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图2-1-2 光的波动性和粒子性
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普朗克对黑体辐射的解释，以及爱因斯坦对光电效应的解释，颠覆了光波的“连续”性，代之以一个一个的光子。当光波被物质吸收或者发射的时候，是一个（几个）光子与一个（几个）物质粒子发生反应，而不会产生“半个”光子的情形，就像不可能有“半个”电子一样。比如说，对于频率为ν的光，每个光子的能量便是hν，这种频率的光与物质发生相互作用时，一个光子打出一个电子。发生光电效应时，转换传递的最小能量是hν，见图2-1-2（b）。
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然而，我们平时感觉不到光的粒子性。太阳光照到脸上，温暖的感觉像是连续传递过来的，不像有一个一个的粒子打到脸上，那是因为每个光子的能量hν是个很小的数值。比如说，一个蓝光子的能量E＝hν＝4×10-19J，比风中一粒沙子携带的动能（大约10-4J）要小上十几个数量级，我们当然不可能感觉到一份一份光量子的存在。
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刚才的蓝光子能量是怎么计算的？光子的能量等于光的频率ν与h的乘积，蓝光的频率ν＝6.2796912×1014Hz，其中h是普朗克常数。是当年普朗克为了解释黑体辐射时引入的，之后成为量子现象的标志，是量子理论中最重要的常数。普朗克常数h的数值为6.6×10-34，单位是角动量的单位。
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量子力学将光理解成一个一个的“光子”，表面看起来像是又回到了牛顿的微粒说。但光子的概念与牛顿的“光微粒”完全不是一码事，并且量子力学并未否认光的波动性，而认为光具有二象性，既是粒子又是波。
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量子理论是一场革命，它既与经典理论迥异，又与经典理论有千丝万缕的联系。随着物理的研究深入到比原子更小的微观世界，物理学家们发现了一个又一个不可思议的物理现象，但谬误往往孕育着真理，矛盾和困难发掘了人们的想象。因为这些看起来荒谬的实验结果不能被原有经典理论所包容，于是这些经典理论便必须向量子理论的方向扩展。也就是说，经常需要在理论中用上“量子”这个词汇，将微观世界的现象用离散的观点来看待。正是这些从连续到离散的扩展，造就了一个接一个的量子英雄。回头看物理学史，那个年代，形形色色的猜测和臆想充满了学术界，困难和危机造就了科学上的一代伟人。中国有句古话“时势造英雄”，科学上也同样如此。20世纪初到二三十年代，是一个“量子英雄”辈出的年代。
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1900年，普朗克为解决经典的黑体问题而首次提出量子概念，引入普朗克常数，揭开了量子物理的序幕；1905年，爱因斯坦为解释经典光电效应提出了光量子；1913年，玻尔（Niels Bohr，1885—1962年）提出半经典原子模型；1923年，德布罗意提出物质波的概念；1924年，玻色将统计概念扩展到量子，提出玻色—爱因斯坦统计；1925年，泡利提出不相容原理；1925年，海森伯创立矩阵力学……
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光，既是粒子又是波。那么，原来被认为是“粒子”的物理对象，诸如电子、质子、中子等，是否也具有“波动”的性质呢？为此，德布罗意提出了物质波的概念，认为不仅仅光具有波粒二象性，所有的粒子也都具有波粒二象性。比如说，如果一个动量为p的粒子，它对应的德布罗意波长是λ＝h/p。根据这个公式，任何物体都有相对应的物质波，但是对应于尺寸大、动量p也较大的物体，物质波的波长很小，当波长小于原子的尺度（大约10-15m）时，仪器无法探测到，物体的波动性质便不会显现出来。
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如上所述，量子理论建立在光和物质二象性的基础上。这种效应只在尺度很小的范围内，即微观世界中才会显现出来。多大的尺寸才算微观世界呢？这与普朗克常数h有关。普朗克常数h的数值很小，凡是需要用量子来解释的场合它都会出现。它就像是被普朗克放出到微观世界的一个精灵，从量子的概念产生了许多与人们经典观念完全不同、难以接受的结论。普朗克曾经为自己释放出了这个量子精灵诚惶诚恐、后悔莫及，花了十几年的时间研究如何将此怪物收回去，重新压进箱底！也就是说，普朗克试图发展一种没有量子妖精的理论，来解释黑体辐射及微观世界的一些怪异现象，但却未能成功。精灵一旦被放出了潘多拉的盒子，就再也收不回去了。与普朗克的愿望相反，与经典理论相冲突的量子现象越来越多，量子精灵在微观世界大闹天宫、难以收拾。
