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1700971250 根据这个五维时空的构想,卡鲁扎可以得到好几组方程式,其中包括等价于爱因斯坦场方程的一组、等价于麦克斯韦方程组的一组,以及关于标量场φ的方程。后来,瑞典物理学家奥斯卡·克莱因又将此理论纳入量子力学,由此建立了卡鲁扎—克莱因理论。
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1700971252 如何解释理论中的第五维这个额外维度?卡鲁扎和克莱因认为,我们不能看到第五维空间,是因为它卷曲成了一个很小的圆。这个新颖的想法开了多维空间之先河,是第一个高维宇宙的模型,影响了之后的物理学家们建立标准模型时关于额外维度的几何构想。
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1700971254 如1-5-3(c)所示,第五维就像是在原来的四维时空(图中用平面的二维时空网格代替)中,加上了一些极小的圆圈,这些圆圈的尺寸太小时,我们就感觉不到它的存在。就像在现代的纺织机器织出的某些纤维布料中,我们看不到一些非常小的圈形纤维结构一样。物理学家计算出了这些圆圈的大小,只有约为10-30cm的数量级。
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1700971256 从后来发展的规范理论来看,类似圆圈的第五维可以被理解成复数平面上的旋转。实际上,电磁理论就是对应于复数平面上的旋转,这是电磁场与量子化的电子场相互作用的关键模型,后来被推广到杨—米尔斯理论等。如今弦论数学模型中的空间是十维的,后来演变成十一维空间的M理论,都是源自这个五维模型的推广。爱因斯坦曾经思考过卡鲁扎—克莱因理论,事实上卡鲁扎最原始的论文就是在他的支持和推荐下得以发表的。但爱因斯坦最终放弃了这个思想,没有在这条路上走下去。
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1700971261 爱因斯坦与万物之理:统一路上人和事 [:1700970756]
1700971262 爱因斯坦与万物之理:统一路上人和事 6.外尔——苏黎世一只孤独的狼
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1700971264 和爱因斯坦同时代考虑统一场论的人,还有著名的德国数学家外尔。
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1700971266 数学家多少有几分诗人气质,外尔(Weyl,1885—1955年)[3]就给人这样的印象,也许是在神圣的数学王国中遨游,长期受美之熏陶所致,时不时会冒出几句诗意的话语。外尔曾经用“苏黎世一只孤独的狼”来描述被自己的崇拜偶像爱因斯坦批评时感觉失望和迷茫的心态。那是外尔研究统一场论时的一段故事。
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1700971271 图1-6-1 外尔和爱因斯坦
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1700971273 在“5.突破维数的疆界”一节中介绍的卡鲁扎的五维方法,是通过在四维时空中加上一维额外的空间,来增加时空的自由度,以便将电磁作用包括进来。卡鲁扎仍然使用黎曼几何,但并未改变黎曼几何。
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1700971275 爱因斯坦当时曾经想玩弄的花招就更为形式化了。他也曾经反复探究如何在度规张量上做文章来包容电磁作用。
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1700971277 从度规可以计算弧长,继而计算空间的弯曲情形。因此,度规描述了黎曼空间的几何性质。欧氏空间度规是正定的(矩阵的行列式等于+1),闵氏空间的度规非正定,对应矩阵的行列式为-1,由此说明两种度规的区别。这种区别是由时间和空间的差别引起的。
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1700971279 无论正定还是非正定,黎曼度规都是对称矩阵。四维“时空”的度规矩阵应该有4×4=16个数值。但因为它的对称性,只有10个独立分量。爱因斯坦试图将电磁场包含到度规中的方案有两种:一种是放弃度规的对称性,恢复16个独立分量。如此一来,额外的6个量就可以用来表示电磁场。另一种方法是将黎曼度规从实数推广到复数。但是,这样玩来玩去的结果,连爱因斯坦自己也发现,除了将电磁力和引力用同一个名字的矩阵(或张量)的不同分量表示之外,没有什么实质性的变化。就像把一瓶水和一罐面粉,不打开就塞进一个大袋子里一样,水和面粉没有实质变化,和将水与面粉搅和所成之物是大不一样的。那不是物理学家追求的“统一”。其实,不仅玩物理需要思想,玩数学也同样需要思想。深奥的思想才能产生数学之内在美,否则只是装潢于表面的漂亮形式而已。
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1700971281 外尔的做法则不同,他是从无穷小的本质上来研究和扩展黎曼几何,然后再试图实现引力和电磁场的统一。
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1700971283 外尔比爱因斯坦小几岁。与这位德国老乡类似,他的大部分时间在瑞士苏黎世和美国普林斯顿度过。1915年年初,外尔应征入伍,但第二年便回到了苏黎世联邦工业大学。那时正值广义相对论诞生之初,这个划时代的美妙理论使外尔兴奋激动,并毫不犹豫地投身其中。外尔立即在学校开设和教授了广义相对论课程。
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1700971285 当时的外尔不仅仅是爱因斯坦理论的热心宣扬者和追随者,也被认为是20世纪最有影响力的全才数学家之一,是早期普林斯顿高等研究院的重要成员。他的许多研究工作,对理论物理和纯数学领域,都产生了重要的影响。
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1700971287 外尔对黎曼几何的质疑,从考察平行移动[4],[49]的概念开始。
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1700971289 平行移动的意思就是说,你在空间中缓慢地移动,无论前进、后退、左移、还是右移,你的脸总朝着一个固定的方向,不能转动。当你如此“平行移动”一圈后回到原处时,你一定认为你的脸的朝向是和原来出发时一样的。如果你在地面上作小范围的移动,的确如此。但是,如果你在地球上移动的范围很大,情况就不一样了,其原因是因为地球是一个球面,是弯曲的。
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1700971294 图1-6-2 平行移动
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1700971296 矢量平行移动一圈之后回到原点时,方向不一定和原来方向一致。这取决于移动的空间是平坦的还是弯曲的。如图1-6-2(a)中所示,一个矢量A沿着莫比乌斯带向左移动,开始移动时的矢量A垂直于莫比乌斯带,方向向外。移动一圈之后回到出发点时的最后矢量用B表示。从图中可以看到,B的方向向内,因而矢量在莫比乌斯带上移动一圈后的方向与开始的方向相反。图1-6-2(b)描述了球面上的平行移动。女孩从北极(点1)出发,沿着路线(1-2-3-4-5-6-7)到7(也是北极)。在移动过程中,女孩一直保持她的脸朝向“南”,最后到达7。点7和点1是同一个点,都是北极。在点7,她的脸仍然朝“南”,但是比较一下出发时的方向,可以发现女孩的脸的朝向,已经改变了90°。
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1700971298 矢量绕着闭合曲线平行移动一周后方向改变的数值,与回路所包围空间的弯曲情况(曲率)有关。这是黎曼几何所描述的弯曲空间的性质。但外尔对黎曼几何的这一点不够满意,因为在黎曼几何的平行移动中,矢量的方向改变了,但长度却没有任何变化。无论空间怎么弯曲,无论你沿着哪条曲线移动,矢量的长度都不会改变。外尔的方法便是在改变方向的同时,使长度也改变。
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