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（1）标量、矢量和张量
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爱因斯坦广义相对论的中心是引力场方程。引力场方程是一个张量方程。张量的概念是矢量概念的扩展，学过中学物理的人都知道标量和矢量。标量是只用一个数值就能表示的物理量，比如温度、面积、体积这些量。矢量是既有大小又有方向的物理量。空间的一个矢量需要3个数值来表示，比如说，力、速度、加速度、位移等，都是矢量。如果将矢量的概念再推广，某些物理量需要更多的数值来表征的话，就被称为“张量”。或者说，三维空间中的标量是0阶张量（1个值），矢量是1阶张量（3个值），推广下去，三维空间中的2阶张量就需要（9个值）来表示。
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图1-5-1中显示了各阶张量。气象预报时报告的某一时间的温度只有一个数值，是0阶张量，用3个数值表示的矢量则是1阶张量。某些物理量需要用9个数表示，是2阶张量，实际上也就是一个3×3的矩阵。此外，还有3阶以及更高阶的张量。
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图1-5-1 阶数不同的张量
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图1-5-1所举的是三维空间中张量的例子。相对论中，时间和空间被统一在一个四维的闵可夫斯基时空中，三维空间的张量也代之以四维空间中的张量。四维空间中的0、1、2、3阶张量分别需要1、4、16、64个数来表示。比如说，一个物体的动量，原来是三维空间的矢量，用3个数值来表示，它们分别是动量在x，y，z 3个方向的分量：px，py，pz。动量等于速度与质量的乘积。在四维时空中的动量应该有4个分量，也就是说，对应于时空坐标（t，x，y，z）的动量矢量成为（p0，px，py，pz），其中的（px，py，pz）是原来动量的3个空间分量，对应于时间坐标的p0又是什么呢？它正好等于一个粒子的总能量除以光速c：（p0＝E/c）。这里的总能量E又是什么呢？除了粒子的动能之外，还包括粒子在静止状态的总能量E0。因为爱因斯坦在狭义相对论中得到过一个著名的质能关系式：E0＝m0c2。只要有静止质量m0，就有与其相对应的一份能量。因此，四维动量的时间分量（p0＝E/c＝m0c），与物体的质量和能量有关。
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除了四维动量之外，原来三维空间的所有矢量（或者高阶张量）都有可能扩充到四维，至于与时间相关的那些分量所代表的物理意义是什么，就要具体问题具体分析了。比如电磁场中的磁矢势和标量电势，构成一个统一的四维电磁势A，今后我们便使用这个四维势：
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（2）度规张量
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现在我们可以举出一个2阶张量的例子：度规张量。
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度规，就像是量度空间大小的一把尺子，用它来度量空间中的弧长（或称“距离”），可以写成一个2阶张量，也就是看起来像一个矩阵的形式。欧几里得空间的度规表达式很简单，可以从勾股定理得到。在上一节的图1-4-3中，我们实际上已经使用了二维欧几里得空间的度规（ds2＝dy2＋dx2），和二维闵可夫斯基空间的度规（ds2＝dt2-dx2）。这里的s就是弧长。图中所示的矩阵，就分别是两种度规的矩阵表示。
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一般的n维黎曼流形上的弧长平方如何计算呢？将上面两种度规表示推广一下，可以表达为一个一般的二项式：
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ds2＝gijdxidxj （1-1）
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注意，这里使用了一上一下的重复指标i和j，意思是表示对i和j从1到n求和。用上下指标重复来表示“求和”，而省略了求和的符号，使得表达式看起来简单明了，这是理论物理学中的一种约定，被称为“爱因斯坦约定”。
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式（1-1）中的gij便是度规。指标i和j可以取不同的数值。比如说，在三维空间中，因为两个指标都可以取3个不同的数字，所以度规便有9个数值。这意味着，一般来说，三维空间的弧长平方（ds2）可以写成如下形式：
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ds2＝gxxdx2＋gxydxdy＋gxzdxdz＋gyxdydx＋gyydy2＋gyzdydz＋gzxdzdx＋gzydzdy＋gzzdz2
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度规的一般形式看起来挺复杂的，但读者不必害怕，我们一般不会使用它，你只需要知道度规是像上面那种求和形式就可以了。并且，如果对于平坦三维空间的直角坐标，矩阵所有交叉项都为0，3个对角项都为1，表达式就成为简单的勾股定理的三维形式。这里我们写出它的一般形式，是因为在广义相对论中，空间一般不是平坦的，也不一定使用直角坐标。因而，度规张量，或者说是从度规计算出来的“曲率”，可以用来度量空间的弯曲程度。如果我们考虑四维“时空”，度规张量所包含的数值就更多了，不止9个，应该有16个值。并且，正如我们在介绍闵可夫斯基空间，解释图1-4-3时所强调的，包括了时间维的“空间”，具有一些特别的性质。比如，那种“空间”中的“距离”，不一定是正数，可以是正、负、0，根据两个事件之间的关系是类时、类空或者类光而决定。广义相对论中，除了仍然必须记住上述概念之外，还需记住“时空”可能是不平坦的、弯曲的，度规张量gij有16个分量，也许很复杂。
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（3）爱因斯坦场方程
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求解任何方程的目的，都是从某些已知条件，得到未知函数。对广义相对论场方程而言，已知条件是空间的物质分布，未知函数就是刚才介绍的时空的“度规”gij。
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图1-5-2 爱因斯坦场方程
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爱因斯坦场方程的右边描述空间的物质分布和能量分布，用一个称为“能量动量张量”的数学形式表示。另外一边是时空的几何性质，用黎曼几何中的曲率张量表示。图1-5-2（a）中所示的就是爱因斯坦场方程，两边都是2阶张量。也就是说，爱因斯坦场方程看起来如同一个矩阵方程。方程右边的G是万有引力常数，T是系统的能量动量张量。左边的矩阵R与时空的曲率有关，即与时空的度规张量gij有关。场方程的意义就是对于系统中给定的质量分布，计算空间的弯曲情况。能量动量张量T包括了系统中（或宇宙中）所有的物质和能量，也可以包括电磁场。
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既然电磁力可以作为能量动量张量的一部分被考虑进场方程中，是否意味着爱因斯坦场方程已经将电磁作用统一起来了呢？事实并不如此，因为将电磁场包括在能量动量张量中，只不过是将它像普通物质一样地考虑了它产生的引力效应，只不过使得最后得到的场方程的解所描述的时空弯曲中也包括了电磁场能量的贡献，但并没有涉及电磁场对带电粒子的电磁作用。换言之，能量动量张量中包括电磁能量的做法与麦克斯韦方程无关。
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