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如果是一般弯曲的黎曼空间，度规有更复杂的形式，但原则上是一样的，乘上一个尺度因子λ（x）而已。
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外尔并不是随便地给黎曼度规加上一个莫名其妙的任意尺度因子，他的最终目的是要用他的数学模型来实现引力和电磁场的统一。他试图以平行移动时矢量的长度变化为代价，得到一个任意函数λ（x），正是这个函数的“任意性”，提供了某种几何上的自由度，以使得能够将电磁场容纳在这种几何之内。
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那时候，物理学家们已经使用四维电磁势A来描述电磁场。外尔的直觉告诉他，电磁势A是比电磁场的场强E和B更为基本的物理量。并且，对应于同样的电磁场，电磁势可以有不同的选择，这种选择的自由度为他提供了一个可能性：将电磁势A与他的标度因子λ（x）关联起来。
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首先，我们可以将外尔的标度变换写成如下形式：λ（x）＝eθ（x）。当我们选择特殊的标度函数θ（x）≡0，亦即λ（x）≡1时，便从外尔的标度几何回到了黎曼几何的情况。因此，外尔假设他的几何中的度量关系由两个基本型决定，其一是原来的二次式黎曼度规；第二个基本型是一个矢量A。
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采取第一个基本型的原因是因为黎曼度规必须保留，如此才能导出爱因斯坦的引力场方程，以便使理论适合广义相对论；第二个基本型中的矢量，便对应于四维电磁矢量势A。正如刚才提到的，对确定的电磁场E和B而言，四维电磁势A并不是唯一的，在这里就对应于外尔定义的标度变换：当时空度规乘以eθ（x）时，四维电磁势A变成A-∂θ（x）。
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上述变换实际上就是后来人们所说的“规范变换”。今天我们所用的规范一词，比如规范不变性（gauge invariance），就是从外尔几何中的标度不变性（eich invarianz）翻译而来。外尔在黎曼几何二次型度规的基础上，加上了一个一次形式来包容电磁场，这在数学上看起来是非常美妙的一招，并且还有它的“纯粹无穷小几何”之解释，也闪耀着新思想的火花。因此，外尔兴致勃勃地将他的文章寄给了爱因斯坦，但得到的反馈却不怎么样。爱因斯坦一方面赞赏外尔几何是“天才之作、神来之笔”，一方面又从物理的角度，强烈批评这篇文章脱离了物理的真实性。因为从物理上讲，外尔在度规函数中引入一个任意的函数λ（x），即相当于在四维时空中的每一个点都可以有任意不同的长度单位和时间单位，也就是有任意不同标度的钟与尺，这在物理上是不可能被接受的。
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爱因斯坦在给外尔回信中认为，当人们利用标尺和时钟的测量结果来定义ds时，不存在任何不确定性。假若在大自然中真有外尔假设的任意标度函数的话，就不会存在带有确定频率谱线的化学元素，两个在空间上邻近的同类原子的相对频率必然会不同。而事实情况不是这样，所以，该理论的基本假设不可取，尽管每一位读者初看时都会由衷地赞叹它数学上的深刻性与独创性。
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面对爱因斯坦的反对意见，外尔感到十分失望和落寞。他以朋友海塞的小说《荒原狼》的主人翁自比，他在给爱因斯坦的回信中说：“我们之间已经战斧高悬，但仍然阻挡不了我对您真诚的敬意。”这只“孤独的狼”并未放弃他的理论，而是进一步地深入探讨黎曼几何中度量的本质，以及仿射联络空间等概念，以使他的几何有更为牢靠的数学理论基础。外尔坚信：数学理论上简洁而美妙的东西必将有它揭示出深奥物理内容的一天。他曾经半开玩笑地说过一句名言：“我的工作总是努力将真与美统一起来；但是，如果只能选择其中之一，那么我选择美。”这句话充分表现了外尔作为数学家的独特而与众不同的审美观，以及他对自然规律必然具有数学美的深刻信念。
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外尔试图统一引力和电磁场的尝试，当然是失败了。这点没有什么可责难的，实际上直到现在也没有一个令人满意的理论将引力和其他三种相互作用（包括电磁作用）统一在一起。但当量子力学进一步发展起来之后，外尔几何以一种修正的形式在现代物理中发挥了大用途，对此我们将在第三篇中介绍。
