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根据这个五维时空的构想，卡鲁扎可以得到好几组方程式，其中包括等价于爱因斯坦场方程的一组、等价于麦克斯韦方程组的一组，以及关于标量场φ的方程。后来，瑞典物理学家奥斯卡·克莱因又将此理论纳入量子力学，由此建立了卡鲁扎—克莱因理论。
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如何解释理论中的第五维这个额外维度？卡鲁扎和克莱因认为，我们不能看到第五维空间，是因为它卷曲成了一个很小的圆。这个新颖的想法开了多维空间之先河，是第一个高维宇宙的模型，影响了之后的物理学家们建立标准模型时关于额外维度的几何构想。
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如1-5-3（c）所示，第五维就像是在原来的四维时空（图中用平面的二维时空网格代替）中，加上了一些极小的圆圈，这些圆圈的尺寸太小时，我们就感觉不到它的存在。就像在现代的纺织机器织出的某些纤维布料中，我们看不到一些非常小的圈形纤维结构一样。物理学家计算出了这些圆圈的大小，只有约为10-30cm的数量级。
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从后来发展的规范理论来看，类似圆圈的第五维可以被理解成复数平面上的旋转。实际上，电磁理论就是对应于复数平面上的旋转，这是电磁场与量子化的电子场相互作用的关键模型，后来被推广到杨—米尔斯理论等。如今弦论数学模型中的空间是十维的，后来演变成十一维空间的M理论，都是源自这个五维模型的推广。爱因斯坦曾经思考过卡鲁扎—克莱因理论，事实上卡鲁扎最原始的论文就是在他的支持和推荐下得以发表的。但爱因斯坦最终放弃了这个思想，没有在这条路上走下去。
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爱因斯坦与万物之理：统一路上人和事 [:1700970756]
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爱因斯坦与万物之理：统一路上人和事 6．外尔——苏黎世一只孤独的狼
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和爱因斯坦同时代考虑统一场论的人，还有著名的德国数学家外尔。
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数学家多少有几分诗人气质，外尔（Weyl，1885—1955年）[3]就给人这样的印象，也许是在神圣的数学王国中遨游，长期受美之熏陶所致，时不时会冒出几句诗意的话语。外尔曾经用“苏黎世一只孤独的狼”来描述被自己的崇拜偶像爱因斯坦批评时感觉失望和迷茫的心态。那是外尔研究统一场论时的一段故事。
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图1-6-1 外尔和爱因斯坦
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在“5．突破维数的疆界”一节中介绍的卡鲁扎的五维方法，是通过在四维时空中加上一维额外的空间，来增加时空的自由度，以便将电磁作用包括进来。卡鲁扎仍然使用黎曼几何，但并未改变黎曼几何。
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爱因斯坦当时曾经想玩弄的花招就更为形式化了。他也曾经反复探究如何在度规张量上做文章来包容电磁作用。
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从度规可以计算弧长，继而计算空间的弯曲情形。因此，度规描述了黎曼空间的几何性质。欧氏空间度规是正定的（矩阵的行列式等于＋1），闵氏空间的度规非正定，对应矩阵的行列式为-1，由此说明两种度规的区别。这种区别是由时间和空间的差别引起的。
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无论正定还是非正定，黎曼度规都是对称矩阵。四维“时空”的度规矩阵应该有4×4＝16个数值。但因为它的对称性，只有10个独立分量。爱因斯坦试图将电磁场包含到度规中的方案有两种：一种是放弃度规的对称性，恢复16个独立分量。如此一来，额外的6个量就可以用来表示电磁场。另一种方法是将黎曼度规从实数推广到复数。但是，这样玩来玩去的结果，连爱因斯坦自己也发现，除了将电磁力和引力用同一个名字的矩阵（或张量）的不同分量表示之外，没有什么实质性的变化。就像把一瓶水和一罐面粉，不打开就塞进一个大袋子里一样，水和面粉没有实质变化，和将水与面粉搅和所成之物是大不一样的。那不是物理学家追求的“统一”。其实，不仅玩物理需要思想，玩数学也同样需要思想。深奥的思想才能产生数学之内在美，否则只是装潢于表面的漂亮形式而已。
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外尔的做法则不同，他是从无穷小的本质上来研究和扩展黎曼几何，然后再试图实现引力和电磁场的统一。
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外尔比爱因斯坦小几岁。与这位德国老乡类似，他的大部分时间在瑞士苏黎世和美国普林斯顿度过。1915年年初，外尔应征入伍，但第二年便回到了苏黎世联邦工业大学。那时正值广义相对论诞生之初，这个划时代的美妙理论使外尔兴奋激动，并毫不犹豫地投身其中。外尔立即在学校开设和教授了广义相对论课程。
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当时的外尔不仅仅是爱因斯坦理论的热心宣扬者和追随者，也被认为是20世纪最有影响力的全才数学家之一，是早期普林斯顿高等研究院的重要成员。他的许多研究工作，对理论物理和纯数学领域，都产生了重要的影响。
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外尔对黎曼几何的质疑，从考察平行移动[4]，[49]的概念开始。
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平行移动的意思就是说，你在空间中缓慢地移动，无论前进、后退、左移、还是右移，你的脸总朝着一个固定的方向，不能转动。当你如此“平行移动”一圈后回到原处时，你一定认为你的脸的朝向是和原来出发时一样的。如果你在地面上作小范围的移动，的确如此。但是，如果你在地球上移动的范围很大，情况就不一样了，其原因是因为地球是一个球面，是弯曲的。
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图1-6-2 平行移动
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矢量平行移动一圈之后回到原点时，方向不一定和原来方向一致。这取决于移动的空间是平坦的还是弯曲的。如图1-6-2（a）中所示，一个矢量A沿着莫比乌斯带向左移动，开始移动时的矢量A垂直于莫比乌斯带，方向向外。移动一圈之后回到出发点时的最后矢量用B表示。从图中可以看到，B的方向向内，因而矢量在莫比乌斯带上移动一圈后的方向与开始的方向相反。图1-6-2（b）描述了球面上的平行移动。女孩从北极（点1）出发，沿着路线（1-2-3-4-5-6-7）到7（也是北极）。在移动过程中，女孩一直保持她的脸朝向“南”，最后到达7。点7和点1是同一个点，都是北极。在点7，她的脸仍然朝“南”，但是比较一下出发时的方向，可以发现女孩的脸的朝向，已经改变了90°。
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矢量绕着闭合曲线平行移动一周后方向改变的数值，与回路所包围空间的弯曲情况（曲率）有关。这是黎曼几何所描述的弯曲空间的性质。但外尔对黎曼几何的这一点不够满意，因为在黎曼几何的平行移动中，矢量的方向改变了，但长度却没有任何变化。无论空间怎么弯曲，无论你沿着哪条曲线移动，矢量的长度都不会改变。外尔的方法便是在改变方向的同时，使长度也改变。