磁势A,今后我们便使用这个四维势:
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1700971196 (2)度规张量
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1700971198 现在我们可以举出一个2阶张量的例子:度规张量。
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1700971200 度规,就像是量度空间大小的一把尺子,用它来度量空间中的弧长(或称“距离”),可以写成一个2阶张量,也就是看起来像一个矩阵的形式。欧几里得空间的度规表达式很简单,可以从勾股定理得到。在上一节的图1-4-3中,我们实际上已经使用了二维欧几里得空间的度规(ds2=dy2+dx2),和二维闵可夫斯基空间的度规(ds2=dt2-dx2)。这里的s就是弧长。图中所示的矩阵,就分别是两种度规的矩阵表示。
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1700971202 一般的n维黎曼流形上的弧长平方如何计算呢?将上面两种度规表示推广一下,可以表达为一个一般的二项式:
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1700971204 ds2=gijdxidxj  (1-1)
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1700971206 注意,这里使用了一上一下的重复指标i和j,意思是表示对i和j从1到n求和。用上下指标重复来表示“求和”,而省略了求和的符号,使得表达式看起来简单明了,这是理论物理学中的一种约定,被称为“爱因斯坦约定”。
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1700971208 式(1-1)中的gij便是度规。指标i和j可以取不同的数值。比如说,在三维空间中,因为两个指标都可以取3个不同的数字,所以度规便有9个数值。这意味着,一般来说,三维空间的弧长平方(ds2)可以写成如下形式:
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1700971210 ds2=gxxdx2+gxydxdy+gxzdxdz+gyxdydx+gyydy2+gyzdydz+gzxdzdx+gzydzdy+gzzdz2
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