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爱因斯坦与万物之理：统一路上人和事 第二篇 奇妙的量子世界
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爱因斯坦虽然参与了创建量子力学，但对这个理论始终持怀疑态度，他的统一梦也是试图建立在经典场的基础上。不过，近代物理学家在统一大业上的努力，却少不了量子理论。因此，本篇中简要地回顾一下量子物理的相关内容。
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爱因斯坦与万物之理：统一路上人和事 [:1700970758]
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爱因斯坦与万物之理：统一路上人和事 1．普朗克放出量子精灵
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我们曾经提到，量子力学诞生于经典天空中的一朵乌云：黑体辐射研究中理论与实验的矛盾。那么，什么是物理学中所谓的黑体辐射？
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所谓“黑体”，是指对光不反射、只吸收，但却能发出辐射的物体。不反射光的物体在常温下看起来应该是黑色，比如说，一根黑黝黝的拨火棍，可以看成是一个“黑体”。但黑体看起来并不总是“黑”的，它的颜色取决于它的温度。人们从日常生活经验中知道，如果你把拨火棍插入火（炼铁）炉中，它的颜色将会随着温度的变化而变化：温度逐渐升高后，它会变成暗红色，然后是更明亮的红色，然后是亮眼的金黄色，再后来还可能呈现出蓝白色（图2-1-1（a））。为什么拨火棍看起来会有不同的颜色呢？这说明在不同的温度下，拨火棍辐射出了不同波长的光。当温度固定在某个数值T下时，拨火棍的辐射被限制在一定的频率范围内。画出来就是它的频谱，或称“频谱图”。图2-1-1（b）的曲线便是黑体辐射的频谱图，其水平轴表示的是不同的波长λ，垂直轴M0（λ，T）表示的是在温度为T时，在波长λ附近的辐射强度。因此，辐射强度M0（λ，T）是温度和波长的函数。当温度T固定时，在某一个波长λ0附近，辐射强度有最大值，这个最大值与温度T有关，这也就是我们所观察到的拨火棍的颜色随温度而改变的规律。
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图2-1-1 （a）拨火棍颜色与温度的关系与（b）黑体辐射的经典理论
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由经典麦克斯韦方程推导而出的“维恩公式”和“瑞利—金斯公式”，无法解释黑体辐射的实验结果。维恩公式在高频时以及瑞利—金斯公式在低频时，都不符合实验结果。由图2-1-1（b）中的实验及理论曲线可以看出差别。
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没想到拨火棍上的物理，竟然隐藏着一场革命。德国物理学家普朗克（Max Planck，1858—1947年）虽然思想保守，但却在量子力学的诞生史上充当了一次革命者。他发现，如果假设黑体辐射的能量不是连续的，而是一份一份地发射出来的话，就可以导出一个新的公式来解释图2-1-1（b）中所示的实验曲线。但普朗克并没有提出光量子的思想，直到1905年，26岁的爱因斯坦对光电效应的贡献才真正使人们看到了量子概念所闪现的曙光。
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当光线照射到某些材料上的时候能激发出电子，这就是光电效应。光电效应的应用在我们的日常生活中无处不在，最常见的例子大概有两类：一类是用来将太阳能转换成电能的太阳能电池；另一类是对光线进行探测的光敏器件。
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当你走到购物中心门口的时候，某种装置能够探测到你的存在而启动大门自动打开。这种装置中起作用的电子器件就是基于光电效应，它可以探测到你移动的时候附近光强的变化，从而启动某个机械设备而到达控制的目的。
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