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爱因斯坦与万物之理：统一路上人和事 [:1700970759]
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爱因斯坦与万物之理：统一路上人和事 2．薛定谔的紧箍咒
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放出来的量子精灵虽然无法再被收回盒子里，但却应该有物理规律来约束它们的行为，孙悟空不也还有如来发明的紧箍咒嘛。
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量子的脚步很快就走进了1925年。这一年，奥地利物理学家薛定谔（Schrödinger，1887—1961年）受德拜之邀在苏黎世作一个介绍德布罗意波的演讲。薛定谔的精彩报告激起了听众的极大兴趣，也使薛定谔自己开始思考如何建立一个微分方程来描述这种“物质波”。这个方程一旦被建立，首先可以应用于原子中的电子上，结合玻尔的原子模型，来描述氢原子内部电子的物理行为，解释索末菲模型的精细结构。
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需要描述的是电子的波粒二象性，薛定谔自然首先到经典物理中寻找对应物。
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电子作为经典粒子，是用牛顿定律来描述的。如何描述它的波动性呢？考察一下当时的经典力学理论，除了用牛顿力学方程表述之外，还有另外几种等效的表述方式，它们可以互相转换，都能等效地描述经典力学。这些经典描述中，哈密顿—雅可比方程是离波动最接近的。当初，哈密顿和雅可比提出这个方程，就是为了将力学与光学作类比。
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人类对“光”的认识，从来就在粒子和波动之间来回摇摆，因此有关“光”的理论，便有几何光学和波动光学两种，分别用来描述光的粒子性和波动性。这两种描述方式并不具有等价性，而是互补的关系。几何光学基于光的“直线传播”，不能解释光的干涉、衍射等性质，此类波动现象必须要用到波动光学的理论，但几何光学可以看作是波动光学在波长趋于零情况下的极限，见图2-2-1。
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图2-2-1 薛定谔方程的导出
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既然粒子与光类似，也一样具有波粒二象性，那么类比于光线，是否能找到一个电子遵循的波动方程，使得在一定的条件下，回归到经典粒子轨道方程的情况呢？再表述得具体一点，就是说：这个波动方程的零波长极限便应该趋近于电子的经典运动方程，即哈密顿—雅可比方程。
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爱尔兰科学家威廉·哈密顿（William Hamilton，1805—1865年）虽然将力学与光学进行了类比，但他并未明确地导出这样一个电子波动方程。这正好提供了机会，让薛定谔跟着他的思路，将上述模式运用到量子力学中。当年的薛定谔风流倜傥，女友无数。正好又碰上了一个早期的神秘女友。据说两人旧情复发，去白雪皑皑的阿尔卑斯山上度假数月，甜蜜的爱情大大激发了薛定谔的科学灵感，著名的薛定谔方程横空出世！之后，薛定谔用他的方程来计算氢原子的谱线，得到了与玻尔模型及实验符合得很好的结果[5]。
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电子既是粒子，又是波。经典力学中用牛顿定律描述粒子的运动规律，量子力学中用薛定谔方程描述“粒子波”的运动规律。这两类方程以及它们的解有些什么区别？
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牛顿方程的解：x（t），是空间位置x随时间变化的一条曲线，显示粒子在空间运动的轨道。薛定谔方程的解：ψ（x，t），是一个空间及时间的复数函数，通常被称为“波函数”。在以上函数中，表示粒子在三维空间位置的x成为自变量之一，t代表时间。图2-2-1最右边的两个图显示了两种情形的区别：牛顿经典轨道x（t）只是几条线，量子波函数解ψ（x，t）却弥漫于整个空间。粒子轨道的概念容易被人接受，但对波函数的解释却众说纷纭。